专题36极坐标与参数方程知识点与大题16道专练（中档题）（解析版）-备战2022年高考数学大题分类提升专题学案

专题36极坐标与参数方程知识点与大题16道专练（中档题）（解析版）

一、极坐标系

    在平面上取一个定点，由点出发的一条射线 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点称为极点，称为极轴.平面上任一点M的位置可以由线段的长度和从到的角度 (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示).

    这两个实数组成的有序实数对称为点M的极坐标. 称为极径，称为极角.

二、极坐标与直角坐标的互化

    设为平面上的一点，其直角坐标为，极坐标为，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立:

或 （对也成立）.

三、极坐标的几何意义

——表示以为圆心，为半径的圆；

——表示过原点(极点)倾斜角为的直线，为射线；

表示以为圆心过点的圆.

    (可化直角坐标: .)

四、直线的参数方程

     直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为

，其中为直线的倾斜角)，代人点斜式方程:

 ,即.

记上式的比值为,整理后得,也成立，故直线的参数方程为(为参数，为倾斜角，直线上定点，动点 ，为的数量，向上向右为正(如图16-33所示).

五、圆的参数方程

  若圆心为点，半径为，则圆的参数方程为.

六、椭圆的参数方程

椭圆的参数方程为（为参数，）.

七、双曲线的参数方程

    双曲线的参数方程为.

八、抛物线的参数方程

    抛物线的参数方程为（为参数，参数的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数）.

1．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）.

（1）写出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；

（2）已知点，曲线与曲线相交于，两点，求.

【答案】（1）：，：；（2）.

【分析】

（1）利用两角差的余弦可得，从而可得的普通方程，利用同角的三角函数的基本关系式可得曲线的普通方程.

（2）利用直线方程中参数的几何意义可求.

【详解】

（1）∵，，∴，

的普通方程为，

由可得，故的普通方程为.

（2）的参数方程为（为参数），

将曲线的参数方程代入的普通方程，整理得，

令，，由韦达定理得，

则有.

【点睛】

方法点睛：直线的参数方程有很多种，如果直线的参数方程为 （其中为参数），注意表示直线上的点到的距离，我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积等．

2．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l过点，倾斜角为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．

（1）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，并求直线l的参数方程；

（2）若直线l被圆C截得的弦长为，求直线l的倾斜角．

【答案】（1），（t为参数）；（2）或．

【分析】

（1）将圆的极坐标方程两边同乘，由可得圆C的直角坐标方程；根据直线的参数方程即可求解.

（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，由，结合韦达定理即可求解.

【详解】

（1）

所以圆C的直角坐标方程为：，①

直线l的参数方程为：（t为参数），②

（2）②代入①，，

l被C截得弦长

，

∴或．

3．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程;

（2）点为曲线上的动点，求点到直线的距离的最大值.

【答案】（1），；（2）.

【分析】

（1）将除到等式的另一边，两式平方，消去参数即可得到曲线的普通方程；利用两角差的正弦公式展开，由 即可求解.

（2）设曲线上的点，利用点到直线的距离公式以及三角函数的性质即可求解.

【详解】

曲线的普通方程为

将代入上式，

得直线的直角坐标方程为

设曲线上的点，

到直线的距离

当时，取得最大值为

4．在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求的极坐标方程和的直角坐标方程；

（2）设与交于P，Q两点，点，求的值．

【答案】（1），；（2）1.

【分析】

（1）由，消去参数t，再将，代入求解.由

得，再由，求解.

（2）由与联立,再利用参数的几何意义求解.

【详解】

（1）由，消去参数t，得，

由，，

可得的极坐标方程为．

由可得，

则的直角坐标方程为，

即.

（2）A在上，由与，

联立得，

所以．

5．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）当为参数，时，曲线与只有一个公共点，求；

（2）当为参数，时，曲线与相交于，，且，求的值.

【答案】（1）或者；（2）.

【分析】

（1）首先求出、的直角坐标方程，根据曲线与只有一个公共点，故线与的位置关系是外切或内切，则两圆圆心距等于半径和（差），即可求出参数的值；

（2）当为参数时，曲线为过点的直线，曲线是直径为2的圆，所以直线过圆的圆心，即可求出直线的斜率，从而求出；

【详解】

解：（1）曲线的直角坐标方程为：，

当为参数时，曲线的直角坐标方程为，

又曲线与只有一个公共点，故线与的位置关系是外切或内切，

（i）当与外切时，，解得；

（ii）当与内切时，，解得

故或者.

（2）当为参数时，曲线为过点的直线，

又曲线是直径为2的圆，且，所以直线过圆的圆心，

则直线的斜率，因为，所以.

6．在直角坐标系中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线，曲线的参数方程为（为参数），点P是上一点，其极坐标为．设射线与曲线交于O，A两点，与曲线交于O，B两点．

（1）求m的值，并写出曲线的极坐标方程；

（2）求的最小值．

【答案】（1），；（2）．

【分析】

（1）由求得P的直角坐标为，代入曲线的普通方程，求得，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得曲线的极坐标方程；

（2）设A的极坐标为，B的坐标为，得到，进而得，结合基本不等式，即可求解.

【详解】

（1）由题意知点P的极坐标为，可得P的直角坐标为，

将曲线的参数方程（为参数），可得其普通方程为，

因为P在上，所以，解得，

所以曲线的普通方程为．

由，

代入可得曲线的极坐标方程为．

（2）曲线化为极坐标方程为，

设A的极坐标为，B的坐标为，

所以．

所以

，当且仅当时等号成立．

所以的最小值为．

7．在直角坐标系中，直线l过点，倾斜角为.以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：.

（1）求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l交曲线C于A，B两点，M为中点，且满足成等比数列，求直线l的斜率.

【答案】（1）l的参数方程为(t为参数)，C的直角坐标方程为：；（2）斜率为.

【分析】

（1）根据直线过点P，及倾斜角，代入公式，即可求得l的参数方程，将曲线C左右同乘，利用即可求得曲线C的直角坐标方程；

（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，可得关于t的一元二次方程，根据t的几何意义及题干条件，可得，即可求得答案.

【详解】

（1）因为直线l过点，倾斜角为，

所以直线l的参数方程为(t为参数)，

因为，所以，

所以曲线C的直角坐标方程为：；

（2）将直线l的参数方程为(t为参数)代入可得：，

设A,B所对应的参数为，所以，

因为成等比数列，

所以，即，

解得，，故直线l的斜率为.

【点睛】

解题的关键是熟练掌握极坐标与普通方程、参数方程与普通方程的互化；在利用t的几何意义时，要将直线参数方程的标准形式代入到曲线的直角坐标方程里，方可进行求解，考查计算化简的能力，属基础题.

8．在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为． 

（1）求直线与曲线的普通方程；

（2）若直线与曲线交于，两点，且，求．

【答案】（1）曲线的普通方程为，直线的普通方程为；（2）或2.

【分析】

（1）利用消去参数可得曲线的普通方程，将代入直线方程可得直线的普通方程；

（2）求出圆心到直线的距离，利用圆的弦长公式建立关系可求出.

【详解】

（1）由得，

平方相加利用消去参数可得，

故曲线的普通方程为，

将代入直线方程得，

故直线的普通方程为；

（2）可知曲线是以为圆心，3为半径的圆，

则圆心到直线的距离，

，解得或2.

9．已知平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点.

（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）求线段的长度.

【答案】（1）；；（2）.

【分析】

（1）根据加减消元法得直线的普通方程，根据可得曲线的直角坐标方程；

（2）先求圆心到直线距离，再根据垂径定理求圆中弦长.

【详解】

（1）由消得，的普通方程为

由得，结合得，

故曲线的直角坐标方程为

（2）曲线的圆心到直线的距离，，

【点睛】

本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程、垂径定理，考查基本分析求解能力，属基础题.

10．在平面直角坐标系中，曲线C：（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）写出曲线C的极坐标方程；

（2）若，是曲线C上的两点，求极点O到直线的距离．

【答案】（1）；（2）．

【分析】

（1）消去参数可得，再根据代入即可求解.

（2）根据，求出，，代入即可求解.

【详解】

（1）C：，即，

极坐标方程为

（2）依题知，，

，

根据曲线C的极坐标方程，得，

将，分别代入上式，

得，，

两式相加，得，

，所以极点O到直线的距离为．

【点睛】

本题考查了参数方程与普通方程的互化，普通方程与极坐标方程的互化，极坐标的应用，考查了基本运算能力，属于基础题.

11．在极坐标系中，已知以极点为圆心，2为半径的圆与以为圆心，且过极点的圆相交于、两点.

（1）分别求圆，圆的极坐标方程；

（2）求弦所在直线的极坐标方程.

【答案】（1）圆，圆；（2）.

【分析】

（1）根据题意，直接得出圆的极坐标方程；求出圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；

（2）联立两圆的极坐标方程，得到交点的极坐标为、，进而可得弦所在直线的极坐标方程.

【详解】

（1）由题意，以极点为圆心，2为半径的圆的极坐标方程为；

圆的圆心为，其直角坐标为，即，半径为，

所以其直角坐标方程为：，即，

化为极坐标方程为；

（2）由得，∵，∴或，

∴、，化为直角坐标为、，即，，

所以直线的方程为：，

因此弦所在直线的极坐标方程为.

【点睛】

本题主要考查求圆的极坐标方程，考查求直线的极坐标方程，属于常考题型.

12．在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为为参数).

(Ⅰ)求曲线的极坐标方程；

(Ⅱ)若曲线向左平移一个单位,再经过伸缩变换得到曲线，设为曲线上任一点，求的最小值，并求相应点M的直角坐标.

【答案】（I）;（Ⅱ）， 的坐标为或.

【解析】

试题分析：（I）消参得曲线的普通方程为曲线的极坐标方程为 ；（Ⅱ）利用变换公式求得曲线的直角坐标方程为 ，再利用参数法结合三角函数求得最值及相应坐标.

试题解析：

（I）由 （为参数）得曲线的普通方程为

得曲线的极坐标方程为.

（Ⅱ），向左平移一个单位再经过伸缩变换得到曲线的直角坐标方程为，设，则

当时，的最小值为，

此时点的坐标为或.

【点睛】本题考查参数极坐标方程，涉及函数与方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，具有一定的综合性，属于中等题型.在极坐标方程与直角坐标方程互化中应紧扣公式进行转化，在求最值时应注意借助参数思想解题，可以大大降低计算量和求解效率.

13．已知曲线，的参数方程分别为：(为参数)，：(为参数)

（1）将，的参数方程化为普通方程.

（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，的交点为，求圆心在极轴上，且经过极点和点的圆的极坐标方程.

【答案】（1）的普通方程为，的普通方程为；（2）.

【分析】

（1）两式相加消去参数可得曲线的普通方程；两式平方作差消去参数可得的普通方程.

（2）由（1）解方程组求出，根据题意可知圆心为，半径为，从而写出直角坐标方程，由，代入即可求解.

【详解】

（1）因为，

所以曲线的普通方程为，

因为，

所以曲线的普通方程为.

（2）由（1）得曲线和的普通方程分别为和，

联立可得，解得，所以点的直角坐标为

因为圆心在极轴上，且经过极点和，

即圆心在轴的正半轴上，且过直角坐标原点，所以圆心为，

所以圆的直角坐标方程为，即

则该圆的极坐标方程为，即.

【点睛】

本题考查了参数方程化为普通方程、普通方程化为极坐标方程，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.

14．在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为：，曲线的参数方程为其中，为参数，为常数．

（1）写出与的直角坐标方程；

（2）在什么范围内取值时，与有交点．

【答案】（1），．（2）

【分析】

（1）利用，代入可求；消参可得直角坐标方程. 

（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，与有交点，可得，解不等式即可求解.

【详解】

（1）

（2）将的参数方程代入的直角坐标方程得：

与有交点，即

【点睛】

本题考查了极坐标方程与普通方程的转化、参数方程与普通方程的转化、直线与圆的位置关系的判断，属于基础题.

15．在直角坐标系中，曲线C1的参数方程:（为参数），曲线C2的普通方程:y2=8x，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系

（1）分别求曲线C1、曲线C2的极坐标方程;

（2）射线与曲线C1、曲线C2的交点分别为P，Q(均异于O点)，C，(1，0)，求∆PQC的面积

【答案】（1），；（2）.

【分析】

（1）按照公式转化即可.

（2）求出的长度按照三角形面积公式计算即可.

【详解】

解：（1）由曲线的参数方程(为参数)，

消参得曲线的直角坐标方程为，

由得曲线的极坐标方程为．

曲线的极坐标方程为

（2），

点到直线的距离，

所以．

【点睛】

本题主要考查参数方程，极坐标方程和直角坐标方程的综合问题.

16．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点在直线上.

（1）求的值及直线的直角坐标方程；

（2）圆的参数方程为（为参数），试判断直线与圆的位置关系.

【答案】（1）；；（2）相交.

【分析】

（1）根据点在直线上，将点的极坐标代入直线的极坐标方程即可得出值，再利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出直线的直角坐标方程；

（2）欲判断直线和圆的位置关系，只需求圆心到直线的距离与半径进行比较即可，根据点到线的距离公式求出圆心到直线的距离然后与半径比较．

【详解】

解：（1）由点在直线上，所以可得.

所以直线的方程可化为，

从而直线的直角坐标方程为.

（2）已知得圆的直角坐标方程为，

所以圆的圆心为，半径，

因为圆心到直线的距离，

所以直线与圆相交.

【点睛】

本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及圆的参数方程和直线与圆的位置关系的判定，属于基础题．