2022年中考数学一轮复习第8讲《分式方程及其应用》讲学案

中考数学一轮复习第8讲《分式方程及其应用》

【考点解析】

题型一  分式方程的解法

【例题】（•十堰）用换元法解方程﹣=3时，设=y，则原方程可化为（　　）

A．y=﹣3=0 B．y﹣﹣3=0 C．y﹣+3=0 D．y﹣+3=0

【分析】直接利用已知将原式用y替换得出答案．

【解答】解：∵设=y，

∴﹣=3，可转化为：y﹣=3，

即y﹣﹣3=0．

故选：B．

【点评】此题主要考查了换元法解分式方程，正确得出y与x值间的关系是解题关键．

【变式】

1．(湖北衡阳)方程的解为        ．

【答案】x=-1.

【解析】 此题考查解分式方程，

首先去分母将分式方程转化为整式方程：原方程两边同时乘以x(x-2)，得x-2=3x，

移项得，x－3x=2，

合并同类项得，﹣2x=2，

系数化为1，得x=﹣1，

检验：当x=﹣1时，x(x-2)≠0，所以x=﹣1是原方程的根.

注意解分式方程必须要检验根的合理性.

【点评】解分式方程时应注意以下两点：(1)去分母时，要将最简公分母乘以每一个式子，不要“漏乘”；(2)解分式方程时必须检验，检验时只要代入最简公分母看其是否为0即可．若能使最简公分母为0，则该解是原方程的增根．

2.解方程：．

【答案】．

【解析】方程两边同乘以，得，

解得．

经检验，是原方程的根．

∴原方程的解为．

题型二   分式方程的增根 

【例题】1．（•凉山州）关于x的方程无解，则m的值为（　　）

A．﹣5 B．﹣8 C．﹣2 D．5

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x+1=0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．

【解答】解：去分母得：3x﹣2=2x+2+m，

由分式方程无解，得到x+1=0，即x=﹣1，

代入整式方程得：﹣5=﹣2+2+m，

解得：m=﹣5，

故选A

【点评】此题考查了分式方程的解，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．

【变式】

2.若方程有增根，则m的值为         ．

【答案】3

【解析】两边同乘x-3，得

x=2(x-3)+m

∵原分式方程有曾根

∴x-3=0

∴x=3

∴m=3

题型三   分式方程的应用

【例题】1．（•深圳）施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（　　）

A．﹣=2 B．﹣=2

C．﹣=2 D．﹣=2

【分析】设原计划每天铺设x米，则实际施工时每天铺设（x+50）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间=2，列出方程即可．

【解答】解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+50）米，

根据题意，可列方程：﹣=2，

故选：A．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．

２．（山东省菏泽市·3分）列方程或方程组解应用题：

为了响应“十三五”规划中提出的绿色环保的倡议，某校文印室提出了每个人都践行“双面打印，节约用纸”．已知打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，这份资料的总质量为160克，已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求A4薄型纸每页的质量．（墨的质量忽略不计）

【考点】分式方程的应用．

【分析】设A4薄型纸每页的质量为x克，则A4厚型纸每页的质量为（x+0.8）克，然后根据“双面打印，用纸将减少一半”列方程，然后解方程即可．

【解答】解：设A4薄型纸每页的质量为x克，则A4厚型纸每页的质量为（x+0.8）克，

根据题意，得： =2×，

解得：x=3.2，

经检验：x=3.2是原分式方程的解，且符合题意，

答：A4薄型纸每页的质量为3.2克．

【点评】本题主要考查分式方程的应用，根据题意准确找到相等关系并据此列出方程是解题的关键．

【变式】

1．（•南充）某次列车平均提速20km/h，用相同的时间，列车提速前行驶400km，提速后比提速前多行驶100km，设提速前列车的平均速度为xkm/h，下列方程正确的是（　　）

A． =B． =

C． =D． =

【分析】直接利用相同的时间，列车提速前行驶400km，提速后比提速前多行驶100km，进而得出等式求出答案．

【解答】解：设提速前列车的平均速度为xkm/h，根据题意可得：

=．

故选：A．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意得出正确等量关系是解题关键．

2.（辽宁大连）甲乙两人制作某种机械零件.已知甲每小时比乙多做3个，甲做96个所用时间与乙做84个所用时间相等，求甲乙两人每小时各做多少个零件？

【答案】24和21个

【解析】

试题分析：设乙每小时做x个零件，则甲每小时做（x+3)个零件，根据等量关系：甲做96个所用时间与乙做84个所用时间相等，列出方程即可得解；

试题解析：设乙每小时做x个零件，则甲每小时做（x+3)个零件，由题意得：

解得x=21，经检验x=21是方程的解，x+3=24.

答：甲乙两人每小时各做24和21个零件.

【点评】列分式方程解决实际问题关键是找到“等量关系”，将实际问题抽象为方程问题．同时，既要注意求得的根是否是原分式方程的根，又要根据具体问题的实际意义，检验是否合理．

３．张老师为获得演讲比赛的同学购买奖品，计划用26元买软面笔记本，用18元买圆珠笔。已知每本软面笔记本比每支圆珠笔比贵1.2元，请你利用所学的方程知识帮张老师算一算能否买到数量相等的笔记本和圆珠笔。

【答案】不能买到数量相等的笔记本和圆珠笔，

【解析】首先设每支圆珠笔x元，则每本软面笔记本（x+1.2）元，根据题意可得等量关系：26元买软面笔记本的数量=用18元买圆珠笔的数量，求出每支圆珠笔的价钱，再算出购买的圆珠笔的数量即可判断．

试题解析：设每支圆珠笔x元，则每本软面笔记本（x+1.2）元，由题意得：

，

解得：x=2.7，

经检验：x=2.7是分式方程的解，

∵18÷2.7=，不是整数，

∴不能买到数量相等的笔记本和圆珠笔，

答：不能买到数量相等的笔记本和圆珠笔．

【典例解析】

【例题1】．（•黑龙江）关于x的分式方程=3的解是正数，则字母m的取值范围是（　　）

A．m＞3 B．m＞﹣3 C．m＞﹣3 D．m＜﹣3

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数确定出m的范围即可．

【解答】解：分式方程去分母得：2x﹣m=3x+3，

解得：x=﹣m﹣3，

由分式方程的解为正数，得到﹣m﹣3＞0，且﹣m﹣3≠﹣1，

解得：m＜﹣3，

故选D

【点评】此题考查了分式方程的解，始终注意分式方程分母不为0这个条件。【例题2】（•贺州）若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（　　）

A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠4

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出a的范围即可．

【解答】解：去分母得：2（2x﹣a）=x﹣2，

解得：x=，

由题意得：≥0且≠2，

解得：a≥1且a≠4，

故选：C．

【点评】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．

【例题3】（•临夏州）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产800台所需时间与原计划生产600台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）

A． =B． =C． =D． =

【分析】根据题意可知现在每天生产x+50台机器，而现在生产800台所需时间和原计划生产600台机器所用时间相等，从而列出方程即可．

【解答】解：设原计划平均每天生产x台机器，

根据题意得： =，

故选：A．

【点评】此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在平均每天比原计划多生产50台机器”这一个隐含条件，进而得出等式方程是解题关键．

【例题4】（山东省东营市·8分）东营市某学校年在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍．且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．

 (1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；

 (2)年为响应习总书记“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高  了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%．如果此次购买甲、乙两种足球的总  费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？

【知识点】分式方程——分式方程的实际应用、一元一次不等式的应用

【思路分析】（1）设一个甲种足球需x元，则一个乙种足球需(x＋20)元，根据购买甲种足球数量是购买乙种品牌足球数量的2倍，列出分式方程解答即可；

（2）设此次可购买y个乙种足球，则购进甲种足球（50﹣y）个，根据购买两种品牌足球的总费用不超过2900元，列出不等式解决问题．

【解答】(1)设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需(x＋20)元，由题意得：

＝2×.

解得：x＝50.

经检验，x＝50是原方程的解.

x＋20＝70.

答：购买一个甲种足球需50元,购买一个乙种足球需70元．

(2)设这所学校再次购买y个乙种足球，则购买(50－y)个甲种足球，由题意得：

50×(1＋10% )×(50－y)＋70×(1－70% )y≤2900.

解得：y≤18.75.

由题意知，最多可购买18个乙种足球.

笞：这所学校此次最多可购买18个乙种足球．

【点评】此题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，根据题意，找出题目蕴含的等量关系与不等关系是解决问题的关键．

【中考热点】

考点1．（•宜昌）分式方程=1的解为（　　）

A．x=﹣1 B．x=C．x=1 D．x=2

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：去分母得：2x﹣1=x﹣2，

解得：x=﹣1，

经检验x=﹣1是分式方程的解，

则分式方程的解为x=﹣1．

故选：A．

【点评】此题考查了分式方程的解，解分式方程利用了转化的思想，还有注意不要忘了检验．

考点2．（•重庆）从﹣3，﹣1，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程﹣=﹣1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是（　　）

A．﹣3 B．﹣2 C．﹣D．

【分析】根据不等式组无解，求得a≤1，解方程得x=，于是得到a=﹣3或1，即可得到结论．

【解答】解：解得，

∵不等式组无解，

∴a≤1，

解方程﹣=﹣1得x=，

∵x=为整数，a≤1，

∴a=﹣3或1，

∴所有满足条件的a的值之和是﹣2，

故选B．

【点评】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键．

考点3．（•内江）甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地．已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（　　）

A． =B． =C． =D． =

【分析】设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，则甲骑自行车的平均速度为（x+2）千米/时，根据题意可得等量关系：甲骑110千米所用时间=乙骑100千米所用时间，根据等量关系可列出方程即可．

【解答】解：设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意得：

=，

故选：A．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．

考点4.（四川眉山）“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场．顺风车行经营的A型车年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型车数量相同，则今年6月份A型车销售总额将比去年6月份销售总额增加25%．

（1）求今年6月份A型车每辆销售价多少元（用列方程的方法解答）；

（2）该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？

A、B两种型号车的进货和销售价格如表：

【分析】（1）设去年A型车每辆x元，那么今年每辆（x+400）元，列出方程即可解决问题．

（2）设今年7月份进A型车m辆，则B型车（50﹣m）辆，获得的总利润为y元，先求出m的范围，构建一次函数，利用函数性质解决问题．

【解答】解：（1）设去年A型车每辆x元，那么今年每辆（x+400）元，

根据题意得，

解之得x=1600，

经检验，x=1600是方程的解．

答：今年A型车每辆2000元．

（2）设今年7月份进A型车m辆，则B型车（50﹣m）辆，获得的总利润为y元，

根据题意得50﹣m≤2m

解之得m≥，

∵y=（2000﹣1100）m+（2400﹣1400）（50﹣m）=﹣100m+50000，

∴y随m 的增大而减小，

∴当m=17时，可以获得最大利润．

答：进货方案是A型车17辆，B型车33辆．

【点评】不同考查一次函数的应用、分式方程等知识，解题的关键是设未知数列出方程解决问题，注意分式方程必须检验，学会构建一次函数，利用一次函数性质解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型．