考点23 空间几何垂直问题（讲解）（解析版）

考点23  空间几何垂直问题

【思维导图】

【常见考法】

考法一  线面垂直

1．如图，在三棱柱中，已知侧面，，，,求证：平面ABC

【答案】证明见解析

【解析】因为侧面，侧面，故，

在中，，，，

由余弦定理得：，

所以故，所以，

而，所以平面ABC.

2．在四棱锥中，平面平面，，四边形是边长为2的菱形，，是的中点,求证：平面

【答案】详见解析

【解析】连接，在中，，是的中点，∴得，

∵平面平面，平面平面，

∴平面，

∴，

又∵四边形是边长为2的菱形，，

∴为等边三角形，

∴，

又∵，面，面，

∴平面；

3．如图， 中，，，分别为，边的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，证明：平面

【答案】见解析

【解析】因为分别为，边的中点，所以，

因为，所以，，

又因为，所以平面，所以平面．

考法二  面面垂直

1．如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，是的中点，底面，,证明：平面平面

【答案】证明见解析

【解析】如图所示，连接，由是菱形，且知是等边三角形.

因为是的中点，所以.又，所以.

又因为平面，平面，所以.又，因此平面.又因为平面，所以平面平面.

2．如图，在四棱锥中，，，，，，，平面，点在棱上,求证：平面平面

【答案】证明见解析

【解析】证明: 四棱锥中,,,,

由正弦定理可得,代入可得

所以，所以

则

所以

因为四棱锥中,平面

所以,且

所以平面

由因为平面

由平面与平面垂直的判定定理可得平面平面

3．如图，四边形为正方形，，且，平面,证明：平面平面

【答案】见解析

【解析】，，.

又平面，平面，.

，平面，平面，.

四边形为正方形，.

又，平面.

平面，平面平面；

4．如图,在四棱锥中,底面ABCD是直角梯形,,∥,侧棱平面ABCD,,求证:平面平面

【答案】证明见解析

【解析】平面,平面,

,∥

平面

平面

平面平面

考法三 线线垂直

1．如图，在四棱锥中，平面，且，，，点G，H分别为边，的中点，点M是线段上的动点,求证：

【答案】证明见解析

【解析】证明：连接,相交于点O.如下图所示:

平面.平面,

.

又,,

为线段的垂直平分线.

.

∵G,H分别为,的中点,

,

,

又,,平面,

平面.

又平面,

.

2．在中（图1），，，为线段上的点，且.以为折线，把翻折，得到如图2所示的图形，为的中点，且，连接,求证：

【答案】证明见解析

【解析】证明：在图1中有：，，

所以，

在中，，，

，

所以，

在图2中：在中，，为的中点

，在中，，，

，所以，翻折后仍有

又、平面，，平面

平面，所以