考点22 空间几何平行问题（讲解）（解析版）

考点22 空间几何平行问题

【思维导图】

【常见考法】

考法一  平行传递性证线线平行

1．四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面 , 证明：直线平面;

【答案】见解析

【解析】 在平面内，因为,所以

又平面平面故平面

考法二 三角形中位线证线线平行

1．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点，求证：PC // 平面BDE；

【答案】见解析

【解析】证明: 连结,交于,连结.

因为是平行四边形,所以.

因为为侧棱的中点所以∥.

因为平面,平面所以∥平面.

2．四棱锥中，底面为矩形，，为的中点，证明：；

【答案】见解析

【解析】连结BD交AC于点O,连结EO因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点

又E为的PD的中点，所以EO//PBEO平面AEC,PB平面AEC，所以PB//平面AEC

考法三 构造平行四边形证线线平行

1．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为AD，PB的中点，求证：EF∥平面PCD.

【答案】详见解析

【解析】如图，取中点，连接.

∵分别为和的中点，∴，且.

∵四边形为平行四边形，且为的中点，

∴，

∴，且，∴四边形为平行四边形，∴.

又平面，平面，∴平面.

2．如图，在直四棱柱中，底面为梯形，，，，，，点在线段上，，，证明：平面

【答案】证明见解析

【解析】证明：连接，因为底面为梯形，，，，

则，且，

所以四边形为平行四边形，则.

又平面，平面，

所以平面.

考法四 线面垂直的性质证线线平行

1．如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，，证明：直线平面；

【答案】见解析

【解析】证明：取中点，连接，

是正三角形，

∵平面平面，平面，

平面，∴，

又面，面，面.

2如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，且平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD，．求证：平面ABCD

证明：如图，过点作于，连接，∴．如图D

∵平面⊥平面，平面，

平面平面 ，

∴⊥平面，

又∵⊥平面，，

∴，.

∴四边形为平行四边形．

∴.

∵平面，平面，

∴平面．       

考法五 三角形相似比证线线平行

1．如图，在四棱锥中，，，，，E为侧棱PA上一点，若，求证：平面EBD

【答案】证明见解析

【解析】设，连结EG，

由已知，，，得.

由，得.

在中，由，得.

因为平面EBD，平面EBD，所以平面EBD.

2．如图，在三棱柱中，侧面是菱形，，是棱的中点，，在线段上，且.证明：面

【答案】详见解析

【解析】连接交于点，连接．

因为，所以，又因为，所以，所以，

又面，面，所以面.

考法六 线面平行性质证明线线平行

1．如图，为平行四边形所在平面外一点，为上一点，且，为上一点，当平面时，         .

【答案】

【解析】连接交于点，连接．

平面，平面，平面平面，

，，

2．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是的中点，在上取一点，过点和作平面，交平面于，点在线段上.求证：.

【答案】证明见解析

【解析】证明：如图，连接，设交于点，连接．

∵四边形是平行四边形，

∴是的中点

又是的中点，∴.

又平面，平面BDM，

∴平面

又平面，平面平面，∴．

3．如图所示，在多面体中，四边形，，均为正方形，为的中点，过的平面交于.

证明：.

【答案】见解析

【解析】证明： 且，

四边形为平行四边形，

，

又平面，平面

平面，

又因为平面平面，平面，；

考法七  面面平行的性质证线面平行

1．如图①所示，在直角梯形中，，，为的中点，分别为的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图②所示.

求证：在四棱锥中，平面.

【答案】见解析

【解析】∵G为BC的中点，E为PC的中点，∴GE∥BP

∵GE⊄平面PAB，BP⊂平面PAB，∴GE∥平面PAB，

由F为PD的中点，得EF∥DC，∵AB∥DC，∴EF∥AB

∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB，∵EF∩GE＝E

∴平面EFG∥平面PAB，∵PA⊂平面PAB，∴AP∥平面EFG．

2如图，三棱锥中， 是的中点， 是的中点，点在上且，证明： 平面；

证明：如图，取AD中点G，连接GE，GF，如图C则GE//AC，GF//AB，                    

因为GE∩GF=G，AC∩AB=A，所以平面GEF//平面ABC，所以EF//平面ABC

考法八：面面平行

1．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点，，分别在，，上（不与端点重合），且.求证：平面平面.

【答案】证明见解析

【解析】证明  .

平面平面，

平面.

∵底面为平行四边形，

.

平面平面，

平面.

又，

根据平面与平面平行的判定定理，所以面平面

2．如图所示，在三棱柱中，分别是的中点，

求证：（1）四点共面；    

（2）平面平面．

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】(1)分别是的中点，

是的中位线，则，

又，四点共面．

(2)分别为的中点，，

平面平面，平面，

又分别是的中点，，，

四边形是平行四边形，，

平面平面，平面，

又，平面平面，

考法九：动点问题

1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为边长为2的菱形，点F为棱PD的中点，在棱AB上是否存在一点E，使得AF∥面PCE，并说明理由；

【答案】见解析；

【解析】在棱AB上存在点E，使得AF∥面PCE，点E为棱AB的中点．

理由如下：取PC的中点Q，连结EQ、FQ，由题意，FQ∥DC且，AE∥CD且，故AE∥FQ且AE＝FQ．所以，四边形AEQF为平行四边形．所以，AF∥EQ，又EQ⊂平面PEC，AF⊄平面PEC，所以，AF∥平面PEC．

2．如图，在三棱柱中，点分别是棱上的点，点是线段上的动点，.若平面，试判断点的位置.

【答案】是的中点

【解析】由题意知平面，过作平面交于，连接.因为平面平面，平面平面，所以.

因为平面平面，

平面平面，

所以，

所以四边形是平行四边形，

所以.

而，

所以，

故是的中位线.

所以是的中点时，平面.