专题38极坐标与参数方程知识点与大题16道高考真题（解析版）-备战2022年高考数学大题分类提升专题学案

专题38极坐标与参数方程知识点与大题16道高考真题（解析版）

一、极坐标系

    在平面上取一个定点，由点出发的一条射线 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点称为极点，称为极轴.平面上任一点M的位置可以由线段的长度和从到的角度 (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示).

    这两个实数组成的有序实数对称为点M的极坐标. 称为极径，称为极角.

二、极坐标与直角坐标的互化

    设为平面上的一点，其直角坐标为，极坐标为，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立:

或 （对也成立）.

三、极坐标的几何意义

——表示以为圆心，为半径的圆；

——表示过原点(极点)倾斜角为的直线，为射线；

表示以为圆心过点的圆.

    (可化直角坐标: .)

四、直线的参数方程

     直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为

，其中为直线的倾斜角)，代人点斜式方程:

 ,即.

记上式的比值为,整理后得,也成立，故直线的参数方程为(为参数，为倾斜角，直线上定点，动点 ，为的数量，向上向右为正(如图16-33所示).

五、圆的参数方程

  若圆心为点，半径为，则圆的参数方程为.

六、椭圆的参数方程

椭圆的参数方程为（为参数，）.

七、双曲线的参数方程

    双曲线的参数方程为.

八、抛物线的参数方程

    抛物线的参数方程为（为参数，参数的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数）.

1．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）当时，是什么曲线？

（2）当时，求与的公共点的直角坐标．

【答案】（1）曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）.

【分析】

（1）利用消去参数，求出曲线的普通方程，即可得出结论；

（2）当时，，曲线的参数方程化为 为参数），两式相加消去参数，得普通方程，由，将曲线 化为直角坐标方程，联立方程，即可求解.

【详解】

（1）当时，曲线的参数方程为为参数），

两式平方相加得，

所以曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；

（2）当时，曲线的参数方程为为参数），

所以，曲线的参数方程化为为参数），

两式相加得曲线方程为，

得，平方得，

曲线的极坐标方程为，

曲线直角坐标方程为，

联立方程，

整理得，解得或 （舍去），

，公共点的直角坐标为 .

【点睛】

本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关键，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.

2．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）

已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：（θ为参数），C2：（t为参数）.

（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.

【答案】（1）；；（2）.

【分析】

（1）分别消去参数和即可得到所求普通方程；

（2）两方程联立求得点，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.

【详解】

（1）由得的普通方程为：；

由得：，两式作差可得的普通方程为：.

（2）由得：，即；

设所求圆圆心的直角坐标为，其中，

则，解得：，所求圆的半径，

所求圆的直角坐标方程为：，即，

所求圆的极坐标方程为.

【点睛】

本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.

3．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.

（1）求||：

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.

【答案】（1）（2）

【分析】

（1）由参数方程得出的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出的值；

（2）由的坐标得出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.

【详解】

（1）令，则，解得或（舍），则，即.

令，则，解得或（舍），则，即.

；

（2）由（1）可知，

则直线的方程为，即.

由可得，直线的极坐标方程为.

【点睛】

本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.

4．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）求C上的点到l距离的最小值．

【答案】（1）；；（2）

【分析】

（1）利用代入消元法，可求得的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.

【详解】

（1）由得：，又

整理可得的直角坐标方程为：

又，

的直角坐标方程为：

（2）设上点的坐标为：

则上的点到直线的距离

当时，取最小值

则

【点睛】

本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.

5．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）

在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P.

（1）当时，求及l的极坐标方程；

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.

【答案】（1），l的极坐标方程为；（2）

【分析】

（1）先由题意，将代入即可求出；根据题意求出直线的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；

（2）先由题意得到P点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围.

【详解】

（1）因为点在曲线上，

所以；

即，所以，

因为直线l过点且与垂直，

所以直线的直角坐标方程为，即；

因此，其极坐标方程为，即l的极坐标方程为；

（2）设，则， ，

由题意，，所以，故，整理得，

因为P在线段OM上，M在C上运动，所以，

所以，P点轨迹的极坐标方程为，即.

【点睛】

本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.

6．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）

如图，在极坐标系中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.

（1）分别写出，，的极坐标方程；

（2）曲线由，，构成，若点在上，且，求的极坐标.

【答案】(1) ,,,

(2) ,,,.

【分析】

(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中的取值范围.

(2)根据条件逐个方程代入求解，最后解出点的极坐标.

【详解】

(1)由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.

，

,.

(2)解方程得，此时P的极坐标为

解方程得或，此时P的极坐标为或

解方程得，此时P的极坐标为

故P的极坐标为,,,.

【点睛】

此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题.

7．2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷）

在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求的直角坐标方程；

（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.

【答案】(1) .

(2) .

【解析】

分析：(1)就根据，以及，将方程中的相关的量代换，求得直角坐标方程；

(2)结合方程的形式，可以断定曲线是圆心为，半径为的圆，是过点且关于轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直线与圆的位置关系，得到k所满足的关系式，从而求得结果.

详解：（1）由，得的直角坐标方程为

．

（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．

由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．

当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．

经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．

当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．

经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．

综上，所求的方程为．

点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为直线与圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果.

8．2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.

（1）求和的直角坐标方程；

（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．

【答案】（1），当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为；（2）

【分析】

分析：(1)根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分 与两种情况.(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得之间关系，求得，即得的斜率．

【详解】

详解：（1）曲线的直角坐标方程为．

当时，的直角坐标方程为，

当时，的直角坐标方程为．

（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程

．①

因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．

又由①得，故，于是直线的斜率．

9．2018年全国卷Ⅲ文数高考试题

在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．

（1）求的取值范围；

（2）求中点的轨迹的参数方程．

【答案】（1）

（2）为参数，

【解析】

分析：（1）由圆与直线相交，圆心到直线距离可得．

（2）联立方程，由根与系数的关系求解

详解：（1）的直角坐标方程为．

当时，与交于两点．

当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．

综上，的取值范围是．

（2）的参数方程为为参数， ．

设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．

于是，．又点的坐标满足

所以点的轨迹的参数方程是 为参数， ．

点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的参数方程，考查求点的轨迹方程，属于中档题．

10．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为

．

（1）若，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求．

【答案】（1），；（2）或．

【解析】

试题分析：（1）直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立解交点坐标；（2）利用椭圆参数方程，设点，由点到直线距离公式求参数．

试题解析：（1）曲线的普通方程为.

当时，直线的普通方程为.

由解得或.

从而与的交点坐标为，.

（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为

.

当时，的最大值为.由题设得，所以；

当时，的最大值为.由题设得，所以.

综上，或.

点睛:本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表示出椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数的值．

11．2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；

（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．

【答案】（1）；（2）

【详解】

试题分析：（1）设出P的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为；

（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得面积的最大值为.

试题解析：解：（1）设P的极坐标为（）（＞0），M的极坐标为（）由题设知

|OP|=，=.

由|OP|=16得的极坐标方程

因此的直角坐标方程为.

（2）设点B的极坐标为 （）.由题设知|OA|=2，，于是△OAB面积

当时， S取得最大值.

所以△OAB面积的最大值为.

点睛:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.

12．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）

在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）消去参数得的普通方程；消去参数m得l2的普通方程.

设,由题设得，消去k得.

所以C的普通方程为.

（2）C的极坐标方程为.

联立得.

故，

从而.

代入得，

所以交点M的极径为.

【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.

13．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）

选修44：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cos θ.

（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.

【答案】（Ⅰ）圆，（Ⅱ）1

【详解】

试题分析：（Ⅰ）把化为普通方程，再化为极坐标方程；（Ⅱ）通过解方程组可以求得.

试题解析：（Ⅰ）消去参数得到的普通方程.

是以为圆心，为半径的圆.

将代入的普通方程中，得到的极坐标方程为

.

（Ⅱ）曲线的公共点的极坐标满足方程组

若，由方程组得，由已知，

可得，从而，解得（舍去），.

时，极点也为的公共点，在上.所以.

【考点】

参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用

【名师点睛】

“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.

14．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）

在直角坐标系中，圆的方程为．

（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；

（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）,与交于两点，，求的斜率．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用，化简即可求解；（Ⅱ）先将直线化成极坐标方程，将的极坐标方程代入的极坐标方程得，再利用根与系数的关系和弦长公式进行求解.

试题解析：（Ⅰ）化圆的一般方程可化为.由，可得圆的极坐标方程.

（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.

设，所对应的极径分别为，，将的极坐标方程代入的极坐标方程得.

于是，.

.

由得，.

所以的斜率为或.

15．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；

（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.

【答案】（1）：，：；（2），此时.

【解析】

试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为 到的距离

当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.

试题解析： （1）的普通方程为，的直角坐标方程为.

（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.

当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.

考点：坐标系与参数方程.

【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等．把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．

16．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）

在直角坐标系中，直线，圆,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求，的极坐标方程；

（2）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积．

【答案】(1),；(2)．

【解析】

试题分析：（1）将代入的直角坐标方程，化简得，；（2）将代入，得得， 所以，进而求得面积为.

试题解析：

（1）因为 ，所以的极坐标方程为，

的极坐标方程为

（2）将代入

得得 ， 所以

因为的半径为1，则的面积为

考点：坐标系与参数方程.