2022年中考数学一轮复习2.3《分式方程及其应用》讲解（含答案）学案

第三节  分式方程及其应用

课堂呈现  指引方向

    了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分：能进行简单的分式加、减、乘、除运算．能解可化为一元一次方程的分式方程．

考点梳理  夯实基础

1．分母中含有            的方程叫分式方程．

2．解分式方程的一般步骤：

  （1）去分母，将分式方程转化为整式方程；

  （2）解整式方程：

  （3）验根：把整式方程的根代入           ，看结果是否为零，使分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.

【答案】1.未知数  2.（3）最简公分母

考点一  解分式方程

【例1】解分式方程：

（1）（乐山）解方程：． 

（2）（上海）解方程：

      解题点拨：此题考查了解分式方程的知识，将分式方程先化为整式方程求解，求得结果后一定要检验．

  解：（1）1—3（x一2）= －（x－l），

  1—3x＋6= －x＋l．

  －2x= －6

  x=3．

  经检验．x=3是原方程的解

  ∴原方程的解是x=3．

  （2）x＋2－4=x2－4

  x2－x－2=0

  x1=2，x2 =－1，

  经检验x=2是增根，舍去；

  x=－1是原方程的根，

  ∴原方程的根是x=－1．

考点二  含参分式方程

【例2】（1）若关于x的分式方程有增根，则m的值是    （  ）

  A．m= －1    B．m=0    C．m=3    D．m=0或m=3

【答案】A

（2）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是    （    ）

A．m<6B．m>6     C．m<6且m≠0    D．m>6且m≠8

【答案】C

（3）已知关于戈的方程无解，求a的值．

  解：2（x＋2）＋ax=3（x－2）

  （a－l）x=－10

  ①当a－l=0，即a=l时，

  0．x=－10，整式方程无解；

  ②当a－l≠0，即a≠1时，要原方程无解，则整式方程的根为增根

  若x=2时，则a=－4；

  若x= －2时，则a=6；

  所以，a=l或－4或6．

  解题点拨：含参分式方程主要三种类型，一是分式方程有增根，二是分式方程无解，三是分式方程解有条件，总的原则都是将分式方程转化成整式方程，再根据条件讨论求解．

考点三  分式方程应用

【例3】某工厂计划在规定时间内生产24000个零件，若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．

  （1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；

  （2）为了提前完成生产任务，T厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的霉件总数还多20%．按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．

  解题点拨：分式方程应用题等量关系比较清晰，难度不大，特别注意不要忘记对根的检验．

  解：（1）设原计划每天生产的零件x个，

  由题意得，，解得，x= 2400．

  经检验，x= 2400是原方程的根，且符合题意．

 ∴规定的天数为24000÷2400 =10（天）．

  答：原计划每天生产的零件2400个，规定的天数为10天．

  （2）设原计划安排的工人人数为y人，

  由题意得 [5×20×（1＋20%） ×＋2400] ×（10－2）= 24000

  解得，y= 480.

  经检验，y=480是原方程的根，且符合题意．

  答：原计划安排的工人人数为480人．

课堂训练  当堂检测

1．（深圳）施T队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停T两天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是  （    ）

A．            B．

C．           D．

    【答案】A

2．（凉山）关于戈的方程无解，则m的值为    （   ）

A．－5    B．－8    C．一2    D．5

【答案】A

3．（贺州）若关于戈的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是      .

【答案】a≥1且a≠4

4．解分式方程   

（1）

解：2＋3x－6 =x－l

 2x=3

 x= 1.5．

经检验．x= 1.5是原方程的解．

∴原方程的解是x= 1.5．

（2）

解：x（x＋1）一（2x－l）= x2—1

x2＋x－2x＋l=x2－1

－x= －2

x=2．

经检验．x=2是原方程的解

∴原方程的解是x=2．

中考达标  模拟自测

A组  基础训练

一、选择题

1．（成都）分式方程的解为    （    ）

  A.x= －2    B.x= －3    C.x=2    D.x=3

【答案】B

2．（潍坊）若关于戈的方程的解为正数，则m的取值范围是（    ）

A．m<     B．m<且m≠    C．m>     D．m>且m≠

    【答案】B

3．（山西）甲、乙两个搬运T搬运某种货物，已知乙  比甲每小时多搬运600kg，甲搬运5000kg所用的时间与乙搬运8000kg所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少千克货物．设甲每小时搬运xkg货物，则可列方程为    （B）

    A.                  B.

C．                D．

【答案】B

4．（十堰）用换元法解方程，设，则原方程可化为（    ）

  A．  B．    C．    D．

 【答案】B

二、填空题  

5．若分式方程有增根，则这个增根是        ．

【答案】x=1

6．已知关于戈的分式方程的解为负数，则k的取值范围是      ．

【答案】k>且k≠1

7．已知点P（ l－2a，a－2）关干原点的对称点在第一象限内，且a为整数，则关于x的分式方程的解是         ．

【答案】x=3

三、解答题

8．解分式方程：

（1）．

解：x=2（3x－l）＋1

 x= 6x－2＋1   

  x=

经检验，x=是原方程的解

∴原方程的解是x=

（2）

解：x2－5x＋6－3x－9 =x2－9

解得

经检验，是分式方程的解

∴原方程的解是．

（3）

解：2－x－l=x－3

x=2

经检验：x =2是原方程的解．

∴原方程的解是x=2．

（4）

解：去分母得：（x＋l）2－2 =x－l，

整理得：x2＋x=0，即x（x＋1）=0，

解得：x=0或x= －1，

经检验x= －1是增根．

∴原方程的解是x=0．

9．（聊城）为加快城市群的建设与发展，在A，B两城市间新建一条城际铁路，建成后，铁路运行里程由现在的120km缩短至114km．城际铁路的设计平均时速要比现行的平均时速快llOkm．运行时间仅是现行时间的，求建成后的城际铁路在A，B两地的运行时间.

解：设城际铁路现行速度是xkm/h．

由题意得：  

  解这个方程得：x= 80．

  经检验：x= 80是原方程的根，且符合题意．

  则现行时间：120÷80×=0.6（小时）

  答：建成后的城际铁路在A，B两地的运行时间是0.6小时.

    B组提高练习

10．（梅州）对于实数以、6，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：13=，则方程的解是（    ） 

    A．x=4    B．x=5    C．x=6    D．x=7

【答案】B

（提示：依题意，得：，所以，原方程化为：，

即：，解得：x=5．）

11．（凉山）若实数x满足，则=              .

   【答案】 10

（提示：根据，可以求得的值，从而可以得到的值，∵，∴，∴，即，∴，故答案为：10）

12．宁波火车站北广场将于年底投入使用，计划在广场内种植4、B两种花木共6600棵，若4花木数量是B花木数量的2倍少600棵．

  （1）A、B两种花木的数量分别是多少棵？

  （2）如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植4花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植4花木和B花木，才能确保同时完成各白的任务？

  解：（1）设曰种花木的数量是x棵，则A种花木的数量是（2x －600）棵．

  根据题意，得x＋（ 2x－600）= 6600，

  解得x=2400,2x－600=4200．

  答：A种花木的数量是4200棵，口种花木的数量是2400棵．

  （2）设安排y人种植A种花木，则安排（26－y）人种植曰种花木．

  根据题意，得，解得y=14．

  经检验，y=14是原方程的根，且符合题意．

  26－y=12.

  答：安排14人种植A种花木，安排12人种植B种花木，才能确保同时完成各自的任务．