一轮复习专题6.1 等差数列（解析版）教案

这是一份一轮复习专题6.1 等差数列（解析版）教案，共15页。教案主要包含了必备知识，考点探究，巩固练习，强化培优等内容，欢迎下载使用。

6.1等差数列
一、必备知识：
1. 等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的__________等于同一个___________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的___________，
通常用字母d表示，即___________＝d(n∈N＋，且n≥2)或___________＝d(n∈N＋)．
2．等差中项
三个数a，A，b成等差数列，这时A叫做a与b的____________．
3．等差数列的通项公式
若{an}是等差数列，则其通项公式an＝___________.
①{an}成等差数列⇔an＝pn＋q，其中p＝______，q＝_______，点(n，an)是直线________上一群孤立的点．
②单调性：d＞0时，{an}为___________数列；d＜0时，{an}为___________数列；d＝0时，{an}为___________．
4．等差数列的前n项和公式
(1)等差数列前n项和公式Sn＝___________＝___________.其推导方法是___________．
(2){an}成等差数列，求Sn的最值：
若a1＞0，d＜0，且满足时，Sn最大；
若a1＜0，d＞0，且满足时，Sn最小；
或利用二次函数求最值；或利用导数求最值．
5．等差数列的判定方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列；
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；
(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列；
(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列．
6．等差数列的性质
(1)am－an＝___________d，即d＝.
(2)在等差数列中，
若p＋q＝m＋n，则有ap＋aq＝am＋____；
若2m＝p＋q，则有___am＝ap＋aq(p，q，m，n∈N*)．
但要注意：在等差数列an＝kn＋b中，若m＝p＋q，易证得am＝ap＋aq成立的充要条件是b＝0，
故对一般等差数列而言，若m＝p＋q，则am＝ap＋aq并不一定成立．
(3)若{an}，{bn}均为等差数列，且公差分别为d1，d2，则数列{pan}，{an＋q}，{an±bn}也为___________数列，且公差分别为___________，___________，___________.
(4)在等差数列中，按序等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an，an＋m，an＋2m，…为等差数列，公差为md.
(5)等差数列的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…为等差数列，公差为n2d.
(6)若等差数列的项数为2n，则有S偶－S奇＝nd，＝.
自查自纠：
1．差　常数　公差　an－an－1　an＋1－an
2．等差中项
3．a1＋(n－1)d　①d　a1－d　y＝dx＋(a1－d)　②单调递增　单调递减　常数列
4．(1)　na1＋　倒序相加法　(2)≥0　≤0　≤0　≥0
6．(1)(m－n)　(2)an　2　(3)等差　pd1　d1　d1±d2
二、考点探究：
题组一：
1．已知等差数列中，，则的值是（ ）
A．15 B．30 C．31 D．64
【答案】A
【详解】根据等差数列的性质，可知，所以有，故选A．
2．在等差数列｛an｝中，，则此数列前30项和等于（ ）
A、810 B、840 C、870 D、900
【答案】B
【详解】根据等差数列的性质，，所以，，所以，所以，又，．
3．在等差数列中，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为是等差数列，所以成等差数列，又，所以，故选A。
4．等差数列的前n项和为，若（ ）
A． B． C． D．
【答案】C．
【详解】由题意，得，解得．
5．在等差数列{an}中，若S9=18，Sn=240，=30，则n的值为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【详解】根据等差数列前n项和公式，又根据等差数列的性质，，，，∴．∴n=15，故选B。
题组二：
6．在等差数列中，已知，则=（ ）
A．10 B．18 C．20 D．28
【答案】C
【详解】因为，，所以，故选C．
7．在等差数列中，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由等差数列的性质可得，解得，设等差数列的公差为，，故选C。
8．已知为等差数列，且有，则=（ ）
（A）28 （B）24 （C）20 （D）16
【答案】B
【详解】由等差数列的下角标和性质得选B．
9．设等差数列的前项之和为，已知，则（ ）
A．12 B．20 C．40 D．100
【答案】B
【详解】是等差数列，，故选B。
10．在等差数列中，=24，则此数列的前13项之和等于（ ）
A．13 B．26 C．52 D．156
【答案】B
【详解】，
11．等差数列中，，则 （ ）
A.10 B.20 C.40 D.
【答案】B
【详解】因为，所以选B.
题组三：
12．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（ ）
A．6斤 B．7斤 C．9斤 D．15斤
【答案】D
【详解】因为每一尺的重量构成等差数列，，，，
数列的前5项和为．即金锤共重15斤，故选D．
13．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1,3,9节，则这3节的容积之和为（ ）
A．升 B．升 C． 升 D．升
【答案】B
【详解】设自上而下各节的容积分别为，公差为，∵上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，∴ ，解得∴自上而下取第1，3，9节，则这3节的容积之和为： （升）．故选B．
14．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 得中间的那份为20个面包，设最小的一份为，公差为d，根据题意，于是有解得．故选C．
15．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多（为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（　　）
A．2盏 B．3盏 C．26盏 D．27盏
【答案】C
【详解】设最顶层有盏灯，则最下面一层有盏，
，，，
，，，，
，（盏），所以最下面一层有灯，（盏），故选C.
三、巩固练习：
1．在等差数列中，，则（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】D
【详解】根据等差数列的通项公式，，所以，所以．
2．已知等差数列满足，则下列选项错误的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据等差数列的性质，可知，，，所以有A,B,D是正确的，只有C是错误的，故选C．
3．已知数列为等差数列，且，，则 （ ）
A．45 B．43 C．40 D．42
【答案】D
【详解】
4．已知数列为等差数列，是它的前项和．若，，则（ ）
A．10 B．16 C．20 D．24
【答案】C
【详解】因为数列为等差数列，所以，即所以公差由等差数列的前项和公式得故答案选
5．在等差数列中，已知则等于 （ ）
A．15 B．33 C．51 D．63
【答案】D
【详解】在等差数列中，由等差中项知：，故，选D
6．在等差数列｛an｝中，设公差为d，若S10＝4S5，则等于（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【详解】由得整理化简得
7．等差数列{an}中，已知（ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
【答案】C
【详解】由等差数列的性质得，，则，所以公差，由等差数列的通项公式得，，解得．
8．在等差数列中，等于（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】A
【详解】根据等差数列的性质，
9．在等差数列中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，得，即；则．
10．等差数列中，=3，=7，则=（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【详解】由等差数列通项公式成等差数列，成等差数列，所以，，成等差数列，所以=11
11．设{} 是公差为正数的等差数列，若，且，则等于（ ）
A．120 B．105 C．90 D．75
【答案】B
【详解】由得 由得，所以=，故选B
12．等差数列中，和是关于方程的两根，则该数列的前11项和=（ ）．
A、58 B、88 C、143 D、176
【答案】B
【详解】由根与系数关系，，又根据等差的性质，，所以
13．设等差数列的前项和为，已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
14．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋a13＝118，则a4＋a10等（ ）
A．45 B．75 C．50 D．60
【答案】C
【详解】根据等差数列的性质，，解得，，解得，所以，而．
15．等差数列的前项和，若，，则等于 （ ）
A．152 B．154 C．156 D．158
【答案】C
【详解】将已知两等式直接相加可得：，再由等差数列的基本性质知，所以，所以，故应选．
16．在等差数列中，前四项之和为20，最后四项之和为60，前项之和是100，则项数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【详解】由题意可知，由等差数列的性质可得，因为，所以．
17．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：斤棉花，分别赠送给个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前8项和为996，
设首项为，结合等差数列前n项和公式有：，
解得：，则.即第八个孩子分得斤数为.
18．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升”。其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，在该问题中第3天共分发大米（ ）
A．192升 B．213升 C．234升 D．255升
【答案】C
【详解】根据题意设每天派出的人数组成数列，分析可得数列是首项，公差数的等差数列，则第三天派出的人数为，且，又根据每人每天分发大米升，则第天共分发大米升，故选
19．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（ ）
A．岁 B．岁 C．岁 D．岁
【答案】C
【详解】设这位公公的第个儿子的年龄为，由题可知是等差数列，设公差为，则，又由，即，解得，即这位公公的长儿的年龄为岁．选C．
20．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，第二日、第五日所织之和为七尺，则第十日所织尺数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
详解: 设第一天织a1尺，从第二天起每天比第一天多织d尺，由已知得，即解得a1=1，d=1，∴第十日所织尺数为a10=a1+9d=1+9×1=10．故选：B．
21．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人所得与下三人等。问各得几何？”其意思是：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列。问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）。这个问题中，戊所得为（ ）
A． 钱 B．钱 C． 钱 D． 钱
【答案】B
【详解】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，即a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，得a＝﹣6d，又五人分五钱，则a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝5，∴a＝1，则a+2d＝a+2×＝．故选：B．
22．《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子的容积为（ ）
A．升 B．升 C．升 D．升
【答案】D
详解：设竹子自上而下各自节的容积构成数列且，则，竹子的容积为，故选D.
23．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（ ）
A．134 B．135 C．136 D．137
【答案】B
【详解】因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故.由得，故此数列的项数为，故答案为B.
24．《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第6节的容积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据题意，设该竹子自上而下各节的容积为等差数列{an}，设其公差为d，且d＞0，
由题意可得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，则4a1+6d=3，3a1+21d=4，解可得a1=，d=，则第6节的容积a6=a1+5d=故答案为：A
25．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们．定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个整数中能被5除余2且被7除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列an，那么此数列的项数为（　　）
A．58 B．59 C．60 D．61
【答案】A
【详解】由数能被5除余2且被7除余2的数就是能被35除余2的数，故an＝2+（n﹣1）35＝35n﹣33．由an＝35n﹣33≤2019 ，得n≤58+2235，n∈N+，故此数列的项数为：58．故选：A.
四、强化培优：
1．等差数列和的前项的和分别为和，对一切自然数都有，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为数列和都是等差数列，所以选B．
2．若两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为An 、Bn，且满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
3．已知两个等差数列和的前项和分别为和,且,则当为正偶数时,的值可能是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【详解】（排除法）当n=6时，，不是正偶数，选项A错；当n=5时，，不是正偶数，选项B错；当n=4时，，不是正偶数，选项C错；当n=3时，，是正偶数，因此答案选D．
4．已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【详解】由，得，如果是正数，那么，所以共5个．
5．设数列是等差数列，是的前项和，且，则下列结论错误的是
A． B． C．均为的最小值 D．
【答案】D
【详解】由，得，则．
6．等差数列中，已知，，则使得的最大正整数为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】D
【详解】的最大n值为6
7．等差数列中，，若其前项和为，且有，那么当取最大值时，的值为（ ）
（A）8 （B）9 （C）10 （D）11
【答案】D
【详解】得，公差为负数，根据等差数列前n项和为没有常数项的二次函数，故在其对称轴n=11处取得最大值，故n=11．
8．已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵等差数列单调递增，∴，∵，即，即，∴．
9．已知等差数列的前n项和为，若则此数列中绝对值最小的项为（ ）
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项
【答案】C
【详解】又
故．易知公差，所以选C
10．在等差数列中，，且前10项和，则的最大值是（ ）.
A． 3 B． 6 C． 9 D． 36
【答案】C
【详解】 ，因为，所以，当且仅当“”时，等号成立，故选C
11．各项均为正数的等差数列中，，则前12项和的最小值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【详解】因为，当且仅当时取等号，选D.
12．在等差数列中， ，则使前项和成立的最大自然数n的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，数列是单调递减数列，
，所以n最大值为8
13．已知等差数列的等差，且 成等比数列，若，为数列的前 项和，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，成等比数列，，得或（舍去），，，令，当且仅当时等号成立。故选A。