专题9.1三视图及面积体积问题（解析版）教案

这是一份专题9.1三视图及面积体积问题（解析版）教案，共27页。
三视图及面积体积问题一、          学习目标：1.了解常见几何体的概念及其表面积，体积计算公式；2.了解几何体直观图的画法；3.会解基本的三视图及表面积，体积问题。二、          教学过程（一）必备知识： 1．棱柱、棱锥、棱台的概念(1)棱柱：有两个面互相______，其余各面都是________，并且每相邻两个四边形的公共边都互相______，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．注：棱柱又分为斜棱柱和直棱柱．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．(2)棱锥：有一个面是________，其余各面都是有一个公共顶点的__________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．注：如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．(3)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，叫做棱台．注：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．2.棱柱、棱锥、棱台的性质(1)棱柱的性质:侧棱都相等，侧面是______________；两个底面与平行于底面的截面是__________的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是___________；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面、对角面都是________．(2)正棱锥的性质: 侧棱相等，侧面是全等的__________；棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影构成一个__________；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一个____________；斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个____________；侧棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个____________．(3)正棱台的性质:侧面是全等的____________；斜高相等；棱台的高、斜高和两底面的边心距组成一个____________；棱台的高、侧棱和两底面外接圆的半径组成一个____________；棱台的斜高、侧棱和两底面边长的一半也组成一个____________．3．圆柱、圆锥、圆台(1)圆柱、圆锥、圆台的概念分别以______的一边、__________的一直角边、________中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．(2)圆柱、圆锥、圆台的性质圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是________、________、________；平行于底面的截面都是________．4．球(1)球面与球的概念以半圆的______所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的________．(2)球的截面性质球心和截面圆心的连线________截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为______________．5．平行投影:在一束平行光线照射下形成的投影，叫做__________．平行投影的投影线互相__________．6．空间几何体的三视图、直观图(1)三视图①空间几何体的三视图是用正投影得到的，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的．三视图包括__________、__________、__________．②三视图尺寸关系口诀：“长对正，高平齐，宽相等．” 长对正指正视图和俯视图长度相等，高平齐指正视图和侧(左)视图高度要对齐，宽相等指俯视图和侧(左)视图的宽度要相等．(2)直观图:空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：①在已知图形所在空间中取水平面，在水平面内作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使∠xOz＝_______且∠yOz＝________．②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝____________，∠x′O′z′＝____________．x′O′y′所确定的平面表示水平面．③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成____________x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的______．⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．自查自纠：1．(1)平行　四边形　平行　(2)多边形　三角形  2．(1)平行四边形　全等　平行四边形　矩形 (2)等腰三角形　直角三角形　直角三角形　直角三角形　直角三角形 (3)等腰梯形　直角梯形　直角梯形　直角梯形3．(1)矩形　直角三角形　直角梯形 (2)矩形　等腰三角形　等腰梯形　圆4．(1)直径　球心　(2)垂直于　d＝5．平行投影　平行 6．(1)①正(主)视图　侧(左)视图　俯视图 (2)①90°　90°　②45°(或135°)　90°　③平行于  ④一半（二）题组训练：题组一：例1.如图，在下列正方体、圆锥、正三棱台和正四棱锥等四个几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（  ）A．①②         B．①③          C．①④         D．②④【答案】D【详解】正方体的三个视图都相同，均为正方形；圆锥的正视图和侧视图相同；三棱台的三个视图都不相同；正四棱锥的正视图和侧视图相同例2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图（1）示，则该几何体的正视图为（  ）A．  B．   C．   D．【答案】D【详解】被截去的四棱锥的三条可见棱中，在两条为长方体的两条对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合．故选D．例3．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（    ）    【答案】D【详解】由正视图和侧视图知，几何体可能是两个圆柱的组合体时，俯视图为A，几何体是圆柱与正四棱柱的组合时，俯视图为B，几何体是圆柱与底面为等腰直角三角形的直三棱柱的组合时，俯视图为C，如果俯图是D，正视图和侧视图不可能相同．故选D．课堂练习：  1．如图为某几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为（  ）A．圆锥          B．三棱锥      C．三棱柱      D．三棱台【答案】C【详解】该几何体的主视图和俯视图都为矩形，左视图为三角形，可以得到该几何体是一个横着放的三棱柱。2.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（  ）A．三棱锥         B．三棱柱         C．四棱锥            D．四棱柱【答案】B【详解】根据三视图分析可知，该几何体是三棱柱。3．若某几何体的三视图如图所示，则这几何体的直观图可能是（    ）【答案】B【详解】由正视图排除A，C；由侧视图排除D，故B正确．4．如图几何体的主（正）视图和左（侧）视图都正确的是（    ）【答案】B【详解】根据正视图、侧视图的作图规则知，原几何体的正视图和侧视图应选．其中选项中左视图的对角线应为虚线；选项中的主视图和左视图均不正确；选项中左视图的对角线反了；综上所述，应选．5．一个几何体的正视图和侧视图都是面积为１的正方形，则这个几何体的俯视图一定不是（  ）【答案】B【详解】由于原几何体的正视图和侧视图都是面积为１的正方形，所以对于选项，原几何体为三棱柱；对于选项，一定不能满足其正视图和侧视图都是面积为１的正方形，所以不正确；对于选项，原几何体为正方体；对于选项，原几何体为正方体被截掉的圆柱所得的空间几何体；选.6．如图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D、C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为（     ）【答案】B【详解】棱看不到，故为虚线；棱AM可以看到，故为实线；答案B。7．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（  ）【答案】D【详解】左视图是指从几何体的左边看几何体的投影，如图A的投影为D,E的投影为G,B的投影为C,线段AF的投影为DF,故选D．8．如图所示的一个几何体，在图中是该几何体的俯视图的是（  ）  【答案】C【详解】对于原几何体中能够看到的棱或边界在三视图中画实线，不能看到的棱或边界在三视图中画虚线或不画，结合几何体及选项易知选C．题组二：例1．如图所示，一个几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，则这个几何体的全面积是　　A．     B．     C．     D． 【答案】C【详解】由三视图还原可知原图形是圆柱，圆柱底面半径为1，高为2，所以 ，选C.例2．设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为），则该几何体的体积为         ．【答案】【详解】根据题中所给的几何体的三视图，可知该几何体为一个四棱锥和一个半圆锥组合在一起的椎体，根据体积公式，可求得．例3．若某几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积是        ．【答案】【详解】由三视图分析可知，该几何体为正方体截去一个角，所以该几何体的体积为。课堂练习：  1．如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的全面积为（    ） A．             B．      C．                D．【答案】B【详解】由三视图可知该几何体是三棱柱，底面是边长为2的正三角形，高为4，因此底面积为，侧面积为，因此全面积为2．几何体的三视图如图所示，若从该几何体的实心外接球中挖去该几何体，则剩余几何体的表面积是（注：包括外表面积和内表面积）（  ）A．133          B．100         C．66           D．166【答案】D【详解】由三视图知，该几何体为底面半径为3，搞为8的圆柱．其外接球时半径为5的球．则剩余几何体的表面积是球的表面积与该圆柱表面积的和，即．3．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（  ） A．         B．        C．       D．【答案】D【详解】设正方体棱长为1，由题意得，剩余几何体为一个正方体被一个平面截去一个角，其截去体积为，因此剩余部分体积为，比值为．4．已知某几何体的三视图(单位:Cm)如图所示,则该几何体的体积是（  ） A．108Cm3          B．100 Cm3          C．92Cm3          D．84Cm3【答案】B【详解】由三视图可知该几何体为边长为6,6,3的长方体截去一三棱锥得到的几何体，三棱锥的三边长为3,4,4，所以体积5．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（　　）A.      B.      C.       D.【答案】B【详解】根据题中所给的几何体的三视图，可知该几何体为一个正方体挖去一个四棱锥构成的几何体，所以其体积为,故选B.6．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（  ）A．24－π      B．24－       C．24－π           D．24－【答案】A【详解】该几何体是棱柱，棱柱的高为3，底面为长4宽2的矩形去掉半径为1的半圆，因此底面积为，所以体积为7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（     ）A．6          B．8           C．10            D．12【答案】D【详解】根据题中所给的三视图，可以还原几何体，为一个长方体一面突出，一面下凹，所以可以将突出的补到缺的地方，所以该几何体的体积就是长方体的体积，长宽高分别是，所以其体积为，故选D．8．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是 （    ）（A）64     （B）72     （C）80   （D）112   【答案】B【详解】根据几何体的三视图知，该几何体是下部是棱长为4的正方体，上部是三棱锥的组合体，如图所示，所以该几何体的体积是．题组三：例1．某四面体的三视图如下图所示，该四面体的体积是(　　)A． 8    B．     C． 10    D． 【答案】A【详解】由三视图可知该几何体是三棱锥，它的高是，底面是直角三角形，两直角边的长分别为和，故体积为：故选例2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为 （    ）A．     B．     C．     D． 【答案】C【详解】所以棱锥P-ABCD的表面积为 选C. 例3．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（   ）A．     B．     C．     D． 【答案】B【详解】由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，其直观图如下图所示，故其体积V，故选B.课堂练习：1．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则（   ）A．     B．     C．     D． 【答案】A【详解】由三视图知几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为 ,四棱锥的底面为矩形，矩形的长和宽分别为5和6 ；则几何体的体积,，故选A.2．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（  ）     A．     B．     C．     D． 【答案】B【详解】该几何体中图中粗线部分，体积为，故选B．3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（   ）A． 35    B．     C．     D． 【答案】B【详解】三视图对应的几何体如图所示，其底面为直角梯形，其中，平面，且，故体积为，故选B.4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为(    )A．     B．     C．     D． 【答案】B【详解】由三视图可得，该几何体为如图所示的三棱锥，故其体积为．选B．5．如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则四面体的体积为（   ）A．     B．     C．     D． 2【答案】A【详解】由四面体的三视图得该四面体为棱长为2的正方体中的三棱锥，其中是中点，如图所示：∴，三棱锥的高∴该四面体的体积为选A.6．九章算术是我国古代数学名著，在九章算术中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，若某阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为　　A．  B．  C．  D． 【答案】C【详解】由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；正视图和侧视图是腰长为的两个全等的等腰直角三角形，四棱锥的底面是正方形，且边长为，其中一条侧棱底面，且侧棱，四棱锥的四个侧面都为直角三角形，且，四棱锥的表面积为故选课外作业一： 1．某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是（  ）【答案】C【详解】若选项为A，则该几何体为正方体，棱长为1，体积也为1，不合题意；若选项为B，则该几何体为圆柱，体积为，不合题意；若选项为C，该几何体为直三棱柱，体积为，符合题意。2．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（   ）A．     B．     C．     D．【答案】A　【详解】由三视图知，该几何体是由半个圆柱与一个三棱柱组合而成的，其中圆柱的底面圆半径为1、高为2，棱柱的高为2，所以该几何体的体积为，选A．3.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（   ）A． 4    B．     C．     D． 2【答案】B【详解】由三视图知，该几何体是底面为斜边边长为2的等腰直角三角形、高为2的直三棱柱，所以该几何体的表面积为，故选B.4．某几何体由圆柱挖掉半个球和一个圆锥所得，三视图中的正视图和侧视图如图所示，求该几何体的表面积 （    ）A．     B．     C．     D． 【答案】B【详解】该图形的表面积为圆柱的侧面积、圆锥的侧面积、球的表面积一半，则其面积分别为：圆柱侧面积：，圆锥侧面积：圆锥的母线长为：，面积，半个球面的面积：，所以表面积为.故选B.5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A）    （B）     （C）90      （D）81【答案】B【详解】由三视图可知该几何体是斜四棱柱，所以该几何体的表面积，故选B．6．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则 (    )A．    B．    C．    D．【答案】B【详解】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为=="16" + 20，解得r=27．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（   ）（A）20π      （B）24π       （C）28π     （D）32π【答案】C【详解】由题意可知，圆柱的侧面积为，圆锥的侧面积为，圆柱的底面面积为，故该几何体的表面积为8．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（   ）A.         【答案】D【详解】如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的,剩余部分体积是正方体体积的,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为,故选D.9．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是A．17π    B．18π    C．20π    D．28π【答案】A【详解】由三视图知，该几何体的直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的,即该几何体是个球，设球的半径为，则，解得，所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和,即，故选A．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（   ）A．         B．         C．        D．【答案】B【详解】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为，故选B.11．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A．  B．   C．   D．【答案】A【详解】观擦图形图可知，俯视图为故答案为A.12．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（  ）A．    B．    C．    D．2【答案】B【详解】由圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为课外作业二： 1．一个棱长为1的正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体的体积为（   ）A．     B．     C．     D． 【答案】D【详解】由三视图可知几何体是正方体在一个角上截去一个三棱锥，∵正方体的棱长是1，∴三棱锥的体积V1=，∴剩余部分体积V=1×1×1﹣V1=，故答案为：D2．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大的是 （     ）A．     B．     C．     D． 3【答案】B【详解】作出三棱锥的直观图如图所示，过作,垂足为 ,连结，由三视图可知平面，，，，，，三棱锥的四个面中，侧面的面积最大为.3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（   ）A．     B．     C．     D． 【答案】D【详解】由已知中的三视图可得：该几何体是一个如图所示的三棱锥，其底面的面积为，高为，所以该三棱锥的体积为，故选D.4．如右图是一个四棱锥的三视图,则该几何体的体积为（    ）A．     B．     C．     D． 【答案】A【详解】根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的直四棱锥；且四棱锥的底面为梯形，梯形的上底长为1，下底长为4，高为4；所以该四棱锥的体积为V=S底面积•h=.5．某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（     ）A．     B．     C．     D． 【答案】C【详解】如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，故选C.6．某几何体的三视图如图所示，则此几何体（   ）A． 有四个两两全等的面  B． 有两对相互全等的面 C． 只有一对相互全等的面 D． 所有面均不全等【答案】B【详解】几何体的直观图为四棱锥.如图.因为，，.所以≌.因为平面，所以.同理，.因为，，，所以≌.又与不全等.7．已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则此四棱锥的侧面积为（   ）
 A． 6+4    B． 9+2    C． 12+2    D． 20+2【答案】C【详解】根据几何体的三视图，得该几何体是底面为矩形，一侧面PCD垂直于底面ABCD的四棱锥，如图所示；∴该四棱锥的侧面积为S=S△PCD+2S△PBC+S△PAB=4×+2××3×2+×4×=2+12．8．如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图为正方形，俯视图是腰长为的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（     ）A．     B．     C．     D． 【答案】B【详解】由三视图还原原几何体如图： 该几何体为四棱锥A﹣BCDE，底面BCDE为矩形，BE=，DE=2，高为1，∴该几何体的体积为，故选：B．