考点23 空间几何垂直问题（练习）（解析版）

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考点23  空间几何体垂直问题【题组一 线面垂直】1．如图，在直四棱柱中，底面是矩形，与交于点，,证明：平面【答案】见解析【解析】证明：因为四棱柱是直四棱柱，所以平面，则 .又，，所以平面，所以.因为，，所以是正方形，所以.又，所以平面.2．如图所示，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，E为棱的中点，F为棱上的动点,求证：平面【答案】证明见解析【解析】如下图所示,由于四边形是菱形,则,又∵,∴是等边三角形,∵E为的中点,∴,∵,∴.∵底面,平面,∴,∵,平面,∴平面；3．如图，在五棱锥中，平面，，，，，，,求证：平面【答案】见解析【解析】在三角形中，∵，，，∴，∴，∴，∴．由得．又平面，面，故．又，∴平面．4．如图，平面平面，且为正方形，，，为的中点,求证：平面【答案】详见解析【解析】因为，由余弦定理得，所以，所以.由于平面平面，且两个平面相交与，所以平面，所以，又因为，所以平面.5．如图，为圆的直径，点、在圆上，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且，,求证：平面【答案】见解析【解析】平面平面，,平面平面，平面，∵AF在平面内，∴， 又为圆的直径，∴，∴平面. 6．如图，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，AB∥CD，，,求证：平面【答案】见解析【解析】证明：过点C作CM⊥AB，垂足为M，因为AD⊥DC，所以四边形ADCM为矩形，所以AM＝MB＝2，又AD＝2，AB＝4，所以AC＝2，CM＝2，BC＝2，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC，因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，所以BE⊥平面ABCD，所以BE⊥AC.又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，且BE∩BC＝B，所以AC⊥平面BCE.【题组二  面面垂直】1．如图，已知四棱锥的底面是菱形，，，为边的中点，点在线段上,证明：平面平面【答案】证明见解析【解析】证明：连接，因为底面是菱形，，所以是正三角形，因为为边的中点，，所以，，，所以平面，因为平面，所以平面平面．2．如图，在平面图形中，为菱形，，为的中点，将沿直线向上折起，使,求证：平面平面【答案】见解析【解析】取中点，连接，，，……①由底面，所以，又由为的中点，所以，可得，又由，所以平面，……②由①②可得：面，又面平面平面.3．如图，在四棱锥中，平面，，，,求证:平面平面【答案】证明见解析【解析】证明：如图，过点作于点.因为，所以四边形是等腰梯形，可得，所以，所以.又因为平面平面，所以.因为平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.4．如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面ABC，D，E分别是ABC，的中点,求证：面面【答案】证明见解析【解析】，D是AC的中点直三棱柱中平面ABC平面平面ABC，且平面平面平面平面又在正方形中，D，E分别是AC，的中点，又平面.又面ABE面面5．梯形中，，，，，过点作，交于（如图1）.现沿将折起，使得，得四棱锥（如图2）求证：平面平面.【答案】证明见解析 【解析】在中，∵，，∴，又，∴，又，∴四边形为平行四边形.∵，∴平行四边形为菱形，∴，又，平面，，∴平面.又∵平面，∴.平面平面.【题组三 线线垂直】1．如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，为底面的对角线，为的中点,求证：【答案】见解析【解析】证明：连接交于,∵在四棱柱中，平面，平面，∴．∵四边形是正方形，∴．又∵，∴平面．∵平面，∴．2．如图，在四棱锥中，底面是菱形，底面,证明：【答案】见解析【解析】证明：连接，∵底面，底面,∴.∵四边形是菱形，∴.又∵，平面，平面，∴平面，∴.