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专题8.61抛物线及其性质(一)(解析版)教案
展开这是一份专题8.61抛物线及其性质(一)(解析版)教案,共10页。
1.理解抛物线的定义及其标准方程;
2.理解抛物线的基本性质;
3.会解焦点弦和中点弦有关的简单问题。
教学过程
(一)必备知识:
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(F ∉______)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
点F叫做抛物线的________,直线l叫做抛物线的________.
2.抛物线的标准方程及几何性质
自查自纠:
1.l 焦点 准线 2.①eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2),0)) ③eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(p,2))) ⑥x=eq \f(p,2) ⑧y=eq \f(p,2)
⑩x≤0,y∈R ⑪y≥0,x∈R ⑬x轴 ⑯e=1⑰向右 ⑳向下
(二)题组训练:
题组一:
例1.抛物线的准线方程是( )
A. B. C. D.
【答案】D、
【详解】抛物线方程可化为,焦点,所以准线方程是,故选D.
例2.若坐标原点到抛物线的准线的距离为2,则( )
A.8 B. C. D.
【答案】D
【详解】将抛物线化为标准方程得,所以.
例3.如图,正方形和正方形的边长分别为a,b(a【答案】2+1
【详解】由题可得C(a2,-a),F(a2+b,b),因为C,F在抛物线上,所以
a2=pab2=2p(a2+b)⇒a2b2=aa+2b ⇒ab=2+1,故填2+1.
课堂练习:
1.抛物线的焦点坐标是( )
A.(2,0) B.(- 2,0) C. (4,0) D.(- 4,0)
【答案】B
【详解】易得焦点坐标为.
2.抛物线的焦点到准线的距离是( )
A.2 B.4 C. D.
【答案】D
【详解】因为抛物线方程可化为,所以抛物线的焦点到准线的距离是,故选D.
3.已知抛物线的准线方程是,则的值为( )
A.2 B.4 C.-2 D.-4
【答案】B
【详解】,故选B.
4.已知抛物线的准线经过点,则抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】抛物线的准线为,则由已知,故所求焦点坐标为.
5.已知抛物线的准线与椭圆相切,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】抛物线的准线方程为,由题意可得,所以.
6.已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合,则m=( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】抛物线变形为焦点为,所以椭圆中
7.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆的圆心的抛物线的方程是( )
A.或 B. C.或 D.或
【答案】A
【详解】由题意得,圆的圆心坐标为,当抛物线的开口向右时,设方程为,代入得,所以抛物线的方程为;当抛物线的开口向下时,设方程为,代入得,所以抛物线的方程为,即,故选A.
8.已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,抛物线的准线与轴交点为,点在抛物线上且,则的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】双曲线的右焦点为,所以,抛物线方程为,准线方程为,所以,过点作准线,垂足为,则,所以,因此,,所以,故选C.
题组二:
例1.(1)已知动点到点和到直线的距离相等,则动点的轨迹是( )
A.抛物线 B.双曲线左支 C.一条直线 D.圆
【答案】C
【详解】由题意得,设,因为动点到点和到直线的距离相等,即,即,化简得,所以动点的轨迹是一条直线,故选C.
(2)平面直角坐标系中,动点到圆上的点的最小距离与其到直线的距离相等,则点的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】设圆心为,动点到直线的距离为,根据题意得:,可得,即:动点到圆上的点的最小距离与其到直线的距离相等,根据抛物线的定义,动点的轨迹为以为焦点,以为准线的抛物线,设方程为,则,,所以抛物线方程为:,选A.
例2.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于点A.若|AF|=3,则点A的坐标为( )
A.(2,2) B.(2,﹣2) C.(2,±2) D.(1,±2)
【答案】C
【详解】抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,焦点F(1,0).设A(x,y),∵|AF|=3,
∴根据抛物线的定义可得|AF|=3=x+1,∴x=2,∴y=±,∴A的坐标为(2,±).
例3.设抛物线的焦点为,点在上,,若以为直径的圆过点,则的方程为( )
A.或 B.或 C.或 D.或
【答案】C
【详解】∵抛物线 方程为,∴焦点,设,由抛物线性质,可得,因为圆心是的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为,由已知圆半径也为,据此可知该圆与y轴相切于点(0,2),故圆心纵坐标为2,则M点纵坐标为4,即,代入抛物线方程得所以p=2或p=8.所以抛物线C的方程为或.故答案C.
课堂练习:
1.设圆C与圆x2+(y﹣3)2=1外切,与直线y=0相切,则C的圆心轨迹为( )
A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.圆
【答案】A
【详解】设C的坐标为(x,y),圆C的半径为r,圆x2+(y﹣3)2=1的圆心为A,∵圆C与圆x2+(y﹣3)2=1外切,与直线y=0相切∴|CA|=r+1,C到直线y=0的距离d=r∴|CA|=d+1,即动点C定点A的距离等于到定直线y=﹣1的距离由抛物线的定义知:C的轨迹为抛物线.
2.方程表示的曲线为( )
A.抛物线 B.椭圆 C.双曲线 D.直线
【答案】A
【详解】表示点的距离与点到直线的距离相等,所以动点的轨迹是抛物线.
3.抛物线上到焦点距离等于6的点的横坐标为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】B
【详解】因为抛物线,得,所以抛物线焦点为,准线为.设抛物线上的点到焦点的距离为,根据抛物线的定义,得点到的距离等于点到准线的距离,即,解得.故选B.
4.若抛物线y2=2px,(p>0)上一点P(2,y0)到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为( )
A.y2=4x B.y2=6x C.y2=8x D.y2=10x
【答案】C
【详解】∵抛物线y2=2px(p>0)上一点P(2,y0)到其准线的距离为4,∴,解得p=4,∴抛物线的标准方程为y2=8x.
5.已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点.若点到该抛物线焦点的距离为,则( )
A.B.C.D.
【答案】B
【详解】设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点坐标为(),准线方程为x=,
课外作业:
1.设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=﹣2,则抛物线的方程是( )
A.y2=﹣8xB.y2=8xC.y2=﹣4xD.y2=4x
【答案】B
【详解】∵准线方程为x=﹣2∴=2∴p=4∴抛物线的方程为y2=8x故选B
2.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】焦点,故选 A.
3.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】,可知焦点坐标为.
4.抛物线的焦点到直线的距离是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】焦点焦点到直线的距离是,故选C.
5.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点,则p=( )
A.2 B.3 C.4 D.8
【答案】D
【详解】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,所以,解得,故选D.
6.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则抛物线焦点坐标为( )
A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1)
【答案】B
【详解】由抛物线y2=2px(p>0)得准线x=-p2,因为准线经过点(-1,1),所以p=2,
所以抛物线焦点坐标为(1,0),故答案选B
7.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C的准线于D、E两点.已知|AB|=,|DE|=,则C的焦点到准线的距离为 ( )
A.8 B.6 C.4 D.2
【答案】C
【详解】如图,设抛物线方程为,交轴于点,则,即点纵坐标为,则点横坐标为,即,由勾股定理知,,即,解得,即的焦点到准线的距离为4,故选B.
培优题组:
1.在平面直角坐标系中,分别是轴和轴上的动点,若以为直径的圆与直线相切,则圆面积的最小值为( )
A.B.C.D.
【答案】A
【详解】设直线因为,表示点到直线的距离,所以圆心的轨迹为以为焦点,为准线的抛物线,圆的半径最小值为,圆面积的最小值为.故本题的正确选项为A.
2.若抛物线上有一条长为6的动弦,则的中点到轴的最短距离为( )
A. B. C.1 D.2
【答案】D
【详解】设,的中点到轴的距离为,如图所示,根据抛物线的定义,有,,故,最短距离为.
3.已知点,的焦点是,是上的动点,为使取得最小值,则点坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】过作(为抛物线准线)于,则,所以,所以当点的纵坐标与点的纵坐标相同时,最小,此时的纵坐标为,把代入得,即当时,最小.故选A.
4.若点在上,点在上,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】设,圆的圆心,半径
,由二次函数性质可知的最小值为,所以的最小值为. 标准方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
图形
性质
焦点
①
②eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(p,2),0))
③
④eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,-\f(p,2)))
准线
⑤x=-eq \f(p,2)
⑥
⑦y=-eq \f(p,2)
⑧
范围
⑨x≥0,y∈R
⑩
⑪
⑫y≤0,x∈R
对称轴
⑬
⑭y轴
顶点
⑮原点O(0,0)
离心率
⑯
开口
⑰
⑱向左
⑲向上
⑳
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