专题35极坐标与参数方程知识点与大题16道专练（基础题）（解析版）-备战2022年高考数学大题分类提升专题学案

专题35极坐标与参数方程知识点与大题16道专练（基础题）（解析版）

一、极坐标系

    在平面上取一个定点，由点出发的一条射线 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点称为极点，称为极轴.平面上任一点M的位置可以由线段的长度和从到的角度 (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示).

    这两个实数组成的有序实数对称为点M的极坐标. 称为极径，称为极角.

二、极坐标与直角坐标的互化

    设为平面上的一点，其直角坐标为，极坐标为，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立:

或 （对也成立）.

三、极坐标的几何意义

——表示以为圆心，为半径的圆；

——表示过原点(极点)倾斜角为的直线，为射线；

表示以为圆心过点的圆.

    (可化直角坐标: .)

四、直线的参数方程

     直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为

，其中为直线的倾斜角)，代人点斜式方程:

 ,即.

记上式的比值为,整理后得,也成立，故直线的参数方程为(为参数，为倾斜角，直线上定点，动点 ，为的数量，向上向右为正(如图16-33所示).

五、圆的参数方程

  若圆心为点，半径为，则圆的参数方程为.

六、椭圆的参数方程

椭圆的参数方程为（为参数，）.

七、双曲线的参数方程

    双曲线的参数方程为.

八、抛物线的参数方程

抛物线的参数方程为（为参数，参数的几何意义是抛物线上的点与顶点连线的斜率的倒数）.

1．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝.

（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；

（2）当θ∈(0,π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标.

【答案】（1）x2＋y2－x－y＝0，x－y＋1＝0；（2）.

【分析】

（1）根据极坐标与直角坐标的关系，即可写出圆O和直线l的直角坐标方程；

（2）联立圆O和直线l方程求交点，将其转化为极坐标即可.

【详解】

（1）圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，

∴圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，

直线l：，即ρsin θ－ρcos θ＝1，

∴直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.

（2）由得

故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.

2．在直角坐标系xOy中，曲线C1： (α为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：ρ2＝4ρcos θ－3.

（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

（2）若曲线C1与C2交于A，B两点，A，B的中点为M，点P(0，－1)，求|PM|·|AB|的值．

【答案】（1）曲线:；曲线：；（2）3．

【分析】

（1）利用参数方程和极坐标方程化为普通方程和直角坐标方程的公式即可求解；

（2）将两圆的方程作差可得直线AB的方程，与圆C2联立，转化为关于t的一元二次方程，由参数的几何意义及韦达定理求解．

【详解】

（1）曲线 的普通方程为．

由，得曲线的直角坐标方程为．

（2）将两圆的方程与作差得直线AB的方程为．

点P(0，－1)在直线AB上，设直线AB的参数方程为 (t为参数)，

代入化简得，所以

因为点M对应的参数为＝，

所以|PM|·|AB|＝·|t1－t2|＝×＝×＝3.

3．已知圆和圆的极坐标方程分别为，．

（1）求两圆的直角坐标方程；

（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．

【答案】（1），；（2）

【分析】

（1）将两边同时平方得，将展开得后整理得：，再将，，代入两个极坐标方程即可得直角坐标方程；

（2）将两个圆的直角坐标方程相减可得经过两圆交点的直线的直角坐标方程，再将，代入即可得极坐标方程.

【详解】

（1）由得，因为，

所以圆的直角坐标方程为，

由得，

即，

因为，，所以，

所以圆的直角坐标方程为，

（2）两个圆的直角坐标方程相减得：，

即，转化为极坐标方程为：，

即，

所以过两圆交点的直线的极坐标方程为：

4．在直角坐标系 中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）求直线被曲线截得的弦长.

【答案】（1），；（2）.

【分析】

（1）利用消参法即可得直线的普通方程，根据极坐标与直角坐标的关系即可得曲线C的方程；

（2）由（1）知曲线C为圆，根据圆的性质，结合点线距离公式，即可求弦长.

【详解】

（1）由直线的参数方程( t为参数可得其普通方程为：

；

由曲线的极坐标方程得，所以曲线的直角坐标方程为：

.

（2）由（1）得曲线：，圆心到直线的距离为：，

所以直线被曲线截得的弦长为：.

5．已知曲线（t为参数且），直线l的极坐标方程为．

（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；

（2）若P为曲线C上一点，求P到直线l距离的最小值．

【答案】（1）；；（2）.

【分析】

（1）利用直角坐标与参数方程、极坐标方程的互化公式；

（2）用点到直线的距离公式.

【详解】

（1）由，两边平方作差得：；

由，且，得．

（2）设，由点到直线的距离公式可知：

．

当且仅当时，取等号．

【点睛】

此题考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程之间的互化；参数方程的应用．

6．在直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数，）.

（1）求曲线的普通方程；

（2）直线与曲线只有一个公共点，求的取值范围.

【答案】（1）曲线的普通方程为；（2）或.

【分析】

（1）消除参数，即可求出结果；

（2）作出直线与曲线的草图，利用属性结合即可求出结果.

【详解】

（1）由题意可知，，即；

又，所以；

所以曲线的普通方程为 .

（2）直线与曲线只有一个公共点，

又直线必过点，

当直线与曲线相切时，所以，所以；

当直线与曲线相交时，如下图所示：

由图象可知，;

综上，若直线与曲线只有一个公共点，则或.

【点睛】

本题主要考查了圆的参数方程，以及直线与圆的位置关系，同时考查了学生数形结合能力，属于基础题.

7．在极坐标系中,直线的极坐标方程为．以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,曲线的参数方程为,（为参数）．

（1）请写出直线的参数方程;

（2）求直线与曲线交点的直角坐标．

【答案】（1）直线l的参数方程为（为参数）；（2）.

【分析】

（1）将直线的极坐标方程直接转化为直角坐标防尘,再根据直角坐标方程得出参数方程.

（2）将曲线的参数方程化为直角坐标方程,与直线联立求出交点坐标,再根据的取值范围选取符合条件的点坐标。

【详解】

解: （1）因为直线的极坐标方程为,

以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,

则直线的直角坐标方程为①

所以,,

则直线的参数方程为（为参数）.

（2）又因为曲线的参数方程为,（为参数）.

所以,则曲线的直角坐标方程为②,

联立①②解方程组得或,

根据的取值范围,舍去.

故点的直角坐标为.

【点睛】

本题主要考查参数的方程的计算,以及直角坐标与极坐标的转化运算。

8．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求的普通方程和的直角坐标方程；

（2）求上的动点到距离的取值范围．

【答案】（1）.（2）

【分析】

（1）直线的参数方程消去参数t，能求出直线 的普通方程；曲线的极坐标方程转化为，由此能求出曲线的直角坐标方程．

（2）设 ，则，由此能求出曲线上的点到的距离的取值范围．

【详解】

（1）∵直线的参数方程为（t为参数），

∴消去参数t，能求出直线的普通方程为 ．

∵曲线的极坐标方程为．

∴，即

∴曲线的直角坐标方程为 ，即 ．

（2）曲线的参数方程为，（θ为参数），

设，

则

∵ ，

∴曲线上的点到的距离的最大值为，最大值为，所以取值范围为 .

【点睛】

本题查直线的普通方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查曲线上的点到直线的距离的最大值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

9．已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.

（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；

（2）若直线l交曲线C于A，B两点，交x轴于点P，求的值.

【答案】（1）C：；l：；（2）8.

【分析】

直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程.

将直线的参数方程与双曲线的方程联立，利用参数的几何意义得出答案.

【详解】

解：（1）曲线C的参数方程为（为参数），

转化为直角坐标方程为，

直线l的极坐标方程，

直角坐标方程为：.

（2）由于直线与x轴的交点坐标为，

所以直线的参数方程为(为参数)，

代入得到：，

所以：，，

则：.

【点睛】

本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程之间的转换，同时考查直线参数的意义，考查了学生的运算能力和转换能力，属于基础题.

10．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线，曲线.

（1）求曲线与的直角坐标方程；

（2）若直线的极坐标方程为，设与和的交点分别为M，N，求.

【答案】（1），；（2）.

【分析】

（1）由利用极坐标和直角坐标互换公式，即可求出曲线与的直角坐标方程；

（2）联将直线的极坐标方程分别于曲线与的极坐标方程联立，即可求出，再根据，即可求出结果.

【详解】

解：（1）由，得，

∴曲线的直角坐标方程为.

由，得，

∴曲线的直角坐标方程为.

（2）联立，得，

联立，得，.

故.

【点睛】

本题主要考查了极坐标方程和直角坐标方程的互化，以及利用极坐标方程解决曲线与曲线的交点问题．属于基础题.

11．在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求和的直角坐标方程；

（2）设点，直线交曲线于两点，求的值.

【答案】（1）（2）30

【分析】

（1）将直线的参数方程消去可得直角坐标方程，结合极坐标方程与直角坐标方程间的关系，求求得的直角坐标方程.

（2）将直线的参数方程，代入的直角坐标方程中，得到关于的一元二次方程，结合根与系数关系，及，可求出答案．

【详解】

（1）由已知得的直角坐标方程分别为，

由，则，得.

（2）将直线的参数方程代入直角方程得：，

不妨设对应的参数分别为，则恒成立，，

又因为，所以由参数的几何意义得：

，.

【点睛】

本题考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程间的转化，考查直线参数方程中参数含义的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

12．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线，的方程的普通直角坐标方程；

（2）过的直线交曲线于A，B两点，当时，求直线的倾斜角.

【答案】（1），；（2）或.

【分析】

（1）利用直角坐标、极坐标、参数方程互化公式即可解决；

（2）设直线的参数方程为，代入曲线中得到，利用直线方程的几何意义即可.

【详解】

（1）消去参数t，得到曲线的普通方程为，

又，所以，

所以曲线的普通方程为.

（2）设直线的参数方程为（m为参数，为直线的倾斜角）

代入到曲线中得，

∴，

∴，得或.

【点睛】

本题考查直角坐标、极坐标、参数方程互化以及直线参数方程的几何意义的应用，是一道基础题 .

13．在极坐标系中，曲线方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴的平面直角坐标系中，曲线（为参数）

（1）将化为直角坐标系中普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若极坐标系中上的点对应的极角为，为上的动点，求中点到直线（为参数）距离的最小值.

【答案】（1），.为圆心是，半径是4的圆；为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是，短半轴长是1的椭圆.

（2）最小值.

【分析】

（1）由，将极坐标方程化为普通方程，利用消参法，消参数可得的普通方程，得解.

（2）由点到直线的距离及三角函数的有界性求解即可.

【详解】

解：（1）由曲线方程为，

则，

又，

则的普通方程为，

由曲线（为参数），

由，

消参数可得的普通方程为.

则为圆心是，半径是4的圆；为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是，短半轴长是1的椭圆.

（2）当时，则，

故，

曲线的普通方程为直线，

则点到直线的距离，

从而当时，取得最小值.

【点睛】

本题考查了曲线参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，重点考查了点到直线的距离公式，属基础题.

14．已知曲线的参数方程为，以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

(1)写出曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；

(2)若射线与曲线交于两点，与直线交于点，射线与曲线交于两点，求的面积.

【答案】（1） ；（2）

【分析】

（1）首先根据曲线的参数方程先化为直角坐标方程，再把直接直角坐标方程化为极坐标方程．根据即可把直线化为直角坐标方程．

（2）把射线带入曲线和直线的极坐标方程得出点的坐标，把射线带入曲线的极坐标得出点的坐标．根据即可求出面积．

【详解】

（1）因为曲线的参数方程为

所以

所以曲线的极坐标方程为：

又直线的极坐标方程为

所以直线的直角坐标系方程为

综上所述：

（2）由（1）知曲线的极坐标方程为

所以联立射线与曲线及直线的极坐标方程可得

所以联立射线与曲线的极坐标方程可得

所以

所以

【点睛】

本题主要考查了参数方程、直角坐标方程、极坐标方程直接的互化，主要掌握．属于基础题．

15．若函数的图象在伸缩变换的作用下得到曲线的方程为.

（1）求函数的最小正周期；

（2）求函数取得最值时的取值范围.

【答案】（1）（2）见解析.

【分析】

(1)将变换代入.化简得到.利用周期公式即得.

(2)利用正弦函数图像和性质解得.

【详解】

（1）解：由题意，把变换公式代入曲线得

，整理得，故.

所以函数的最小正周期为.

（2）当即时函数取得最大值

函数取得最大值时的取值范围是，

当即时函数取得最小值

函数取得最小值时的取值范围是.

【点睛】

本题考查了伸缩变化公式的应用,三角函数的周期公式,正弦函数的图像与性质,基础题.

16．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知直线的参数方程是，圆C的极坐标方程为．

（1）求圆心C的直角坐标；

（2）由直线上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：第一问将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，将其化为标准方程，从而得出圆心的直角坐标，第二问注意对应的直角三角形，应用勾股定理从而求得结果．

试题解析：（Ⅰ）因为，所以， （2分）

所以圆的直角坐标方程为， （3分）

即，所以圆心直角坐标为； （5分）

（Ⅱ）：直线上的点向圆引切线长是

，

（8分）

∴直线上的点向圆引的切线长的最小值是（10分）

考点：极坐标方程与直角坐标方程的转换，圆的切线的性质，相应的三角形的应用．