2022年中考数学一轮复习第10讲《平面直角坐标系》讲学案(含答案)

中考数学一轮复习第10讲《平面直角坐标系》

【考点解析】

知识点一、平面直角坐标系内点的坐标特征

【例题】（浙江金华）点P（4，3）所在的象限是（  ）

A．第一象限      B．第二象限      C．第三象限      D．第四象限

【答案】A．

【分析】应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断其所在的象限．

【解析】因为点P（4，3）的横坐标是正数，纵坐标是正数，所以点P在平面直角坐标系的第一象限．故选A．

【点评】解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．

【方法技巧规律】首先要掌握四个象限的符号特征，再根据平面直角坐标系中各象限点的特征，判断其所在象限，

【变式】（湖北荆门·3分）在平面直角坐标系中，若点A（a，﹣b）在第一象限内，则点B（a，b）所在的象限是（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【考点】点的坐标．

【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．

【解答】解：∵点A（a，﹣b）在第一象限内，

∴a＞0，﹣b＞0，

∴b＜0，

∴点B（a，b）所在的象限是第四象限．

故选D．

知识点二、平面直角坐标系中的对称点的坐标

【例题】（湖北武汉·3分）已知点A(a，1)与点A′(5，b)关于坐标原点对称，则实数a、b的值是（    ）

A．a＝5，b＝1                         B．a＝－5，b＝1

C．a＝5，b＝－1                         D．a＝－5，b＝－1

【考点】关于原点对称的点的坐标．

【答案】D

【解析】关于原点对称的点的横坐标与纵坐标互为相反数．∵点A(a，1)与点A′(5，b)关于坐标原点对称，∴a＝－5，b＝－1，故选D．

【变式】（•湖南湘西州，第10题，4分）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（　　）

　 A．（﹣2，1） B． （2，﹣1） C． （2，1） D． （﹣2，﹣1）

考点： 关于原点对称的点的坐标．.

分析： 关于原点的对称点，横纵坐标都变成原来相反数，据此求出点B的坐标．

解答： 解：∵点A坐标为（﹣2，1），

∴点B的坐标为（2，﹣1）．

故选B．

点评： 本题考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．

知识点三、用坐标表示位置

【例题】（•台湾）如图为A、B、C三点在坐标平面上的位置图．若A、B、C的x坐标的数字总和为a，y坐标的数字总和为b，则a﹣b之值为何？（　　）

A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣5

【分析】先求出A、B、C三点的横坐标的和为﹣1+0+5=4，纵坐标的和为﹣4﹣1+4=﹣1，再把它们相减即可求得a﹣b之值．

【解答】解：由图形可知：

a=﹣1+0+5=4，

b=﹣4﹣1+4=﹣1，

a﹣b=4+1=5．

故选：A．

【点评】考查了点的坐标，解题的关键是求得a和b的值．

【变式】

2. （•绵阳第14题，3分）如图是轰炸机机群的一个飞行队形，如果最后两架轰炸机的平面坐标分别为A（﹣2，1）和B（﹣2，﹣3），那么第一架轰炸机C的平面坐标是　（2，﹣1）　．

【解析】根据A（﹣2，1）和B（﹣2，﹣3）的坐标以及与C的关系进行解答即可．

【解答】解：因为A（﹣2，1）和B（﹣2，﹣3），

所以可得点C的坐标为（2，﹣1），

故答案为：（2，﹣1）．

【点评】此题考查坐标问题，关键是根据A（﹣2，1）和B（﹣2，﹣3）的坐标以及与C的关系解答．

知识点四、坐标与图形变化

【例题】（•长沙）若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为（　　）

A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣2，0）

【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求解即可．

【解答】解：∵点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，

∴点B的横坐标为1﹣2=﹣1，纵坐标为3﹣4=﹣1，

∴B的坐标为（﹣1，﹣1）．

故选C．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

【变式】（•青岛）如图，线段AB经过平移得到线段A1B1，其中点A，B的对应点分别为点A1，B1，这四个点都在格点上．若线段AB上有一个点P（ a，b），则点P'在A1B1上的对应点P的坐标为（　　）

A．（a﹣2，b+3） B．（a﹣2，b﹣3） C．（a+2，b+3） D．（a+2，b﹣3）

【分析】根据点A、B平移后横纵坐标的变化可得线段AB向左平移2个单位，向上平移了3个单位，然后再确定a、b的值，进而可得答案．

【解答】解：由题意可得线段AB向左平移2个单位，向上平移了3个单位，

则P（a﹣2，b+3）

故选A．

【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．

知识点五、函数的表示方法

【例题】（•台湾）坐标平面上有一个二元一次方程式的图形，此图形通过（﹣3，0）、（0，﹣5）两点．判断此图形与下列哪一个方程式的图形的交点在第三象限？（　　）

A．x﹣4=0 B．x+4=0 C．y﹣4=0 D．y+4=0

【分析】分别作出各选项中的直线，以及通过（﹣3，0）、（0，﹣5）两点的直线，根据图象即可确定出此图形与下列方程式的图形的交点在第三象限的直线方程．

【解答】解：作出选项中x﹣4=0，x+4=0，y﹣4=0，y+4=0的图象，以及通过（﹣3，0）、（0，﹣5）两点直线方程，

根据图象得：通过（﹣3，0）、（0，﹣5）两点直线与y+4=0的交点在第三象限，

故选D

【点评】此题考查了坐标与图形性质，作出相应的图象是解本题的关键．

【变式】（•四川凉山州,第9题4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，2）关于直线对称点的坐标是（  ）

A．（﹣3，﹣2）      B．（3，2）      C．（2，﹣3）      D．（3，﹣2）

【答案】C．

【解析】点P关于直线对称点为点Q，作AP∥x轴交于A，∵是第一、三象限的角平分线，∴点A的坐标为（2，2），∵AP=AQ，∴点Q的坐标为（2，﹣3）．故选C．

知识点六、平面直角坐标的综合运用

【例题】（•滨州）如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是（0，a），（﹣3，2），（b，m），（c，m），则点E的坐标是（　　）

A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（3，2） D．（3，﹣2）

【分析】由题目中A点坐标特征推导得出平面直角坐标系y轴的位置，再通过C、D点坐标特征结合正五边形的轴对称性质就可以得出E点坐标了．

【解答】解：∵点A坐标为（0，a），

∴点A在该平面直角坐标系的y轴上，

∵点C、D的坐标为（b，m），（c，m），

∴点C、D关于y轴对称，

∵正五边形ABCDE是轴对称图形，

∴该平面直角坐标系经过点A的y轴是正五边形ABCDE的一条对称轴，

∴点B、E也关于y轴对称，

∵点B的坐标为（﹣3，2），

∴点E的坐标为（3，2）．

故选：C．

【点评】本题考查了平面直角坐标系的点坐标特征及正五边形的轴对称性质，解题的关键是通过顶点坐标确认正五边形的一条对称轴即为平面直角坐标系的y轴．

【变式】

（•枣庄,第17题4分）如图，直线y=2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C′的坐标为　（﹣1，2）　．

【解析】一次函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质；坐标与图形变化-平移．先求出直线y=2x+4与y轴交点B的坐标为（0，4），再由C在线段OB的垂直平分线上，得出C点纵坐标为2，将y=2代入y=2x+4，求得x=﹣1，即可得到C′的坐标为（﹣1，2）．

【解答】

解：∵直线y=2x+4与y轴交于B点，

∴x=0时，

得y=4，

∴B（0，4）．

∵以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，

∴C在线段OB的垂直平分线上，

∴C点纵坐标为2．

将y=2代入y=2x+4，得2=2x+4，

解得x=﹣1．

故答案为：（﹣1，2）．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，坐标与图形变化﹣平移，得出C点纵坐标为2是解题的关键．

【典例解析】

【例题1】（•菏泽）如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．

【解答】解：由B点平移前后的纵坐标分别为1、2，可得B点向上平移了1个单位，

由A点平移前后的横坐标分别是为2、3，可得A点向右平移了1个单位，

由此得线段AB的平移的过程是：向上平移1个单位，再向右平移1个单位，

所以点A、B均按此规律平移，

由此可得a=0+1=1，b=0+1=1，

故a+b=2．

故选：A．

【点评】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

【例题2】（•青岛，第10题3分）如图，将平面直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别变为原来的，那么点A的对应点A′的坐标是　（6，1）　．

【解析】坐标与图形性质，先写出点A的坐标为（6，3），横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的，即可判断出答案．

【解答】解：点A变化前的坐标为（6，3），

将横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的，则点A的对应点的坐标是（6，1），

故答案为（6，1）

【点评】此题考查了坐标与图形性质的知识，根据图形得到点A的坐标是解答本题的关键

【中考热点】

考题1：（贵州安顺·3分）如图，将△PQR向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则顶点P平移后的坐标是（　　）

A．（﹣2，﹣4）B．（﹣2，4）C．（2，﹣3）D．（﹣1，﹣3）

【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．

【解答】解：由题意可知此题规律是（x+2，y﹣3），照此规律计算可知顶点P（﹣4，﹣1）平移后的坐标是（﹣2，﹣4）．

故选A．

【点评】本题考查了图形的平移变换，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

考题2：（•甘肃庆阳，第6题，3分）已知点P（a+1，﹣ +1）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）

　 A． B．  

C． D．

【解析】 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组；关于原点对称的点的坐标．首先根据题意判断出P点在第二象限，再根据第二象限内点的坐标符号（﹣，+），可得到不等式a+1＜0，﹣ +1＞0，然后解出a的范围即可．

【解答】解：∵P（a+1，﹣ +1）关于原点对称的点在第四象限，

∴P点在第二象限，

∴a+1＜0，﹣ +1＞0，

解得：m＜﹣1，

则a的取值范围在数轴上表示正确的是．

故选：C．

【点评】 此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，以及各象限内点的坐标符号，关键是判断出P点所在象限．

考点3：（•济南,第14题3分）在平面直角坐标系中有三个点A（1，﹣1）、B（﹣1，﹣1）、C（0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P1，P1关于B的对称点P2，P2关于C的对称点为P3，按此规律继续以A、B、C为对称中心重复前面的操作，依次得到P4，P5，P6，…，则点P的坐标是（　　）

　 A． （0，0） B． （0，2） C． （2，﹣4） D． （﹣4，2）

【解析】规律型：点的坐标．设P1（x，y），再根据中点的坐标特点求出x、y的值，找出规律即可得出结论．

【解答】 解：设P1（x，y），

∵点A（1，﹣1）、B（﹣1，﹣1）、C（0，1），点P（0，2）关于A的对称点为P1，P1关于B的对称点P2，

∴=1， =﹣1，解得x=2，y=﹣4，

∴P1（2，﹣4）．

同理可得，P1（2，﹣4），P2（﹣4，2），P3（4，0），P4（﹣2，﹣2），P5（0，0），P6（0，2），P7（2，﹣4），…，…，

∴每6个数循环一次．

∵=335…5，

∴点P的坐标是（0，0）．

故选A．

【点评】本题考查的是点的坐标，根据题意找出规律是解答此题的关键．

考点4：（•宁夏第11题3分）如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（﹣1，0），则点C的坐标为　（，﹣）　．

【解析】正多边形和圆；坐标与图形性质．先连接OE，由于正六边形是轴对称图形，并设EF交Y轴于G，那么∠GOE=30°；在Rt△GOE中，则GE=，OG=．即可求得E的坐标，和E关于Y轴对称的F点的坐标，其他坐标类似可求出．

【解答】 解：连接OE，由正六边形是轴对称图形知：

在Rt△OEG中，∠GOE=30°，OE=1．

∴GE=，OG=．F（﹣，）．