考点20 递推公式求通项（第2课时）讲解（解析版）练习题

考点20 递推公式求通项（第二课时）

【思维导图】

【常见考法】

考法一：构造等差数列

1．已知数列满足，则__________．

【答案】

【解析】由题， 则则数列是以为首项，2 为公差的等差数列，则即答案为.

2．在数列中，，，则这个数列的通项=    。

【答案】

【解析】∵，等式两边同时取倒数得：，则，

∴，

，，

当 时， 亦成立，综上所述

3．已知数列的前n项和为，，，则______．

【答案】

【解析】因为则可化简为

等式两边同时除以可得,即

所以数列为等差数列,首项,公差 所以

即故答案为:

4．各项均正的数列满足，则等于       。

【答案】

【解析】两边同除以，得,则为首项为2，公差为1 的等差数列，∴则

5．已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，则an＝________．

【答案】

【解析】由an－an＋1＝nanan＋1得＝n，

则由累加法得＝1＋2＋…＋(n－1)＝，

又因为a1＝1，所以，所以an＝.

考法二：构造等比数列

1．已知数列满足，且，则________________.

【答案】

【解析】由可得：，所以是以1为首项3为公比的等比数列，所以，故.

2．已知数列满足，则数列的通项公式_________.

【答案】

【解析】设①

将代入①式，得，

等式两边消去，得，两边除以，得，则，

代入①式得②

由及②式得，则，

则数列是以为首项，以为公比的等比数列，

所以，所以.

故答案为：.

3．设为数列的前项和，，且，则_.

【答案】.

【解析】由两边同除以，

整理得，

令，则，

∴，

又由解得，

∴ 。

∴数列是首项为，公比为的等比数列。

∴。

∴，

∴，

4．已知数列满足， ()，则__________．

【答案】

【解析】由 ()，可得，于是，

又，∴数列{﹣1}是以2为首项，为公比的等比数列，故﹣1=

∴an=（n∈N*）．故答案为．

考法三：周期数列

1．数列中，若，则    。

【答案】

【解析】，则，所以，所以数列是周期数列，周期为2. 又， ， ，，即.

2．已知数列中，，，则的值是     。

【答案】

【解析】因为，，所以，，，，

可知数列的取值有周期，周期为3，所以，

3．已知数列满足,,则     。

【答案】

【解析】依题意，，，所以，所以数列是周期为的数列，且每项的积为，故.

4．已知数列中，，，且，则的值为    。

【答案】2

【解析】因为，由，，得；

由，，得；

由，，得；

由，，得；

由，，得；

由，，得

由此推理可得数列是一个周期为6的周期数列，所以。

5．数列满足，（），则    。

【答案】

【解析】因为数列满足，（），所以所以是公比为2的等比数列，所以

6．已知数列中，，则      。

【答案】1022

【解析】因为，所以，

即，所以，

即，故是以3为首项，1为公差的等差数列，

所以，

所以，所以1022

7．已知数列满足，，，记数列的前项和为，则________.

【答案】7500

【解析】当是奇数时，＝﹣1，由，得，

所以，，，…，…是以为首项，以2为公差的等差数列，

当为偶数时，＝1，由，得，

所以，，，…，…是首项为，以4为公差的等差数列，

则 ，

所以.

故答案为：7500