考点28 空间几何体外接球（讲解） （解析版）练习题

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考点28 空间几何体的外接球【思维导图】    【常见考法】考法一 汉堡模型1．（2020·广州市广外）各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）高为2，体积为8，则这个球的表面积是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为正四棱柱高为2，体积为8，所以它的底面边长是2，所以它的体对角线的长是，因此它的外接球的直径是，所以这个球的表面积是：.故选：B．2．（2020·辽宁省高三）如图，在三棱锥A﹣BCD中，BD⊥平面ADC，BD＝1，AB＝2，BC＝3，AC＝，则三棱锥A﹣BCD外接球的体积为（    ）A．4π B．3π C．2π D．4π【答案】D【解析】因为BD⊥平面ADC，所以，，所以，，所以，所以，所以以、、为棱的长方体与三棱锥A﹣BCD具有相同的外接球，所以该外接球的直径为，半径为，则该外接球的体积为故选：D.考法二 墙角模型1．（2020·天津高考真题）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即，所以，这个球的表面积为.故选：C.2．（2019·绥德中学）球面上有四个点，若两两垂直，且，则该球的表面积为（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知，该球是一个棱长为4的正方体的外接球，设球的半径为，由题意可得：,据此可得：，外接球的表面积为：.本题选择D选项.3．（2020·兴化市板桥高级中学）棱长为的正方体的8个顶点在同一个球面上，则这个球的体积与表面积的比值为________【答案】1【解析】该球的直径就是正方体的对角线，设球的半径为，则，故答案为：1考法三  斗笠模型1．（2020·秦皇岛市抚宁区第一中学）已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是________.【答案】【解析】过点作平面于点，记球心为.
 ∵在正三棱锥中，底面边长为6，侧棱长为，∴，∴.∵球心到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径长，∴，.在中，，即，解得，∴外接球的表面积为.故答案为：.2．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高上，记为O，PO=AO=R，，=4-R，在Rt△中，，由勾股定理得，∴球的表面积，故选A.考法四 怀表模型1．（2020·广东省高三）在三棱锥A﹣BCD中，△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　）A．7π B．8π C． D．【答案】D【解析】如图，取BD中点H，连接AH，CH因为△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形所以AH⊥BD，CH⊥BD，则∠AHC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°设△ABD与△CBD外接圆圆心分别为E，F则由AH＝2可得AEAH，EHAH分别过E，F作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点记为O，连接AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60°所以OE＝1，则R＝OA则三棱锥外接球的表面积 故选：D2．（2020·南昌市八一中学）如图所示，三棱锥S一ABC中，△ABC与△SBC都是边长为1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小为，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（    ）A．π B．π C．π D．3π【答案】A【解析】取线段BC的中点D，连结AD，SD，由题意得AD⊥BC，SD⊥BC，∴∠ADS是二面角A﹣BC﹣S的平面角，∴∠ADS，由题意得BC⊥平面ADS，分别取AD，SD的三等分点E，F，在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD，两条直线的交点即球心O，连结OA，则球O半径R＝|OA|，由题意知BD，AD，DE，AE，连结OD，在Rt△ODE中，，OEDE，∴OA2＝OE2+AE2，∴球O的表面积为S＝4πR2．故选：A．考法五 矩形模型1．（2020·新疆维吾尔自治区）在四面体中，，，则四面体的外接球的表面积为(    )A． B． C． D．【答案】B【解析】由，，所以， 可得，所以，即为外接球的球心，球的半径 所以四面体的外接球的表面积为：.故选：B2．（2020·黑龙江省哈尔滨三中）四面体中，，平面，，，，则该四面体外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图所示：由已知可得与为直角三角形，所以该几何体的外接球球心为的中点O，因为,且,所以,所以,所以四面体的外接球半径,则表面积.故答案选：C考法六 L模型1．（2020·黑龙江省铁人中学高三）在四棱锥中，是边长为6的正三角形，是正方形，平面平面，则该四棱锥的外接球的体积为（      ）A． B． C． D．【答案】D【解析】取BC的中点为，是正三角形ABC的中心,为正方形BCDE的中心，连接,则有，，平面平面，平面平面=，⊥平面ABC，AM⊥平面BCDE，过分别做，，则⊥平面ABC，⊥平面BCDE，交于，则为球心，，所以四边形为矩形，，所以外接球的体积为.故选:D.2．已知三棱锥中，，，，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】在中，由余弦定理得，又，所以为直角三角形，.又平面平面且交于，所以平面.将三棱锥放入直三棱柱中，如图所示：，分别为上下底面外接圆的圆心，为三棱锥外接球的球心，且为，的中点.所以.设的外接圆半径为，则，所以.设几何体的外接球半径为，则，所求外接球的表面积.故选：B考点七 麻花模型1．（2020·四川省眉山市彭山区第二中学）在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以，2，为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2＝3，x2+z2＝5，y2+z2＝4，则有（2R）2＝x2+y2+z2＝6（R为球的半径），得2R2＝3，所以球的表面积为S＝4πR2＝6π．故答案为．考点八 最值问题1．（2020·河南省高三三模）已知三棱锥的底面是等边三角形，且，则当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】在上找中点，连接，，如下图所示，因为三棱锥的底面是等边三角形，即是等边三角形，所以，又因为，所以.设，与平面所成的角，则，当时，最大，此时，，两两垂直，所以三棱锥的外接球即为以，，为长宽高的长方体的外接球，如下图，因为，所以外接球的半径.则其外接球的表面积为.故选：C.2．已知点，，，均在球的球面上，，，若三棱锥体积的最大值是，则球的表面积为__________【答案】【解析】设的外接圆的半径为，
∵，，则，为直角三角形，且
，∵三棱锥体积的最大值是，，，，均在球的球面上，
∴到平面的最大距离，
设球的半径为，则，
即解得，
∴球的表面积为.
故答案为：.