考点27 空间向量求空间距离（讲解） （原卷版）

考点27  空间向量求空间距离

【思维导图】

【常见考法】

考法一 两点距

1．在空间直角坐标系中，已知，则（    ）

A．3 B．1 C． D．2

【答案】C

【解析】故选：C

2．连续掷三次骰子，先后得到的点数分别为x，y，z，那么点到原点O的距离不超过3的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】点到原点O的距离不超过3，则，即

连续掷三次骰子，得到的点的坐标共有个

其中满足条件

则点到原点O的距离不超过3的概率为故选：B

考法二  点线距

1.已知0，，0，，2，，则点A到直线BC的距离为　　

A． B．1 C． D．

【答案】A

【解析】0，，0，，2，，0，，2，，

点A到直线BC的距离为：．

故选A．

2．如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为(　　)

A． B． C． D．1

【答案】B

【解析】过点B作BE垂直A1C，垂足为E，设点E的坐标为(x，y，z)，则A1(0,0,3)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，＝(1,2，－3)，＝(x，y，z－3)，＝(x－1，y，z)．

因为，所以，

解得，所以＝(－，，)，

所以点B到直线A1C的距离||＝，故答案为B

考法三 点面距

1.如图所示，在平行四边形ABCD中，，，，点E是CD边的中点，将沿AE折起，使点D到达点P的位置，且.

（1）求证；平面平面ABCE；

（2）求点E到平面PAB的距离.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）∵在平行四边形ABCD中，，，，

点E是CD边的中点，将沿AE折起，

使点D到达点P的位置，且.

∴，

∴，

∵，∴，

∵，∴平面PAE，

∵平面ABCE，∴平面平面ABCE.

（2）∵，，，

∴，∴.

∵平面PAE，，

∴平面PAE，

∴EA，EC，EP两两垂直，

以E为原点，EA，EB，EP为x，y，轴，建立空间直角坐标系，

则，

，，

设平面PAB的法向量，

则，

取，得，

∴点E到平面PAB的距离.

3．如图，在正四棱柱中，已知，.

（1）求异面直线与直线所成的角的大小；

（2）求点到平面的距离.

【答案】（1）；（2）.

【解析】以为原点，所在直线分别为轴建系，

设

所以,

,

所以异面直线与直线所成的角的余弦值为 ，异面直线与直线所成的角的大小为．

（2）因为， ，设是面的一个法向量，

所以有 即 ，令 ， ，故，

又，所以点到平面的距离为.

4．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，且平面，，M，N分别为，的中点.

（1）记平面与底面的交线为l，试判断直线l与平面的位置关系，并证明.

（2）点Q在棱上，若Q到平面的距离为，求线段的长.

【答案】（1）直线平面，证明见解析.（2）.

【解析】（1）直线与平面平行，证明如下：

连接，如下图所示：

M，N分别为，的中点，

则由中位线定理可得，

因为平面，平面，

所以平面，

平面与底面的交线为，

由线面平行的性质可得，

又因为，

则由平行线传递性可得

因为，且平面，平面，

所以直线平面.

（2）根据题意，以A为原点，建立如下图所示的空间直角坐标系：

则设，，（），

所以

解得，所以

则由中点坐标公式可得，

则

设平面的法向量为，

则，即

所以，令，代入解得.

即

而，

所以Q到平面的距离，

解得，因为，

所以.

所以

考法四  线面距

1．已知斜三棱柱,,,在底面上的射影恰为的中点,又知.

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)求到平面的距离；

(Ⅲ)求二面角的大小．

【答案】(Ⅰ)证明见解析； (Ⅱ)； (Ⅲ) .

【解析】(Ⅰ)∵平面,∴平面平面,

又,∴平面, 得,又,

∴平面.

 (Ⅱ)如图,取的中点,则,∵,∴,

又平面,以为轴建立空间坐标系,

则,,,,,,

,, 由,得.

设平面的法向量,

为,,,,

设,则.

∴点到平面的距离.

(Ⅲ)设面的法向量为,,,

∴.

设,则,故,根据法向量的方向

可知二面角的大小为.

2．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．

(1)求点D到平面PEF的距离；

(2)求直线AC到平面PEF的距离．

【答案】（1） ；（2）．

【解析】(1)建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．

则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，,,

设平面PEF的法向量 ＝(x，y，z)，

则·＝0且·＝0，所以

令x＝2，则y＝2，z＝3，所以＝(2,2,3)，

所以点D到平面PEF的距离为d＝ ，

因此，点D到平面PEF的距离为.

(2)因为，所以点A到平面PEF的距离为d＝ ，

所以AC到平面PEF的距离为.

考法五 面面距

1.．两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面间的距离是 （  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，，且两平面的一个法向量两平面间的距离，故选B.

2．在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】建立如图所示的直角坐标系，则，，，，

所以，，，

设平面的一个法向量，则，

即，解得，故，

显然平面平面，

所以平面与平面之间的距离．