2021学年第七章 平行线的证明5 三角形的内角和定理图文ppt课件

这是一份2021学年第七章 平行线的证明5 三角形的内角和定理图文ppt课件，共39页。PPT课件主要包含了学习目标，新课引入，新课讲解，三角形外角的性质，∠B+∠C∠CAD，还有其他证明方法吗，你发现了什么结论，你还有其他解法吗，∠2＝∠BAM，∠3＝∠4等内容，欢迎下载使用。

1.了解并掌握三角形的外角的定义．（重点）2.掌握三角形的外角的性质，利用外角的性质进行简单的证明和计算．（难点）
1.在△ABC中，∠A=80°, ∠B=52°,则∠C= .
3.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？
三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角，
它们的和是180 °.
2.如图，在△ABC中， ∠A=70°, ∠B=60°, 则∠ACB= ，∠ACD= .
【问题】发现懒洋洋独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒洋洋返回羊村的去路，红太狼则直接在A处拦截懒洋洋，已知∠BAC=40° ， ∠ABC=70°.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？
【思考】利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？
【思考】像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.
由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.
【定义】 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
∠ACD是△ABC的一个外角
【问题1】 如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？
在三角形每个顶点处都有两个外角.
∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE；
∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角.
【问题2】 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？
【画一画 】画出△ABC的所有外角，共有几个呢?
每一个三角形都有6个外角． 每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.
★三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；②角的一边是三角形的一边；③另一边是三角形中一边的延长线.
每一个三角形都有6个外角．
【例1】如图,∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？
∠BEC是△AEC的外角;
∠AEC是△BEC的外角;
∠EFD是△BEF和△DCF的外角.
【问题1】 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？
∠BCD与∠ACB互补.
问题2 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，∴∠A+∠B=∠BCD.
你能用作平行线的方法证明此结论吗？
证明：过C作CE平行于AB，
∴∠1= ∠B，（两直线平行，同位角相等）
∠2= ∠A ， （两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
【例2】已知：如图，△ABC， 求证：∠ACD=∠A+∠B.
解：∵∠2=∠1+∠B,∴∠2＞∠1.
解：∵∠2=∠1+∠B, ∠3=∠2+∠D,∴∠3＞∠2＞∠1.
【性质1】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
【性质】三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
∠CAD > ∠B， ∠CAD > ∠C
【练一练】说出下列图形中∠1和∠2的度数：
∠1=40 °, ∠2=140 °
∠1=18 °, ∠2=130 °
【例3】 如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B= ∠C. 求证:AD∥BC.
例题是运用了定理“内错角相等,两直线平行”得到了证实.
证法一:∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),∠B=∠C (已知),∴∠C= ∠EAC(等式的性质).∵AD平分 ∠EAC(已知).∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义).∴∠DAC=∠C(等量代换).∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行).
证法二:推理可得:∠DAC=∠C (已证),∵∠BAC+∠B+∠C =180°(三角形内角和定理).∴ ∠BAC+∠B+∠DAC =180° (等量代换). ∴ AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行).
这里是运用了定理“同旁内角互补,两直线平行”得到了证实.
【例4】 如图,P是△ABC内一点，连接PB，PC.∠B= ∠C. 求证:∠BPC＞∠A.
证明:如图，延长BP，交AC于点D.∵ ∠BPC是△PDC的一个外角(外角定义), ∴ ∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角).∵ ∠PDC是△ABD的一个外角 (外角定义),∴ ∠PDC>∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角).∴ ∠BPC>∠A .（不等式的性质）
1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( )A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
2.如图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于( ) A.120° B.115° C.110° D.105°
【例5】 如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数.
∵ ∠BEC是△AEC的一个外角，
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE，
∵∠A=42° ，∠ACE=18°，
∴ ∠BEC=60°.
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF，
∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°，
∴ ∠BFC=88°.
【例6】 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°， ∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．
解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．
解：延长BP交AC于点E，则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE ＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
【变式题】 (一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数.
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
解法一：连接AD并延长于点E.在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°.
解法二：延长BD交AC于点E.在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°.
解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.
总结：解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.
【例7】 如图， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE= ∠2+ ∠3，∠CBF= ∠1+ ∠3,∠ACD= ∠1+ ∠2.又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
解法二：如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ， ∠CBF +∠2=180 ° ②，∠ACD +∠3=180 ° ③，又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，①+ ②+ ③得∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °，所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°.
∠2＋ ∠ 3＝ ∠ 4＋∠BAM，
解法三：过A作AM平行于BC，
∴∠1＋ ∠2＋ ∠3 ＝ ∠1＋ ∠4＋ ∠BAM =360°
结论：三角形的外角和等于360°.
【思考】 你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？
1.判断下列命题的对错.（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （ ）（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍. （ ）（3）三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ）（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ）（5）三角形的一个外角大于任何一个内角. （ ）（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ）
2.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F 等于 （ ）
A.26°B.63°C.37°D.60°
3.（1）如图，∠BDC是________ 的外角,也是 的外角； (2)若∠B=45 °， ∠BAE=36 °, ∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数.
解：根据三角形外角的性质有∠ADC= ∠B+ ∠BCE,∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE.所以∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE=45 °+20 °+36 °=101 °.
解：因为∠ADC是△ABD的外角.
4 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD, ∠ADC=80°，∠BAC=70°，求：（1）∠B 的度数；（2）∠C的度数.
∠B+∠BAC+∠C=180°，
∠C=180º-40º-70º=70°.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又因为∠B=∠BAD，
解：∵∠1是△FBE的外角,
∴∠1=∠B+ ∠E,
同理∠2=∠A+∠D.
在△CFG中,∠C+∠1+∠2=180º,
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E= 180º.
5.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
6.如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=________.
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
1.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和等于360 °
2.三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角