解密06 空间点、线、面的位置关系（分层训练）-【高考数学之高频考点解密】（解析版）

解密06 空间点、线、面的位置关系

A组 考点专练

一、选择题

1.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　　)

A.α内有无数条直线与β平行

B.α内有两条相交直线与β平行

C.α，β平行于同一条直线

D.α，β垂直于同一平面

【答案】B

【解析】若α∥β，则α内有无数条直线与β平行，当α内有无数条直线与β平行时，α与β可能相交；若α，β平行于同一条直线，则α与β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一个平面，则α与β可以平行也可以相交，故A，C，D中条件均不是α∥β的充要条件.根据两平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立.因此B中条件是α∥β的充要条件.

2.已知α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，下列命题正确的是(　　)

A.若α⊥β，则m∥β    B.若α⊥β，则m⊥β

C.若m∥β，则α∥β    D.若m⊥β，则α⊥β

【答案】D

【解析】若m⊂α，α⊥β，则m∥β或m与β相交或m⊂β，所以A，B错误.若m⊂α，m∥β，则α∥β或α与β相交，所以C错误.由面面垂直的判定定理可知D正确.故选D.

3.已知四棱锥P－ABCD的所有棱长均相等，点E，F分别在线段PA，PC上，且EF∥底面ABCD，则异面直线EF与PB所成角的大小为(　　)

A.30°   B.45°   C.60°   D.90°

【答案】D

【解析】连接AC，BD.设AC∩BD＝O.因为EF⊂平面PAC，平面PAC∩平面ABCD＝AC，且EF∥底面ABCD，所以EF∥AC.由四边形ABCD为菱形，得AC⊥BD.连接OP.因为O为AC的中点，PA＝PC，所以PO⊥AC.又BD∩OP＝O，所以AC⊥平面PBD，所以AC⊥PB.又EF∥AC，所以EF⊥PB，即异面直线EF与PB所成角的大小为90°.故选D.

4.(多选题)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则(　　)

A.直线D1D与直线AF垂直

B.直线A1G与平面AEF平行

C.平面AEF截正方体所得的截面面积为

D.点C与点G到平面AEF的距离相等

【答案】BC

【解析】连接AD1，D1F，则AD1∥EF，平面AEF即为平面AEFD1.显然DD1不垂直于平面AEFD1，∴直线DD1与直线AF不垂直，故A错误.∵A1G∥D1F，A1G⊄平面AEFD1，∴A1G∥平面AEFD1，即A1G∥平面AEF，故B正确.平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1，易知梯形AEFD1的面积为××＝，故C正确.记点C与点G到平面AEF的距离分别为h1，h2，∵VC－AEF＝·S△AEF·h1＝VA－CEF＝×1×××＝，VG－AEF＝·S△AEF·h2＝VA－GEF＝×1××1×＝，∴h1≠h2，故D错误.故选BC.

5.(多选题)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱CC1上的动点(点P不与点C，C1重合)，过点P作平面α分别与棱BC，CD交于M，N两点，若CP＝CM＝CN，则下列说法正确的是(　　)

A.A1C⊥平面α

B.存在点P，使得AC1∥平面α

C.存在点P，使得点A1到平面α的距离为

D.用过点P，M，D1的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形

【答案】ACD

【解析】连接BC1，BD，DC1，AD1，D1P.因为CM＝CN，CB＝CD，所以＝，所以MN∥BD.又MN⊄平面C1BD，BD⊂平面C1BD，所以MN∥平面C1BD.同理可证MP∥BC1，MP∥平面C1BD.又MN∩MP＝M，MN，MP⊂平面α，所以平面C1BD∥平面α.易证AC1⊥平面C1BD，所以A1C⊥平面α，A正确.又AC1∩平面C1BD＝C1，所以AC1与平面α相交，不存在点P，使得AC1∥平面α，B不正确.因为|A1C|＝＝，所以点A1到平面α的距离的取值范围为，即.又<<，所以存在点P，使得点A1到平面α的距离为，C正确.因为AD1∥BC1，所以MP∥AD1，所以用过点P，M，D1的平面去截正方体得到的截面是四边形AD1PM.又AD1∥MP，且AD1≠MP，所以截面为梯形，D正确.故选ACD.

二、填空题

6.如图，在空间四边形ABCD中，点M∈AB，点N∈AD，若＝，则直线MN与平面BDC的位置关系是______.

【答案】平行

【解析】由＝，得MN∥BD.而BD⊂平面BDC，MN⊄平面BDC，所以MN∥平面BDC.

7.已知圆锥的顶点为S，顶点S在底面的射影为O，轴截面SAB是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为_______，点D为母线SB的中点，点C为弧AB的中点，则异面直线CD与OS所成角的正切值为_______.

【答案】2π　

【解析】设该圆锥底面圆的半径为r，则2r＝AB＝2，即r＝1，所以S圆锥侧＝πr×SA＝2π.如图，取OB的中点E，连接CD，DE，CE，OC，则DE∥OS，DE＝OS，即∠CDE(或其补角)为OS与CD所成的角.OS＝ASsin 60°＝，∴DE＝，CE＝＝.因此tan∠CDE＝＝.

8.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，点P是AA1的中点，点M在侧面AA1B1B内，若D1M⊥CP，则△BCM面积的最小值为________.

【答案】

【解析】如图，取AB的中点N，AD的中点Q，连接D1Q，QN，B1N，AC.由于CP在面ABCD内的射影为AC，QN⊥AC，故QN⊥CP.因为CP在面ADD1A1内的射影为DP，D1Q⊥DP，所以D1Q⊥CP.故由QN⊥CP，D1Q⊥CP，D1Q∩QN＝Q，得CP⊥平面D1QNB1.要使CP⊥D1M，必须点M在平面D1QNB1内，又点M在侧面AA1B1B内，所以点M在平面D1QNB1与平面AA1B1B的交线上，即M∈B1N.因为CB⊥平面ABB1A1，所以CB⊥BM，所以S△BCM＝×CB×BM.当BM⊥B1N时，BM最小，此时，△BCM的面积最小.又BB1＝4，BN＝2，故B1N＝2.由Rt△B1BN的面积可得BM＝＝，所以S△BCM＝×4×＝.

三、解答题

9.如图所示，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直，已知AB＝2，EF＝1.

(1)求证：平面DAF⊥平面CBF；

(2)若BC＝1，求四棱锥F－ABCD的体积.

【解析】(1)因为AB为圆O的直径，点F在圆O上，所以AF⊥BF.

又矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直，且两平面的交线为AB，CB⊥AB，CB⊂平面ABCD，所以CB⊥圆O所在平面，所以AF⊥BC.

又BC，BF为平面CBF内两条相交直线，所以AF⊥平面CBF.

又AF⊂平面DAF，所以平面DAF⊥平面CBF.

 (2)连接OE，OF，如图所示，

因为AB＝2，EF＝1，AB∥EF，则四边形OEFA为菱形，

所以AF＝OE＝OA＝1，所以AF＝OA＝OF＝1，则△OAF为等边三角形.

在等边三角形OAF中，点F到边OA的距离为.

又矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直，且两平面的交线为AB，

所以点F到边OA的距离即四棱锥F－ABCD的高，所以四棱锥F－ABCD的高h＝.

又BC＝1，所以矩形ABCD的面积S＝AB×BC＝2×1＝2.

故V四棱锥F－ABCD＝×2×＝.

10.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点.

(1)求证：PE⊥BC；

(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；

(3)求证：EF∥平面PCD.

【证明】(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.

因为底面ABCD为矩形，

所以BC∥AD.所以PE⊥BC.

(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.

又因为平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，

所以AB⊥平面PAD，且PD⊂平面PAD.

所以AB⊥PD.

又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，

所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD，

所以平面PAB⊥平面PCD.

(3)如图，取PC中点G，连接FG，DG.

因为F，G分别为PB，PC的中点，

所以FG∥BC，FG＝BC.

因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，

所以DE∥BC，DE＝BC.

所以DE∥FG，且DE＝FG.

所以四边形DEFG为平行四边形.

所以EF∥DG.

又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，

所以EF∥平面PCD.

B组  专题综合练

11.(多选题)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，过体对角线BD1作平面α交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，则下列说法正确的是(　　)

A.平面α截正方体所得两部分的体积相等

B.四边形BFD1E一定是平行四边形

C.平面α与平面BB1D1D不可能垂直

D.四边形BFD1E的面积有最大值

【答案】ABD

【解析】由题意作出图形，如图.

因为平面AA1B1B∥平面DD1C1C，平面α∩平面AA1B1B＝BE，平面α∩平面DD1C1C＝D1F，所以BE∥D1F.同理可得D1E∥BF，所以四边形BFD1E是平行四边形，B正确.因为四边形BFD1E是平行四边形，所以BE＝D1F，所以△ABE≌△C1D1F，所以AE＝C1F，所以平面BFD1E分正方体为完全相同的两部分，A正确.连接EF，当E是AA1的中点，F是CC1的中点时，EF⊥平面BB1D1D，从而平面α与平面BB1D1D垂直，C错误.设正方体的棱长为1，AE＝x(0≤x≤1)，则BE＝，D1E＝＝，BD1＝.在△BED1中，由余弦定理得cos ∠BED1＝＝，

所以sin ∠BED1＝

＝＝，

所以S四边形BED1F＝2S△BED1＝BE·D1E·sin ∠BED1＝＝.

所以当x＝0或x＝1时，S四边形BED1F取得最大值，D正确.故选ABD.

12.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝30°，PD⊥平面ABCD，AD＝2，点E为AB上一点，且＝m，点F为PD中点.

(1)若m＝，证明：直线AF∥平面PEC；

(2)是否存在一个常数m，使得平面PED⊥平面PAB？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

【解析】(1)如图作FM∥CD，交PC于点M，连接EM，

因为点F为PD的中点，所以FM＝CD.

因为m＝，所以AE＝AB＝FM，

又FM∥CD∥AE，

所以四边形AEMF为平行四边形，所以AF∥EM，

因为AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，

所以直线AF∥平面PEC.

(2)存在一个常数m＝，使得平面PED⊥平面PAB，理由如下：

要使平面PED⊥平面PAB，只需AB⊥DE，

因为AB＝AD＝2，∠DAB＝30°，

所以AE＝ADcos 30°＝，

又因为PD⊥平面ABCD，PD⊥AB，PD∩DE＝D，

所以AB⊥平面PDE，

因为AB⊂平面PAB，所以平面PDE⊥平面PAB，

所以m＝＝.