考点25 几何法解空间角（讲解）（解析版）练习题

考点25  几何法解空间角

【思维导图】

【常见考法】

考法一 线线角

1．如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为_________________.

【答案】

【解析】连接,则异面直线与所成角为与所成角即.

又,.

故，故答案为：

2．已知正四棱柱中，，E为中点，则异面直线BE与所成角的余弦值为           。

【答案】

【解析】平移成三角形用余弦定理解，或建立坐标系解，注意线线角不大于.

取DD1中点F，则为所求角, .

3．如图，已知圆柱的轴截面是正方形，C是圆柱下底面弧的中点，是圆柱上底面弧的中点，那么异面直线与所成角的正切值为_______________.

【答案】

【解析】

取圆柱下底面弧的另一中点，连接，

则因为C是圆柱下底面弧的中点，

所以，

所以直线与所成角等于异面直线与所成角.

因为是圆柱上底面弧的中点，

所以圆柱下底面，所以.

因为圆柱的轴截面是正方形，

所以，所以直线与所成角的正切值为.

所以异面直线与所成角的正切值为.故答案为:.

4．如图，是圆的直径，点是弧的中点，分别是的中点，求异面直线与所成的角          。

【答案】

【解析】是圆的直径，.

∵点是弧的中点，.

在中，分别为的中点，，

与所成的角为.故答案为：

5．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为         。

【答案】

【解析】如图，设的中点为，连接、、，

易知即为异面直线与所成的角（或其补角）

设三棱柱的侧棱与底面边长均为1，

则，，，

由余弦定理，得

考法二  线面角

1．如图，在正方体中，与平面所成角的余弦值是         .

【答案】

【解析】如图，连接交于，则，又正方体中平面，平面，∴，而，∴平面，∴是直线与平面所成角，此角大小为45°，余弦值为．

2．如图，在直三棱柱中，为的中点.若，，求与平面所成角的正弦值      。

【答案】

【解析】过点作于点，如图，

∵三棱柱为直三棱柱，

∴平面.

∵平面，∴.

∵，为的中点，∴.

又，∴平面，

∵平面，∴.

又，，

∴平面，

∴为与平面所成的角

设，则，，

∴.

3．如图，已知四棱锥的侧棱底面，且底面是直角梯形，，，，，，点在棱上，且.

（1）证明：平面.

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）证明：取的三等分点，且，连接，，

因为，，

所以，且，

因为，，所以，且，

所以四边形为平行四边形，所以，

因为平面，平面，

所以平面；

（2）过点作，垂足为，连接，

因为平面，所以，

所以平面，则为直线与平面所成的角，

由题意可得，，

所以，

故，

即直线与平面所成角的正弦值是.

4．如图，平面平面，且为正方形，，，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成的角的正弦值.

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】（1）因为，由余弦定理得，所以，所以.由于平面平面，且两个平面相交与，所以平面，所以，又因为，所以平面.

（2）根据,，则，因为，设到平面的距离为，则，解得.设直线与平面所成的角为，则.所以直线与平面所成的角的正弦值为.

考法三 二面角

1．已知正三棱锥的所有棱长均为2，则侧面与底面所成二面角的余弦值为     。

【答案】

【解析】如图所示，过点作底面，点为垂足，连接，则，点为等边三角形的中心.

延长交于点，连接.

则.

为侧面与底面所成二面角的平面角.

∵正三棱锥的所有棱长均为2，

.

在中，.

2．在矩形中，，为矩形所在平面外一点，且平面，，那么二面角的大小为         。

【答案】30°

【解析】连接BD，作垂足为M，连接，

则为二面角的平面角.

在中，，

所以，得，

所以二面角的大小为.

3．三棱锥中，，，，则二面角等于            。

【答案】

【解析】

取中点 ,连结 ,

三棱锥中，，

所以

是二面角的平面角，

，

，

，

，

二面角的平面角的度数为.

4．如图，四棱锥中，底面为四边形，是边长为2的正三角形，，，，平面平面.

（1）求证：平面；

（2）若二面角的平面角的余弦值为，求的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）如图所示：为中点，连接，是正三角形，则.

平面平面，平面平面，故平面.

平面，故.

，，故平面.

（2）如图所示：过作于，连接.

，，为中点，故，故平面.

，故为二面角的平面角.

，故，，故.

，即，.