考点35 二项式定理(讲解)(解析版)练习题
展开考点35 二项式定理
【思维导图】
【常见考法】
考点一 指定项系数
1.展开式中项的系数为( )
A.10 B.5 C. D.
【答案】C
【解析】展开式的通项公式为,令,可得,
故展开式中项的系数为,故选:C.
2.若的展开式中的系数为150,则( )
A.20 B.15 C.10 D.25
【答案】C
【解析】由已知得,故当时,,
于是有,则.故选:C
3.在的展开式中,的系数为( )
A.10 B.30 C.45 D.120
【答案】C
【解析】
,
故在的展开式中,的系数即为的的系数,
又展开式的通项为,令,故,所以的系数为.故选:C.
4.若曲线在处的切线斜率为,则的展开式中的常数项为( )
A. B.4 C.60 D.
【答案】C
【解析】由题,得,则,
所以,
则其二项展开式的通项公式: ,
令,解得,所以展开式中的常数项为.故选:C
考点二 因式之积的特定项系数
1.的展开式中,的系数是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】展开式的通项公式是,则的系数是.故选:B
2.的展开式中的系数为( )
A. B. C.、 D.
【答案】C
【解析】 ,
故它的展开式中含的项有的和故的系数为,
故选:.
3.的展开式中的常数项为( )
A.40 B.80 C.120 D.140
【答案】B
【解析】的展开式的通项为(),
则的展开式中的常数项为.
故选:B.
4.已知(1+ax)·(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=
A.-4 B.-3
C.-2 D.-1
【答案】D
【解析】由题意知:,解得,故选D.
考点三 (二项式)系数和
1.已知,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】二项式展开式的通项,当为奇数时,,当为偶数时,,因此,.故选:B.
2.设,则等于( )
A.1 B.2 C. D.5
【答案】B
【解析】令,则
故故选:B
3.若多项式,则( )
A.9 B.10 C.-9 D.-10
【答案】D
【解析】
,
,根据已知条件得 的系数为0, 的系数为1 故选D.
4.已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为第三项为
所以故选:D.
考点四 二项式性质及运用
1.在的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中的系数为( )
A. B. C. D.7
【答案】D
【解析】因为在的展开式中,只有第5项的二项式系数最大所以
所以的展开式的通项
令,得
所以展开式中的系数为故选:D
2.已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则( )
A.9 B.11 C.10 D.12
【答案】C
【解析】由题意,所以.故选:C.
3.在二项式的展开式中,该二项展开式中系数最大的项为___________.
【答案】
【解析】二项式的展开式通项为,
,若第系数最大,
需满足,即,
整理得,解得,
,
所以该二项展开式中系数最大的项为.故答案为:.
4.已知二项式的展开式中第项与第项的项式系数之比是,则的系数为____________.
【答案】
【解析】由题意可得,解得,
所以,展开式通项为,
令,解得,因此,展开式中的系数为.
故答案为:.
考点五 整除问题
1.除以,所得余数是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】,展开式的通项为,不能被整除即时,余数为,由于余数要为正数,故加,得.
2.已知,且恰能被14整除,则的取值可以是( )
A. B.1 C.7 D.13
【答案】D
【解析】因为
其中能被14整除,
所以要使,且恰能被14整除,所以的取值可以是.故选:D.
考点六 杨辉三角
1.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中,用如图的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列,俗称“杨辉三角形”.若将这些数字依次排列构成数列1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,…,则此数列的第2020项为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由“杨辉三角形”可知:第一行1个数,第二行2个数,...,第n行n个数,
所以前n行共有:,当时,,
所以第2020项是第64行的第4个数字,即为,故选:A.
2.我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律,去掉所有为1的项,依次构成2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,6…,则此数列的前50项和为( )
A.2025 B.3052 C.3053 D.3049
【答案】D
【解析】去除所有为1的项后,由图可知前n行共有个数,
当n=10时,,即前10行共有55个数.
因为第n-1行的和为,
所以前10行的和为.
因为第10行最后5个数为,,,,,
所以此数列的前50项的和为4072-11-55-165-330-462=3049.
故选:D.
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考点02 解析式(讲解)(解析版)练习题: 这是一份考点02 解析式(讲解)(解析版)练习题,共5页。
考点34 排列、组合(讲解) (解析版)练习题: 这是一份考点34 排列、组合(讲解) (解析版)练习题,共6页。