专题26导数知识点与大题16道专练（培优题）（解析版）-备战2022年高考数学大题分类提升专题学案

这是一份专题26导数知识点与大题16道专练（培优题）（解析版）-备战2022年高考数学大题分类提升专题学案，共27页。学案主要包含了导数的运算，利用单调性求参数的取值，函数的极值与其导数的关系，导数图象与原函数图象关系等内容，欢迎下载使用。
专题26导数知识点与大题16道专练（培优题）（解析版）
一．导数的定义：

2.利用定义求导数的步骤：
①求函数的增量：；②求平均变化率：；
③取极限得导数：
（下面内容必记）
二、导数的运算：
（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：
①；②；；
③； ④ ⑤ ⑥；
⑦； ⑧
法则1：；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).
法则2：(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号)
法则3：
(口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)
（2）复合函数的导数求法：
①换元，令，则②分别求导再相乘③回代
三．导数的物理意义
1.求瞬时速度：物体在时刻时的瞬时速度就是物体运动规律在 时的导数，
即有。
2.V＝s/(t)　表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。
四．导数的几何意义：
函数在处导数的几何意义，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。
题型三．用导数求曲线的切线
注意两种情况：
（1）曲线在点处切线：性质：。相应的切线方程是：
（2）曲线过点处切线：先设切点，切点为 ,则斜率k=，切点 在曲线上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程。
五．函数的单调性：设函数在某个区间内可导，
（1）该区间内为增函数；
（2）该区间内为减函数；
注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）的。
（3）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；
（4）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；
题型一、利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性：
步骤： （1）求导数
(2)判断导函数在区间上的符号
(3)下结论
①该区间内为增函数；
②该区间内为减函数；
题型二、利用导数求单调区间
求函数单调区间的步骤为：
（1）分析 的定义域； （2）求导数
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间
题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）
思路一.（1）在该区间内单调递增在该区间内恒成立；
（2）在该区间内单调递减在该区间内恒成立；
思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。
注意：若函数f（x）在（a，c）上为减函数，在（c，b）上为增函数，则x=c两侧使函数（x）变号，即x=c为函数的一个极值点，所以
六、函数的极值与其导数的关系：
1.①极值的定义：设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有（或，则称为函数的一个极大（或小）值，为极大（或极小）值点。
②可导数在极值点处的导数为0（即），但函数在某点处的导数为0，并不一定函数在该处取得极值（如在处的导数为0，但没有极值）。
③求极值的步骤：
第一步：求导数；
第二步：求方程的所有实根；
第三步：列表考察在每个根附近，从左到右，导数的符号如何变化，
若的符号由正变负，则是极大值；
若的符号由负变正，则是极小值；
若的符号不变，则不是极值，不是极值点。
2、函数的最值：
①最值的定义：若函数在定义域D内存，使得对任意的，都有，（或）则称为函数的最大（小）值，记作（或）
②如果函数在闭区间上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间上必有最大值和最小值。
③求可导函数在闭区间上的最值方法：
第一步；求在区间内的极值；
第二步：比较的极值与、的大小：
第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。
注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。
2．函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值）
3、注意：极大值不一定比极小值大。如的极大值为，极小值为2。
注意：当x=x0时，函数有极值 f/(x0)＝0。但是，f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值；
判断极值，还需结合函数的单调性说明。
题型一、求极值与最值
题型二、导数的极值与最值的应用
题型四、导数图象与原函数图象关系
导函数 原函数
的符号 单调性
与x轴的交点且交点两侧异号 极值
的增减性 的每一点的切线斜率的变化趋势 （的图象的增减幅度）
的增 的每一点的切线斜率增大（的图象的变化幅度快）
减 的每一点的切线斜率减小 （的图象的变化幅度慢）

1．设函数，
（I）求函数的单调区间；
（Ⅱ）设对于任意，且，都有恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（I）的单调递减区间是，单调递增区间是；（Ⅱ）．
【分析】
（I）对函数求导，然后计算与，即可得单调区间；（Ⅱ）将转化为，然后根据题意，设，可知函数在上单调递减，即得成立，然后参变分离求解.
【详解】
（I）易知的定义域为R，
，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减．
的单调递减区间是，单调递增区间是．
（Ⅱ）当，时，恒成立，即恒成立，设，由题意可知，在上单调递减，
即在上恒成立；
，
设，则在上单调递减，
，即
【点睛】
（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，关键是分离参数，把所求问题转化为求函数的最小值问题．
（2）若可导函数在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为 （或）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
2．已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在上有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）.
【分析】
（1）求出导函数，由确定增区间，由确定减区间；
（2）首先说明无零点，时，变形为.引入，利用导数研究的单调性与极值，结合方程有两个解可得参数范围．
【详解】
解：（1）当时，，则.
令，得，所以函数在上单调递增；
令，得，所以函数在上单调递减.
故当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）当时，没有零点，则不符合题意.
当时，令，得.
设，则.
由，得；由，得.
则在上单调递减，在上单调递增，
故.
因为，所以，
解得.故的取值范围为.
【点睛】
思路点睛：本题考查用导数求函数的单调区间，研究函数零点个数问题．解题思路是函数零点个数转化为方程的解的个数，再转化为直线与函数图象交点个数，利用导数研究函数的单调性与极值等性质后可得结论，关键是转化．
3．已知函数.
（1）如果函数在上单调递减，求的取值范围；
（2）当时，讨论函数零点的个数.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】
（1）求出导函数，由在上恒成立，再用分离参数法转化为求函数的最值，得出结论；
（2）求出导函数，确定函数的单调性得最小值，讨论的正负，得零点个数，特别是时，注意利用零点存在定理确定零点的存在（需证明）．
【详解】
解：（1）因为在上单调递减，
等价于在恒成立
变形得恒成立
而
（当且仅当，即时，等号成立）.
所以
（2），令，解得
当变化时，，的取值及变化如下表










极小值

所以
（ⅰ）当时，，所以在定义域内无零点；
（ⅱ）当时，，所以在定义域内有唯一的零点；
（ⅲ）当时，，
①因为，所以在增区间内有唯一零点；
②，
设，则，
因为，所以，即在上单调递增，
所以，即，所以在减区间内有唯一的零点.所以当时，在定义域内有两个零点
综上所述：当时，在定义域内无零点；
当时，在定义域内有唯一的零点；
当时，在定义域内有两个零点.
【点睛】
关键点点睛：本题考查由函数的单调性求参数范围，用导数研究零点零点个数．掌握零点存在定理是解题关键．解题方法是由导数确定函数的单调性，得最小值，讨论最小值的正负，结合零点存在定理可得零点个数．
4．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间．
【答案】（1）；（2）函数的单调增区间为，，单调减区间为．
【分析】
（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）解方程，列表分析的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间.
【详解】
（1）由，得，所以，
又，所以曲线在点处的切线方程为：，即．
（2）令，得，
、、在上的情况如下：













递增
极大值
递减
极小值
递增
所以函数的单调增区间为，，单调减区间为．
【点睛】
方法点睛：利用导数求解函数单调区间的基本步骤：
（1）求函数的定义域；
（2）求导数；
（3）解不等式，并与定义域取交集得到的区间为函数的单调增区间；解不等式，并与定义域取交集得到的区间为函数的单调减区间.
5．已知函数，，.
（1）若，曲线在点处的切线也是曲线的切线，证明：；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）求出导函数，，求出在切线方程，利用切线斜率求得的切点坐标，得切线方程，由两条切线方程是相同的，可证结论；
（2）令，求得，确定单调性，最小值，由最小值不小于1可得的范围．
【详解】
（1）若，则，.
所以，，
曲线在点处的切线方程为，
令，则，
曲线在点处的切线方程为，
由题意知，
整理可得，显然不满足，
因此.
（2）令
若，，不符合条件；
若，，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，符合条件；
若，则，符合条件.
所以的取值范围是.
【点睛】
思路点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究不等式恒成立问题．求切线方程时要注意是函数图象在某点处的切线，还是过某点的切线，由导数得斜率得切线方程，若不知切点时一般需设出切点坐标，写出切线方程，代入所过点的坐标求出切点，再得切线方程，不能弄错．
6．函数.
（1）求的单调区间；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）的单调递增区间为：，的单调递减区间为；（2）.
【分析】
（1）求导函数，计算和即可得单调区间；
（2）将代入不等式化简得恒成立，通过求导数讨论单调性并求得最值，从而求的实数的取值范围.
【详解】
（1）由题可得
令，
得，
∴，
∴的单调递增区间为.
同理，令，得的单调递减区间为
综上所述：的单调递增区间为：，
的单调递减区间为.
（2）由，得，
即.
设，则.
设，则.
当时，，，所以.
所以即在上单调递增，
则.
若，则，
所以在上单调递增.
所以恒成立，符合题意.
若，则，必存在正实数，
满足：当时，，单调递减，
此时，不符合题意.
综上所述，的取值范围是.
【点晴】
方法点晴：将不等式恒成立问题转化为最值问题来求解，通过求导讨论单调性求得最值，从而解决相关问题.
7．已知函数.
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）若在处取得极小值，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求出导函数，得切线斜率，从而可得切线方程；
（2）求出，求出的两根和2，根据两根的大小讨论的极值，由2是极小值点得出的范围．
【详解】
本题考查利用导数研究函数性质.
解析（1）若，，
所以，
所以，又，
因此曲线在处的切线方程为.
（2），
令，得或，
若，即
则当时，，当时，，
所以在处取得极小值..
若，且，则当时，，
所以，同时，
所以，从而不是的极小值点..
综上可知，的取值范围是.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查由极值点求参数范围．掌握极值的定义是解题关键．方法是：求出导函数，确定的根，然后由根分实数为若干个区间，讨论各区间中和正负，得单调区间，若在左侧递减，右侧递增，则是极小值点，若在左侧递增，右侧递减，则是极大值点．
8．已知函数，当时，函数有极值．
（1）求实数b、c的值；
（2）若存在，使得成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【分析】
（1）时，，利用当时，函数有极大值，建立方程，即可求得实数的值；
（2）存在，使得成立，等价于，使得成立，分类讨论，求出函数的最大值，即可求实数的取值范围．
【详解】
（1）由已知当时，，
则，所以，
又因为，所以．
（2）因为存在，使得成立，
所以问题可转化为：时，，
由（1）知
①当时，，
令得或；
时，，时，，时，，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以当时，，得．
②当时，，
当时，成立；
当时，，
所以；
当时，成立，所以．
综上可知：a的取值范围为．
【点睛】
关键点睛：存在，使得成立等价于等价于，使得成立,分类讨论求得最值.
9．已知函数有两个极值点，，且．
（1）求实数的取值范围，并讨论的单调性；
（2）证明：．
【答案】（1），答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求导，利用极值点与导函数的关系结合二次函数的性质求出，再由导数得出的单调性；
（2）由（1）得出，进而得出，构造函数，利用导数得出其单调性，进而证明.
【详解】
解：（1）∵，
令，其对称轴为
由题意知，是方程的两个不相等的实根
则
∴
当时，，∴在内为增函数；
当时，，∴在内为减函数；
当时，，∴在内为增函数；
（2）证明：由（1）知，

令
则；
∴在上单调递增，
故．
从而
【点睛】
关键点睛：解决问题二的关键在于将证明不等式恒成立问题转化为函数求最值问题进行处理，从而证明不等式.
10．设函数，且曲线在处取得极大值.
（1）求a的值，并讨论f (x)的单调性；
（2）证明：当时，
【答案】（1），在（-2,1）上为增函数，在 上为减函数；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求导可得解析式，令，即可求得a值，令，可得的增区间，令，可得的减区间，综合分析即可得答案；
（2）由（1）可得在单调性，进而可求得在的最大值与最小值，设，有，根据，可得，代入解析式，即可得证.
【详解】
（1），
因为在处取得极大值，
所以，解得，
此时，
令，解得，所以的增区间为（-2,1），
令，解得或，所以的减区间为，
所以曲线在处取得极大值，满足题意，
所以.
综上；在（-2,1）上为增函数，在 上为减函数.
（2）由（1）可得，且在上单调递增，
所以在上最大值为，
在上最小值为，
所以对于任意，有，
因为，所以，
所以.
【点睛】
解题的关键是掌握利用导数求函数的单调性和极值的方法，并灵活应用，已知处取得极大值，可得，即可求得a值，但需判断左右的单调性，方可确定处为极大值还是极小值，方可得答案，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.
11．已知.
（1）若，求的取值范围；
（2）若关于的方程有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用对数的运算法则化简，求解对数不等式.
注意化简前保证真数大于零.
（2）分离参数，利用方程有解，构造函数，求导，分析函数单调性，求出最值，得到的取值范围.
【详解】
（1）


则
故的取值范围为.
（2）
则

设

当时，
当时，
且时，

故
则
故的取值范围为：
【点睛】
利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数的单调性，进而根据单调性求函数的值域；一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.
12．已知函数．
（Ⅰ）设函数在和处的切线交直线于两点，求；
（Ⅱ）设为函数的最小值，求证：．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】
（Ⅰ）求出导函数，得切线方程，然后求得交点坐标后可得线段长；
（Ⅱ）由零点存在定理得存在一个零点，并求出最小值，利用化简后根据可证上得结论．
【详解】
解：（Ⅰ）函数的导函数为．
所以．又因为，
因此在和处的切线方程分别为和．
令，可得和的坐标分别为和，故．
（Ⅱ）因为在上单调递增，而，
所以必然存在，满足，
且当）时，当时．
即在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得最小值．
由可得，所以．
当时，，所以．
【点睛】
关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的最值．求最值时在极值点不能直接求出时，对极值点（最值点）进行定性分析：确定其取值范围，利用注意得出满足的性质，代入化简表达式后再求解．
13．已知函数.
（1）若直线与曲线相切，求m的值；
（2）若函数有两个不同的极值点，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求出导函数，由导数的几何意义可求得值：设切点，，及切点在切线上又在函数图象上可得；
（2）求出，的两解为，由韦达定理得，可得，这样可表示为的函数，再由导数可求得其范围．
【详解】
（1）由题意知，
，
设直线与曲线相切于点所以
整理得，得；
（2），所以，
所以，是方程的两个根，
所以，
因为，所以，所以
，
令，
，则，时，，递减，所以，所以，所以在上单调递减，
，从而的取值范围为.
【点睛】
关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的取值范围．解题关键是对多变量函数进行消元，转化为一元函数，然后利用导数求得其取值范围．根据是是方程的两根，由韦达定理建立三个变量之间的关系．
14．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围.
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）.
【分析】
（1）先求导函数，令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；
（2）先将进行变形，两边同时除以得，令则，即，构造函数，利用导数研究函数的单调性，从而可求出所求．
【详解】
（1）因为，所以，且.
令得，令得，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）由题意，，
因为函数有且只有一个零点，
所以方程有且只有一个实数根.
两边同时除以，得.
令，则，即，
设，则，
，
由题意，函数有且只有这一个零点.
令，.
（i）当，
即时，，，此时单调递增，符合题意；
（ii）当时，方程有两根，设为，
则，，所以，
所以当时，，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
①当时，，所以，即.
又因为时，，所以在上存在零点，所以此时不符合题意.
②当时，
因为，，所以，所以，
由，当时，，
可得在上存在零点，所以此时不符合题意.
③当时，易得，，
由，当且无限接近于0时，，可得在上存在零点，所以此时不符合题意.
综上，实数的取值范围是.
【点睛】
方法点睛：来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值与零点等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
15．已知函数的定义域为.
（1）当取得最小值时，记函数在处的切线方程为.若恒成立且，求的最大值；
（2）若有两个极值点和，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析；
【分析】
（1）根据定义域判断得，从而得切线方程，根据恒成立，可代入判断即可得的最大值；（2）构造新函数与，求导并判断单调性，计算最值，可得与，再根据极值点的定义可得关于和的韦达定理，再代入化简计算.
【详解】
（1）由题意函数定义域为，所以，即的最小值为，所以，，，所以，因为恒成立，
即恒成立，当时，显然成立，令，则，因为且，所以的最大值为.
（2）令，则，当时，；
当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，由，故和是方程的实根，所以，
所以

令，，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，则
所以得证.
【点睛】
利用导数证明不等式恒成立的问题，一般需要通过构造新函数，通过求导判断单调性与最值，得到整个函数的正负，从而在不等式中再将比较复杂的式子转化为被证明的式子代入化简即可，这种方法通常较难，需要学生自己推断所构造的函数形式.
16．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数有两个零点、．
①求的取值范围；
②证明：．
【答案】（1）答案见解析；（2）①；②证明见解析.
【分析】
（1）求出函数的定义域与导数，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；
（2）①利用参变量分离法可得出，由题意可知，函数与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围；
②由已知可得，利用分析法可得出所要证的不等式等价于证明，令，可将所证不等式变形为，然后令，利用导数证明出即可.
【详解】
（1）函数的定义域为，.
（i）当时，对任意的，，在上单调递增；
（ⅱ）当时，若，则，在上单调递增；
若，则，在区间上单调递减.
综上所述，当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）①令，可得，令，其中，
由于函数有两个零点、，
所以，函数与函数的图象有两个交点，
，令，可得，列表如下：










极小值

所以，函数的极小值为，如下图所示：

当时，，
由图象可知，当时，函数与函数的图象有两个交点，
因此，所求的取值范围为；
②由题意，两式作差可得，则，
两式相加得，
要证，只要证，即，
只要证，即证，
即证，其中且，
令，，
所以，函数在上单调递增，则，即，
故不等式成立.
【点睛】
方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.