考点18 等差数列（讲解）（原卷版）

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考点18 等差数列【思维导图】 【常见考法】考法一：定义的运用1.已知数列中，，，证明数列为等差数列，并求数列的通项公式；           2．已知数列中，， ，数列满足。（1）求证：数列为等差数列。（2）求数列的通项公式。       考法二：中项性质1.等差数列，，，的第四项等于     。  2.等差数列的前项和为，若，则    。  3．已知数列为等差数列，为其前 项和，，则         。  4．已知，，并且，，成等差数列，则的最小值为      。  5．在等差数列 中，若  为方程 的两根，则     。  6．等差数列中，若，则的值是   。   7．在中，若，，成等差数列，，则当取最大值时，           。  8．的内角所对的边分别为 ，若角依次成等差数列，且，则的面积     。  9．已知，，且，，成等差数列，则有最小值    。  10．设有四个数的数列,该数列前项成等比数列,其和为m,后项成等差数列,其和为. 则实数m的取值范围为     。    考法三：前n项和的性质1．设等差数列的前项和为，若，，则的值为      。  2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则=    。  3.已知等差数列的前项和为，且，，则          ；  4.数列的通项公式为，要使数列的前项和最大，则的值为     。  5.若数列是等差数列，首项，，则使前项和成立的最大自然数是__________．  6．是等差数列的前项和，，则时的最大值是     。  6．设等差数列的前项和，且，则满足的最大自然数的值为 。  考点四：实际运用1．《九章算术》有这样一个问题：今有男子善走，日增等里，九日共走一千二百六十里，第一日､第四日､第七日所走之和为三百九十里，问第一日所走里数为    。  2．中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人12月营收贯数为           。 3．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.”在该问题中的1864人全部派遣到位需要的天数为     。   4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的是最小的两份之和，则最小的一份的量是     。  5．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为                 。