一轮复习专题5.1 平面向量的概念、基本定理及运算（原卷版）教案

这是一份一轮复习专题5.1 平面向量的概念、基本定理及运算（原卷版）教案，共15页。教案主要包含了知识要点，题型训练，课后强化等内容，欢迎下载使用。

5.1 平面向量的概念、基本定理及运算
一、知识要点
1．向量的有关概念
(1)向量：既有____________又有____________的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的____________(或称模).的模记作____________．
(2)零向量：____________的向量叫做零向量，其方向是________的．
(3)单位向量：长度等于__________________的向量叫做单位向量.
是一个与a同向的____________；－是一个与a________的单位向量．
(4)平行向量：方向________或________的________向量叫做平行向量．
平行向量又叫____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．
规定：与任一向量_________．
(5)相等向量：长度____________且方向____________的向量叫做相等向量．
(6)相反向量：长度____________且方向____________的向量叫做相反向量．
(7)向量的表示方法：用________表示；用____________表示；用________表示．
2．向量的加法和减法
(1)向量的加法
①三角形法则：以第一个向量a的终点A为起点作第二个向量b，则以第一个向量a的起点O为________以第二个向量b的终点B为________的向量就是a与b的________(如图1)．
推广：＋＋…＋An－1An＝____________.

图1 　　　　图2
②平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱ABCD，则以A为起点的__________就是a与b的和(如图2)．在图2中，＝＝b，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式．
③加法的运算性质：
a＋b＝____________(交换律)；(a＋b)＋c＝____________(结合律)；a＋0＝____________＝a.
(2)向量的减法

已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝____________，即a－b表示从向量b的终点指向向量a(被减向量)的终点的向量(如图)．
3．向量的数乘及其几何意义
(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作____________，它的长度与方向规定如下：
①＝____________；
②当λ>0时，λa与a的方向____________；当λ<0时，λa与a的方向____________；
当λ＝0时，λa＝____________.
(2)运算律：设λ，μ∈R，则：
①λ(μa)＝__________；②(λ＋μ)a＝__________；③λ(a＋b)＝____________.
4．两个向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得____________．
5.向量共线定理拓展：
①三点共线；
②为平面上任一点，三点共线，且.
6．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使________________．我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组__________．
7．向量的夹角：

(1)已知两个________向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角(如图)．
(2)向量夹角θ的范围是_______________．
a与b同向时，夹角θ＝________；a与b反向时，夹角θ＝____________.
(3)如果向量a与b的夹角是____________，我们就说a与b垂直，记作____________．
8．平面向量的正交分解及坐标表示
(1)平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个____________的向量，叫做向量的正交分解．
(2)在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.则实数对__________叫做向量a的(直角)坐标，记作a＝__________，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示．与a相等的向量的坐标也为________．显然，i＝________， j＝________，0＝________.
9．平面向量的坐标运算
(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝__________________________.
(2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝___________________________.
(3)若a＝(x，y)，则λa＝____________.
(4)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是____________________．
※10.线段的分点坐标
设点P是线段P1P2上的一点，且P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)．
当＝λ时，点P的坐标(x，y)＝.
特别地：①当λ＝1时，点P为线段P1P2的中点，其坐标为P.
②G(x，y)为△ABC的重心，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则AB中点D的坐标为.再由＝2，我们便得到了三角形的重心坐标G(，)．
自查自纠：
1．(1)大小　方向　长度　　(2)长度为0　任意　(3)1个单位长度　单位向量　方向相反
(4)相同　相反　非零　共线向量　平行　(5)相等　相同　(6)相等　相反　(7)字母　有向线段　坐标
2．(1)①起点　终点　和　　②对角线　③b＋a　a＋(b＋c)　0＋a　(2)a－b
3．(1)λa　①|λ||a|　②相同　相反　0　(2)①μ(λa)　②λa＋μa　③λa＋λb
4．b＝λa
6．a＝λ1e1＋λ2e2　基底
7．(1)非零　(2)0°≤θ≤180°　0°　180°　(3)90°　a⊥b
8．(1)互相垂直　(2)(x，y)　(x，y)　(x，y)　(1，0)　(0，1)　(0，0)
9．(1)(x1±x2，y1±y2)　(2)(x2－x1，y2－y1)
(3)(λx，λy)　(4)x1y2－x2y1＝0
二、题型训练：
题组一：
1．化简（　　）
A． B． C． D．
2．++= .
3．在平行四边形中，等于 （ ）
A． B． C． D．
4． D、E、F分别是三边BC、CA、AB中点，则=（ ）

A. B.
C. D.
5．设是所在平面内一点，则（ ）.
A． B． C． D．
6．如图，点M是的重心,则为（ ）

A． B．4 C．4 D．4
课堂检测：
7． +-等于( )
A.2 B.3 C. D.
8．化简得（ ）
A． B． C． D．
9．化简下列式子：其结果为零向量的个数是（ ）
① ； ②；③； ④
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10．在ABCD中，错误的式子是( )

A. B. C. D.
题组二：
11．若向量，，则=（ ）
A． B． C． D．
12．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
13．已知点，向量，则向量( )
（A） （B） （C） （D）
14．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
15．已知向量，则的值为（ ）
A． B． C． D．
16．已知向量a＝（sin x，cos x），向量b＝（1，），则|a＋b|的最大值是________．
课堂检测：
17．已知向量 , ,则（ ）．
A． B． C． D．
18．已知平面向量，，则向量（ ）
A． B． C． D．
19．已知向量，，若，则 ．
20．已知点A和向量=，若=3，则点B的坐标是（ ， ）．
21．设向量，其中为实数，若，则的取值范围为 。
题组三：
22知平面向量________．
23知向量，，若，则__________________．
24.向量与共线且方向相同，则（ ）
A． B． C． D．
25．已知向量若与平行，则实数的值是（ ）
A．－2 B．0 C．1 D．2
26．已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
课堂检堂：
27．若向量，，且，则的值为 ．
28．已知向量，，且，则的值为（ ）
A．4 B．-4 C．9 D．-9
29．已知平面向量，向量，向量． 若，则实数的值为 ．
30．已知平面向量，，且，则．
31．已知向量a = （,1），b = （0, -1），c = （k,），若a - 2b与c共线，则的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
32．已知，，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题组四：
33．如图，是△的边的中点，则向量等于（ ）

A. 　 B.　 C. 　D.
34．已知平行四边形，是的中点，若，则向量= （用表示）．
35．四边形OABC中，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
36．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．
37．如图，在中，点是边上靠近的三等分点，则（　　）
A．　B． C．　 D．

38．如图，已知＝，用，表示，则等于(　　)

A.－ B.＋
C.－＋ D.－－
39．如图所示，已知，，，，则下列等式中成立的是( )





(A)
(B)
(C)
(D)
40．如下图所示，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点M是线段OD的中点，设，则= ．（结果用表示）

课堂检测：
41．如图，在中，是边的中线，是边的中点，若,则=（ ）.

A．
B．
C．
D．
42．在△中，为边上的中线，为的中点，则（ ）

A． B．
C． D．

43．设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
44．如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ）

A．
B．
C．
D．
题组五：
45．在中，点在边上，且，，则=（ ）
A． B． C． D．
46．在中，点，满足，，若，则_____.
47．如图，在四边形中，，为的中点，且，则 .

48．如图，正六边形ABCDEF中，若AD=λAC+μAE（λ ，μ∈R），则λ+μ的值为____．

49．在△ABC中，是边所在直线上任意一点，若，则＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
50．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为 .

51．在中，D为AB边上一点，，，则=（ ）
A． B. C. D.
52．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．

53．已知D，E是边BC的三等分点，点P在线段DE上，若，则xy的取值范围是
A． B． C． D．
54．如图，在中，、分别是、的中点，若（，），且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
课堂检测：
55．在中，已知是延长线上一点，若，点为线段的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
56．设为所在平面内一点，，若，则__________．
57．如图，在中，、分别为边、的中点.为边上的点，且，若，，则的值为 .

58．在正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=______．

59．如图，在中，已知，是上一点，若，则实数的值是 ．

60．中，D为AC上的一点，满足．若P为BD上的一点，满足，则的最大值为_________；的最小值为_________．

61．点P在△ABC的BC边上，若，则的最小值为_____.
题组六：
62．设与是两个不共线向量，且向量与共线，则=（ ）
A．0 B． C．－2 D．
63．设，是两个不共线的平面向量，若，，，且三点共线，则实数的值为_______．
64．设与是不共线向量，，若且，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
65．已知向量，，，则
（A）A、B、C三点共线 （B）A、B、D三点共线　
（C）A、C、D三点共线 （D）B、C、D三点共线
66．已知是不共线的向量，，若三点共线，则满足（ ）
A． B． C． D．
67．在下列向量组中，可以把向量表示出来的是 .
A. B.　C. D.
68．若，是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ）
A．－，－ B．＋，－ C．2－3,6－4 D．2＋，＋
69．已知平面直角坐标系内的两个向量,,且平面内的任一向量都可以唯一的表示成为实数）,则实数的取值范围是（ ）
A． B．　　 C． 　 D．
课堂检测：
70．已知向量，是两个不共线的向量，若与共线，则 ．
71．已知向量，，，则（ ）
A．三点共线 B. 三点共线 C． 三点共线 D． 三点共线
72．向量.若三点共线，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
73．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A． B．
C． D．
74．设，，，，，为坐标原点，若、、三点共线，则的最小值是_______．
三、课后强化：
1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )
A．e1=0,0，e2=1,-2 B．e1=5,7，e2=-1,2
C．e1=3,5，e2=6,10 D．e1=2,-3，e2=12,-34
2．已知,且，则（ ）
A．4 B．3 C． D．
3．已知向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
4．已知向量，，若与共线，则实数的值是 ．
5．设向量与不共线，若，，，且三点共线，则_____.
6．向量PA=(k,12)，PB=(4,5)，PC=(10,k)，若A，B，C三点共线，则k的值为__________．
7．已知的边上有一点满足，则可表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知中，，延长交于，则（ ）
A． B． C． D．
9．在△ ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（ ）
A．3 B．1 C． D．
10．如图，已知与有一个公共顶点，且与的交点平分，若，则的最小值为（ ）

A．4 B．
C． D．6
11．在中，点满足，过点的直线与，所在直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
12．如图，在△中，点是线段上两个动点，且 ，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．