专题38极坐标与参数方程知识点与大题16道高考真题（原卷版）-备战2022年高考数学大题分类提升专题学案

专题38极坐标与参数方程知识点与大题16道高考真题（原卷版）

一、极坐标系

    在平面上取一个定点，由点出发的一条射线 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点称为极点，称为极轴.平面上任一点M的位置可以由线段的长度和从到的角度 (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示).

    这两个实数组成的有序实数对称为点M的极坐标. 称为极径，称为极角.

二、极坐标与直角坐标的互化

    设为平面上的一点，其直角坐标为，极坐标为，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立:

或 （对也成立）.

三、极坐标的几何意义

——表示以为圆心，为半径的圆；

——表示过原点(极点)倾斜角为的直线，为射线；

表示以为圆心过点的圆.

    (可化直角坐标: .)

四、直线的参数方程

     直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为

，其中为直线的倾斜角)，代人点斜式方程:

 ,即.

记上式的比值为,整理后得,也成立，故直线的参数方程为(为参数，为倾斜角，直线上定点，动点 ，为的数量，向上向右为正(如图16-33所示).

五、圆的参数方程

  若圆心为点，半径为，则圆的参数方程为.

六、椭圆的参数方程

椭圆的参数方程为（为参数，）.

七、双曲线的参数方程

    双曲线的参数方程为.

八、抛物线的参数方程

    抛物线的参数方程为（为参数，参数的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数）.

1．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）当时，是什么曲线？

（2）当时，求与的公共点的直角坐标．

2．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）

已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：（θ为参数），C2：（t为参数）.

（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.

3．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数且t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.

（1）求||：

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.

4．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）求C上的点到l距离的最小值．

5．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）

在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P.

（1）当时，求及l的极坐标方程；

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.

6．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）

如图，在极坐标系中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.

（1）分别写出，，的极坐标方程；

（2）曲线由，，构成，若点在上，且，求的极坐标.

7．2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷）

在直角坐标系中，曲线的方程为.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求的直角坐标方程；

（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程.

8．2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.

（1）求和的直角坐标方程；

（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．

9．2018年全国卷Ⅲ文数高考试题

在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．

（1）求的取值范围；

（2）求中点的轨迹的参数方程．

10．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为

．

（1）若，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求．

11．2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；

（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．

12．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）

在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径.

13．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）

选修44：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cos θ.

（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.

14．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）

在直角坐标系中，圆的方程为．

（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；

（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）,与交于两点，，求的

15．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；

（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.

16．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）

在直角坐标系中，直线，圆,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求，的极坐标方程；

（2）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积．