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    一轮复习专题12不等式选讲(解析版)教案

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    一轮复习专题12不等式选讲(解析版)教案

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    这是一份一轮复习专题12不等式选讲(解析版)教案,共11页。教案主要包含了必备知识,题组等内容,欢迎下载使用。
    1.基本不等式及其推广
    (1)a2+b2≥__________(a,b∈R),当且仅当__________时,等号成立.
    (2)eq \f(a+b,2)≥__________(a,b>0),当且仅当__________时,等号成立.
    (3)eq \f(a+b+c,3)≥__________(a,b,c>0),当且仅当________时,等号成立.
    (4)eq \f(a1+a2+…+an,n)≥_____________(ai>0,i=1,2,…,n),当且仅当_______________时,等号成立.
    2.绝对值不等式
    (1)定理1:如果a,b是实数,那么eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a+b))≤__________,当且仅当__________时,等号成立.
    (2)定理2:如果a,b,c是实数,那么eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a-c))≤__________,当且仅当____________时,等号成立.
    (3)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))a⇔______________.
    3.柯西不等式:
    ①柯西不等式的向量形式:lαl·| β|≥|a·β|.
    ②柯西不等式的代数形式:(a2+b2)(c2+d2)≥ (ac+bd)2.
    4.证明不等式的方法
    (1)比较法:比较法是证明不等式最基本的方法,具体有作差比较和作商比较两种,其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小;
    (2)综合法;
    (3)分析法;
    (4)反证法;
    (5)放缩法:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值________或________,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法.
    自查自纠:1.(1)2ab a=b (2)eq \r(ab) a=b (3)eq \r(3,abc) a=b=c (4)eq \r(n,a1a2…an) a1=a2=…=an
    2.(1)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))+eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) ab≥0 (2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a-b))+eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b-c)) (a-b)(b-c)≥0 (3)-a0,
    ∴eq \f(左边,右边)=eq \f((\r(a)+\r(b))(a-\r(ab)+b),\r(ab)(\r(a)+\r(b)))=eq \f(a-\r(ab)+b,\r(ab))≥eq \f(2\r(ab)-\r(ab),\r(ab))=1.
    ∴原不等式成立.
    2.已知a,b,c均为正数,证明:a2+b2+c2+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)+\f(1,b)+\f(1,c)))eq \s\up12(2)≥6eq \r(3),并确定a,b,c为何值时,等号成立.
    【详解】证法一:因为a,b,c均为正数,由平均值不等式得a2+b2+c2≥3(abc)eq \s\up6(\f(2,3)),①
    eq \f(1,a)+eq \f(1,b)+eq \f(1,c)≥3(abc)-eq \f(1,3),所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)+\f(1,b)+\f(1,c)))eq \s\up12(2)≥9(abc)-eq \f(2,3).②
    故a2+b2+c2+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)+\f(1,b)+\f(1,c)))eq \s\up12(2)≥3(abc)eq \s\up6(\f(2,3))+9(abc)-eq \f(2,3).
    又3(abc)eq \s\up6(\f(2,3))+9(abc)-eq \f(2,3)≥2eq \r(27)=6eq \r(3),③
    所以原不等式成立.
    当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立.
    当且仅当3(abc)eq \s\up6(\f(2,3))=9(abc)-eq \f(2,3)时,③式等号成立,即a=b=c=3eq \s\up6(\f(1,4))时,原式等号成立.
    证法二:因为a,b,c均为正数,由基本不等式得a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,
    所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac.①
    同理eq \f(1,a2)+eq \f(1,b2)+eq \f(1,c2)≥eq \f(1,ab)+eq \f(1,bc)+eq \f(1,ac).②
    故a2+b2+c2+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)+\f(1,b)+\f(1,c)))eq \s\up12(2)=a2+b2+c2+eq \f(1,a2)+eq \f(1,b2)+eq \f(1,c2)+eq \f(2,ab)+eq \f(2,bc)+eq \f(2,ac)≥ab+bc+ac+eq \f(3,ab)+eq \f(3,bc)+eq \f(3,ac)≥6eq \r(3).③
    所以原不等式成立.
    当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立,当且仅当(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时,③式等号成立.即当且仅当a=b=c=3eq \s\up6(\f(1,4))时,原式等号成立.
    3.设x>0,y>0且x≠y,求证:(x3+y3)eq \s\up6(\f(1,3))eq \f(1,2),矛盾.
    若x,y,z三数中有最大者大于eq \f(2,3),不妨设x>eq \f(2,3),
    则eq \f(1,2)=x2+y2+z2≥x2+eq \f((y+z)2,2)=x2+eq \f((1-x)2,2)=eq \f(3,2)x2-x+eq \f(1,2)=eq \f(3,2)xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(2,3)))+eq \f(1,2)>eq \f(1,2),矛盾.
    故x,y,z∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(2,3))).
    5.设s=eq \r(1×2)+eq \r(2×3)+eq \r(3×4)+…+eq \r(n(n+1)),求证:eq \f(1,2)n(n+1)

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