考点35 二项式定理（练习） （解析版）

考点35 二项式定理

【题组一 指定项系数】

1．在的二项展开式中，常数项的值为________

【答案】－160

【解析】展开式的通项为令，得

∴在的二项展开式中，常数项的值为故答案为

2．展开式中，二项式系数最大的项是_________．

【答案】

【解析】在的展开式中，由二次项系数的性质可得：展开式中第4项的二项式系数最大，因此，该项为：.故答案为：.

3．在的展开式中，常数项为__________（用数字作答）.

【答案】

【解析】因为，令，所以，.故答案为：.

4．二项式的展开式中，含的系数为_______．

【答案】6

【解析】根据题意，二项式的展开式的通项为，
令，可得，此时，即含的系数为6，故答案为：6．

5．若直线垂直，则二项式的展开式中的系数为(  )

A． B． C．2 D．

【答案】B

【解析】由直线与垂直，可得，求得，则二项式的展开式的通项公式，令，求得，可得展开式中x的系数为.故答案为B．

6．若的二项展开式中常数项为，则常数a的值是_______.

【答案】2

【解析】的第r＋1项为，

常数项为，则r＝3，，解得a＝2.故答案为：

7．的二项展开式中项的系数为______.

【答案】－160

【解析】的展开式的通项为，

令，得，所以的二项展开式中项的系数为，

故答案为：－160

8．已知在的展开式中，第6项为常数项，则______.

【答案】

【解析】二项式的展开式的通项公式为，

令，可得，求得．故答案为：

【题组二  因式之积的特定项系数】

1．展开式中的系数为（    ）

A．40 B．80 C． D．

【答案】A

【解析】展开式的通项为，

当时，，

当时，，

则的展开式中含的项为，

故展开式中的系数为40．故选：A．

2．的展开式中的系数是（    ）

A．10 B．2 C． D．34

【答案】C

【解析】由题意，，

又的展开式的通项公式为，

所以的展开式中含的项为，

的展开式中含的项为，

所以的展开式中的系数是.

故选：C．

3．的展开式中的系数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】：展开式的通项公式为，

当时，，

当时，，

据此可得：的系数为.

本题选择C选项.

4.已知，其中，则______．

【答案】3

【解析】由题意展开式中的系数为，解得．故答案为：3．

5．的展开式中x2项的系数为__________.

【答案】

【解析】的通项公式，为偶数

当时， ，此时展开式的常数项为，

当时，，此时展开式的的系数为，

所以的展开式中x2项的系数为，

故答案为：

6．若随机变量，且，则展开式中项的系数是__________．

【答案】1620

【解析】

随机变量，均值是2，且，∴；
∴；
又展开式的通项公式为，
令，解得，不合题意，舍去；令，解得，对应的系数为；令，解得，不合题意，舍去；∴展开式中项的系数是，故答案为1620.

【题组三 （二项式）系数和】

1．已知二项式的展开式的二项式项的系数和为64，，则（    ）

A．20 B．30 C．60 D．80

【答案】C

【解析】根据题意，令可得，即

设，即

，即，

令，解得．∴，可知.

故选：C.

2．已知，则（    ）

A．21 B．42 C． D．

【答案】C

【解析】，即为展开式中的系数，

所以，故选：C.

3．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题可知：的奇数次幂的系数均为负数

所以

令得

则

故选：D

4．已知，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵，

∴故选B.

5．二项式中，前三项的系数成等差数列，则__________，二项式系数最大的项是__________.

【答案】       

【解析】展开式的通项为，

由题意可得，整理得，

且，解得，

因此，二项式系数最大的项为.故答案为：；.

【题组四 二项式性质及运用】

1．展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（    ）

A． B． C．-180 D．-90

【答案】A

【解析】展开式中只有第六项的二项式系数最大，

，

故展开式的通项公式为

，

令，解得，

所以展开式中的常数项为.

故选：A

2．若的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是（    ）.

A．132 B． C． D．66

【答案】D

【解析】因为展开式中只有第7项的二项式系数最大，

所以为偶数，展开式有13项，，

所以二项式展开式的通项为

由得，

所以展开式中含项的系数为.

故选：D

3．已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，

所以二项式中奇数项的二项式系数和为．

4．若展开式中只有第四项的系数最大，则展开式中有理项的项数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】展开式中只有第四项的系数最大，所以，

则展开式通项为，

因为，所以当时为有理项，所以有理项共有4项，故选：D.

【题组五  整除问题】

1.…除以88的余数是（ ）

A．－1 B．1 C．－87 D．87

【答案】B

【解析】…

…

…,

所以…除以88的余数是1，

故选:B.

2.除以5的余数是     

【答案】3

【解析】，它除以5余数为3．

3.5051﹣1被7除后的余数为_____．

【答案】0

【解析】

因为49是7的倍数，所以5051﹣1被7除后的余数为0.

故答案为：0

【题组六 杨辉三角】

1．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，便可以得到如图的“0-1三角”.在“三角”中，从第1行起，设第n次出现全行为1时，1的个数为，则等于（　　）

A．13 B．14 C．15 D．16

【答案】D

【解析】第行和第行全是，即

依题意，第行原来的数是，而为偶数，不合题意；

第行原来的数是，即全为奇数，一共有个，即

第行原来的数是，而为偶数，不合题意；

第行原来的数是，而为偶数，不合题意；

第行原来的数是，而为偶数，不合题意；

第行原来的数是，而为偶数，不合题意；

第行原来的数是，而为偶数，不合题意；

第行原来的数是，而为偶数，不合题意；

第行原来的数是，而为偶数，不合题意；

第行原来的数是

即，全为奇数，即故选：D

2．如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据数组中的数构成的规律，其中的a所表示的数是（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【解析】从第三行起头尾两个数均为1，中间数等于上一行肩上两数之和，所以.

故选：C.

3．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前56项和为（    ）

A．2060 B．2038 C．4084 D．4108

【答案】C

【解析】次二项式系数对应杨辉三角形的第行，例如，系数分别为，，，对应杨辉三角形的第行，

令，就可以求出该行的系数之和；第行为，第行为，第行为，以此类推，即每一行数字之和构成首项是，公比是的等比数列，

则杨辉三角形的前行的和为，

若去除所有为的项，则剩下的每一行的个数为，，，...，可看成以为首项，以为公差的等差数列，则，

当时，，去除两端的可得，

则此数列的前项的和为：.故选：C.