考点22 空间几何平行问题（练习）（解析版）

考点22  空间几何平行问题

【题组一  三角形中位线】

1．如图，点E和点F分别是BC，的中点，求证：平面

【答案】见解析

【解析】证明如图，连接.

在中，因为E和F分别是BC，的中点，

所以.又因为，平面，所以平面.

2．如图，四棱锥中，底面为矩形，面，为的中点，证明：平面;

【答案】证明见解析  

【解析】设BD交AC于点O，连结EO．

因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．

又E为PD的中点，所以EO∥PB   

又EO平面AEC，PB平面AEC所以PB∥平面AEC．

3．如图所示，在三棱锥中，为的中点，垂直平分，且分别交于点，证明：

【答案】见解析

【解析】证明：垂直平分  为的中点

又为的中点  为的中位线 

又 

4．如图,,若为中点,求证:∥平面

【答案】证明见解析

【解析】设与交于点,连结,在矩形中,点为中点,

如图:

为中点,∥

又平面,平面∥平面．

5．已知四棱锥中，侧面，，是边长为2的正三角形，底面是菱形，点为的中点，求证：

【答案】证明见解析

【解析】连结，交于，由于底面为菱形，为中点

又为的中点，，又

6．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中点，求证：BC1∥平面CA1D．

【答案】略

【解析】证明：如图所示，连接AC1交A1C于点O，连接OD，则O是AC1的中点．∵点D是AB的中点，

∴OD∥BC1.

又∵OD⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，

∴BC1∥平面CA1D.

【题组二  构造平行四边形证线面平行】

1．如图，四棱锥中侧面PAB为等边三角形且垂直于底面ABCD，, E是PD的中点，证明：直线∥平面

【答案】见解析

【解析】取的中点,连,

是的中点, ,

又 四边形是平行四边形

∥又平面,平面 ∥平面

2．如图，菱形，分别是的中点，求证：平面；

【答案】证明见解析

【解析】解法一：（1）取中点，连接，.

因为分别是的中点，

所以，且，

所以四边形为平行四边形，

所以，

因为平面，平面，

所以平面.

3．由四棱柱截去三棱锥，后得到的几何体如图所示.四边形为正方形，为与的交点，E为的中点，证明：平面

【答案】证明见解析

【解析】如图②所示，

取的中点，连接由于多面体是四棱柱，所以，，

因此四边形为平行四边形，所以.

又平面，平面，所以平面.

4．在如图所示的五面体中,四边形为菱形,且为中点，求证:平面

【答案】见解析

【解析】取中点,连接,

因为分别为的中点,所以,且,

因为四边形为菱形,所以平面平面,

所以平面.

因为平面平面平面,

所以.

又,所以.

所以四边形为平行四边形，所以.

又平面，且平面,所以平面.

【题组三  线面垂直证线面平行】

1．如图所示，在正方体中，是上一点，是的中点，平面.求证：.

【答案】证明见解析

【解析】因为四边形为正方形，所以.

又平面，平面，

所以.

因为，

所以平面.

又平面，

所以.

2．已知正方体，分别为和上的点，且，.

（1）求证：；

（2）求证：三条直线交于一点.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析

【解析】证明：(1)如图，连结和，

在正方体中，，

∵，

∴，

又，，

∴．

又在正方体中，，,

∴，

又，

∴．

同理可得，

又，

∴．

∴∥.

（2）由题意可得（或者和不平行），

又由(1)知∥，

所以直线和必相交，不妨设，

则，

又，

所以，

同理．

因为，

所以，

所以、、三条直线交于一点．

【题组四  三角形相似比证线线平行】

1．如图，在四面体中，是的中点，是的中点，点在线段上，且求证：平面.

【答案】证明见解析

【解析】如下图所示，取的中点，在线段上取点，使得，连接、、.

，，，且.

、分别为、的中点，，且.

为的中点，.

且，四边形是平行四边形，.

平面，平面，平面.

2．如图，三棱锥中，底面ABC，，点E、F分别为PA、AB的中点，点D在PC上，且,明：平面BDE；

【答案】见解析

【解析】设AE中点为G，连结GF，GC，

则，平面EBD.

，∴，平面，

∴平面平面EBD，∴平面；

【题组五  线面平行性质证线线平行】

1．如图，在三棱柱中，是的中点，是上一点，但平面，则的值为_______.

【答案】

【解析】如下图所示，连接交于点，连接.

在三棱柱中，，，

为的中点，，.

平面，平面，平面平面，，

，故答案为.

2.如图，在多面体中，平面，∥，平面平面，，，,求证：∥；

【答案】证明见解析

【解析】证明：∵∥，平面，平面，

∴∥平面.

又平面，平面平面，∴∥．

3．如图所示，三棱柱中，点，分别是线段，的中点，设平面与平面的交线为，求证：.

【答案】证明见解析

【解析】证明：如图所示，连接，在中，点，分别为，的中点，所以.

又平面，平面，所以平面.

又平面，平面平面，所以.

4．如图所示，已知三棱锥中，，分别是边，的中点，过的平面截三棱锥得到的截面为，求证：.

【答案】证明见解析

【解析】证明：在中，因为，分别是边，的中点，

所以由三角形的中位线定理可知.

又因为面，面，

所以由线面平行的判定定理可知面.

又因为面，面面，

所以由线面平行的性质定理可知.

【题组六 面面平行性质证线线平行】

1．在如图所示的五面体中，四边形为平行四边形，平面，，为的中点.求证：平面.

【答案】证明见解析

【解析】取的中点，连接、.

因为、分别为、的中点，所以.

又平面，且平面，所以平面，

因为平面，平面，平面平面，所以.又，，所以，，

所以四边形为平行四边形，所以.

又平面，且平面，以平面.

又，所以平面平面.

又平面，所以平面.

2．如图，在正四棱锥中，点在棱上，且，点为棱的中点,求证：//平面

【答案】见详解

【解析】如图

取的中点，又，

所以为的中点，

连接交于点

因为四边形正方形，所以为的中点

又点为棱的中点，所以////，

又

且平面，平面

所以平面//平面，又平面

所以//平面.

3．如图，在四棱柱中，底面为梯形，，平面与交于点.

求证：.

【答案】证明见解析

【解析】因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE平面AA1D，

所以BE∥平面AA1D．

因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC平面AA1D，

所以BC∥平面AA1D．

又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，

所以平面BCE∥平面AA1D．

又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，

所以EC∥A1D．

4．如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，M，N分别是PB，PC的中点.求证：平面AMC.

【答案】证明见解析

【解析】如图，连接DB交AC于点F.

∵，，∴.

取PM的中点G，连接DG，FM，则，，

.

又平面AMC，平面AMC，∴平面AMC.

连接GN，则.

又平面AMC，平面AMC，∴平面AMC.

又，∴平面平面AMC.

又平面DNG，∴平面AMC.

5．如图，在四棱柱中，点M和N分别为和的中点、求证：平面.

【答案】证明见解析.

【解析】证明：如图，

设E为棱的中点，连接.

分别为，的中点，

，.

又在平面的外部，

平面，∥平面.又，

∴平面平面.

又平面，

平面.

【题组七  面面平行】

1．如图，在正方体中，分别是，的中点.

求证：

（1）平面；

（2）平面平面.

【答案】证明见解析

【解析】（1）如图，连接.

∵四边形是正方形，是的中点，∴是的中点.

又∵是的中点，∴.

∵平面，平面，

∴平面.

（2）连接，，

∵四边形是正方形，是的中点，∴是的中点.

又∵是中点，∴.

∵平面平面，

∴平面.

由（1）知平面，且，

∴平面平面.

2．如图，在三棱柱中，E，F，G分别为，，AB的中点．

求证：平面平面BEF；

若平面，求证：H为BC的中点．

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

如图，

，F分别为，的中点，，

平面，平面，平面，

又F，G分别为，AB的中点，，

又，四边形为平行四边形，则，

平面，平面，平面，

又，

平面平面BEF；

平面平面，平面平面，

平面与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交，

则，得，

为AB的中点，为BC的中点．