专题5.2 平面向量数量积及其应用（原卷版）教案

5.2平面向量的数量积及其应用

一、必备知识：

1．数量积的概念：

已知两个非零向量a与b，我们把数量________________叫做a与b的数量积(或内积)，记作____________，即a·b＝________，其中θ是a与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫向量a在b方向上(b在a方向上)的____________．

a·b的几何意义：数量积a·b等于__________________________________．

2．数量积的运算律及常用结论：

(1)数量积的运算律：①交换律：_____________；②数乘结合律：_______________；③分配律：_____________．

(2)常用结论：①(a±b)2＝________________；　 ②(a＋b)·(a－b)＝_____________；

③ a2＋b2＝0⇔______________； ④|－|________＋.

3．数量积的性质：设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则

① e·a＝____________.② a⊥b⇔____________.③当a与b同向时，a·b＝____________；

当a与b反向时，a·b＝____________.特别地，a·a＝____________或＝____________.

④ cosθ＝____________.⑤≤____________.

4．数量积的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

①a·b＝________________；a2＝________________；＝________________.

② a⊥b⇔____________________.③≤________________________.

自查自纠：

1.cosθ　a·b　|a||b|cosθ　投影　a的长度与b在a的方向上的投影cosθ的乘积

2．(1)①a·b＝b·a　②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)③(a＋b)·c＝a·c＋b·c

　(2)①a2±2a·b＋b2　②a2－b2　③a＝0且b＝0　④≤

3．①|a|cosθ　②a·b＝0　③|a||b|　－|a||b|　|a|2　　　④　⑤|a||b|

4．①x1x2＋y1y2　x＋y　　②x1x2＋y1y2＝0　③

二、题型训练：

题组一：

1．已知向量，则的值为（　）

A．-1        B．7         C．13            D．11

2．已知向量，则　　　　　。

3．已知向量，满足，，则 (    )

A．  B．   C．    D．

题组二：

4．在边长为的正三角形中，设，则    .

5．已知，是单位向量，且与的夹角为60°，则等于（    ）．

A．1  　　B．2－    C．3      D．4－

6．已知向量满足，且与的夹角为60°，且，则＝（    ）

A、2   B、－6   C、6   D、－2

题组三：

7．在中，．点满足，则______,

8．在△ABC中，，AB =2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，则（    ）

A、      B、      C、      D、

9．在中，，，，点满足，则（  ）

A．0 B．2 C． D．4

10．在如图的平面图形中，已知,则的值为（  ）

A．             B．     

C．              D．0

11．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是       ．

12．已知向量，则=　　　　　　．

课后巩固：

13．已知向量，则（    ）

A．     B．     C．      D．9

14．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω>0，）的图象如图所示， 则·=（  ）

A．8    

B．-8     

C．  

D．

15．在△ABC中，，AB =2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，则（    ）

A、      B、      C、      D、

16．已知菱形ABCD的边长为，对角线，点P在边DC上点Q在CB的延长线上，且，则向量的值是（    ）

A．      B． C．       D．

17．平行四边形中，，则（  ）

A． B． C． D．

题组五：

18．在边长为的菱形中，，则在方向上的投影为（   ）

A．     B．    C．     D．

19．在中，，则在方向上的投影是（　　）

A．4         B．－4      C．3       D．－3

20．已知||＝1，||＝2，与的夹角为，则＋在上的投影为（   ）

A．1       B．2      C．        D．

21．已知向量与向量的夹角为，若且，则在上的投影为         。

22．已知向量，向量，则向量在向量方向上的投影为（   ）

A． B． C． D．

23．已知点，则向量在方向上的投影为（    ）

A． B． C． D．

24．设单位向量的夹角为，则向量在方向上的投影为_______．

课后巩固：

25．设，均为单位向量，当，的夹角为时，在方向上的投影为（    ）

A． B． C． D．

26．已知向量与的夹角为，则在方向上的投影为（   ）

A． B． C． D．

27．已知向量，则在方向上的射影为（   ）

A． B． C． D．

28．在中,则在方向上的投影为（    ）．

A．4 B．3 C．-4 D．5

29．在中，，的平分线AD交边BC于点D，已知，且，则在方向上的投影为(   )

A．1     B．     C．3     D．

题组六：

30．，是两个向量，，，且，则，的夹角为（   ）

A．  B．       C．   D．

31．若，是夹角为60°的两个单位向量，若＝2＋，＝－3＋2， 则与的夹角为　　.

32．已知向量=（1，3）， =（-2，-6），||=，若（+）·=5，则与的夹角为（  ）  

A．30°    B．45°     C．60°      D．120°

33．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________．

34．若满足，且，则=       ．

35.已知向量，，若向量满足与的夹角为，，则（   ）

A．1    B．     C．2      D．

36．已知平面向量＝,，若与垂直，则＝（     ）

A．－1             B．1                 C．－2               D．2

37．已知，，且与夹角为，若，则　　　　．

38．若向量则与一定满足（  ）.

A．与的夹角等于   B．⊥    C．∥    D．⊥

课后巩固：

39．已知，，若，那么的夹角等于____________.

40．若向量的夹角为，，，则（   ）

A．　　B．　　C．　　D．

41．设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（1，-cosθ），若，则tanθ=      ．

42．设向量与满足，在方向上的投影为，若存在实数，使得与垂直，则（  ）

A．                 B．                 C．                 D．

三、强化培优：

1．已知是边长为2的正三角形的边上的动点，则（   ）

A．有最大值为8        B．是定值6    C．有最小值为2    D．与点的位置有关

2．已知为单位向量，若，则　　　　　　．

3．已知是内的一点，且，，若，，的面积分别为，则的最小值为　　　　　．

4．在直角中，，是斜边上的两个三等分点，已知的面积为2，则的最小值为______.

5．已知点，是椭圆上的动点，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．在边长为2的等边中，是的中点，点是线段上一动点，则的取值范围是（  ）

A．  B．    C．   D．

7．已知，点在线段上，且的最小值为1，则 ()的最小值为（  ）

A． B． C．2 D．

8．已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）

A． B． C． D．

9．已知点，动点的坐标满足不等式组，设为向量在向量方向上的投影，则的取值范围为（　　）

A． B． C． D．

10．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是  （   ）

A．1                 B．2              C．          D．

11．已知向量是单位向量，，若，且，则的取值范围是（    ）

A．         B．          C．          D．

12．若平面向量，满足||=|3|=2，则在方向上的投影的最大值为（　　）

A． B． C． D．