一轮复习专题4.1 三角函数概念，同角三角函数与诱导公式（解析版）教案

这是一份一轮复习专题4.1 三角函数概念，同角三角函数与诱导公式（解析版）教案，共24页。教案主要包含了必备知识，题型训练，课外作业等内容，欢迎下载使用。

4.1 三角函数概念，同角三角函数与诱导公式
一、必备知识
（一）三角函数的概念：
1．任意角
(1)角的概念:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置______到另一个位置所成的图形．我们规定：按____________方向旋转形成的角叫做正角，按____________方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个____________．
(2)象限角:使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的____________重合．角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．
①α是第一象限角可表示为；
②α是第二象限角可表示为 ；
③α是第三象限角可表示为 ；
④α是第四象限角可表示为 ．
(3)非象限角
如果角的终边在____________上，就认为这个角不属于任何一个象限．
①终边在x轴非负半轴上的角的集合可记作{α|α＝2kπ，k∈Z}；
②终边在x轴非正半轴上的角的集合可记作__________________________________；
③终边在y轴非负半轴上的角的集合可记作__________________________________；
④终边在y轴非正半轴上的角的集合可记作__________________________________；
⑤终边在x轴上的角的集合可记作__________________________________________；
⑥终边在y轴上的角的集合可记作__________________________________________；
⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作_________________________________________．
(4)终边相同的角:所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝___________________.
2．弧度制
(1)把长度等于____________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．
＝________，l是半径为r的圆的圆心角α所对弧的长．
(2)弧度与角度的换算：360°＝________rad，180°＝________rad，1°＝_____rad≈0.01745rad，反过来1rad＝____≈57.30°＝57°18′.
(3)若圆心角α用弧度制表示，则弧长公式l＝__________；扇形面积公式S扇＝______＝_____．
3．任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数的定义
设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)与原点的距离为r(r>0)，则
sinα＝_____，cosα＝______，tanα＝______ (x≠0)．
※cotα＝(y≠0)，secα＝(x≠0)，cscα＝(y≠0)．
(2)正弦、余弦、正切函数的定义域
三角函数
定义域
sinα
①　　　　　　　　
cosα
②　　　　　　　　
tanα
③　　　　　　　　
(3)三角函数值在各象限的符号
　　
sinα　　 　　cosα　　　　　tanα

4．三角函数线
如图，角α的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的垂线，垂足为M，过点A(1，0)作单位圆的切线，设它与α的终边(当α为第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于点T.根据三角函数的定义，有OM＝x＝________，MP＝y＝________，AT＝ ＝________.像OM，MP，AT这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段，这三条与单位圆有关的有向线段MP，OM，AT，分别叫做角α的　　　　　、　　　　　　、　　　　　　，统称为三角函数线．


5．特殊角的三角函数值
角α
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度数











sinα











cosα











tanα











※sin15°＝，sin75°＝，tan15°＝2－，tan75°＝2＋，
由余角公式易求15°，75°的余弦值和余切值．
自查自纠：1．(1)旋转　逆时针　顺时针　零角　　(2)非负半轴　②
③④或{α|2kπ－<α<2kπ，k∈Z}
(3)坐标轴　②　
③　④ ⑤{α|α＝kπ，k∈Z}　
⑥ ⑦
(4){β|β＝α＋2kπ，k∈Z}或{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}
2．(1)半径长　　(2)2π　π　　°　(3)r　r2　lr
3．(1)　　　(2)①R　②R　③
4．Cosα　sinα　　tanα　正弦线　余弦线　正切线
5.
角α
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度数
0







π

2π
sinα
0



1



0
－1
0
cosα
1



0
－
－
－
－1
0
1
tanα
0

1

不存在
－
－1
－
0
不存在
　0

(二)基本关系式和诱导公式
1．同角三角函数的基本关系:
①____________________；② ．
2．三角函数的诱导公式:
三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称________．“符号看象限”是把α当成________时，原三角函数式中的角 所在________原三角函数值的符号．注意：把α当成锐角是指α不一定是锐角，如sin(360°＋120°)＝sin120°，sin(270°＋120°)＝－cos120°，此时把120°当成了锐角来处理．“原三角函数”是指等号左边的函数．
3．sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三者之间的关系
(sinα＋cosα)2＝________________；(sinα－cosα)2＝________________；
(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝________________；(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝________________.
自查自纠：1．①sin2α＋cos2α＝1　②＝tanα 2．不变　锐角　象限　(3)锐角
3．1＋sin2α　1－sin2α　2　2sin2α

二、题型训练：
题组一
1．若角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】角的终边经过点，故，所以.
2．已知角的终边上一点坐标为，则角的最小正值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】角的终边上一点坐标为，即为点在第四象限，且满足，且，故的最小正值为，故选C．
3．已知角的终边过点，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．－1
【答案】C
【详解】，，，所以原式等于．
4．设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意得：选D
5．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边与直线重合，且，又是角终边上一点，且(为坐标原点)，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边与直线重合，
且，所以为第三象限角.又是角终边上一点，所以，再根据（为坐标原点），所以，则，故选A.
6．如图，点A为单位圆上一点， 点A沿单位圆逆时针方向旋转角到点B(-，)则
cos=( )

A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由题意得：

7．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由三点共线，从而得到，因为，
解得，即，所以，故选B.
8．在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O?为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线.

A选项：当点在上时，，
，故A选项错误；
B选项：当点在上时，，，
，故B选项错误；
C选项：当点在上时，，，，故C选项正确；
D选项：点在上且在第三象限，，故D选项错误.
综上，故选C.
课堂检测：
9．已知角的终边过点，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由点的坐标有：，结合三角函数的定义可知：，则：.
10．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点2,1，则cos2θ=（ ）
A.-45 B.-35 C.35 D.45
【答案】C
【详解】因为角θ的终边过点2,1，所以tanθ=yx=12点2,1到原点的距离r=22+12=5
所以cosθ=xr=25，sinθ=yr=15所以cos2θ=cos2θ-sin2θ=45-15=35故选：C
11．设函数，若角的终边经过，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【详解】因为角的终边经过，所以，所以，则，故选C
12．已知角的终边经过点,其中,则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】∵角的终边经过点,其中,∴时，，，∴；时，，，∴；∴故选：B
13．已知角的终边过点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为角的终边过点，所以，解得.
14．如图，在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，终边分别是射线OA和射线OB．射线OA，OC与单位圆的交点分别为，.若，则的值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【详解】依题意，有：，，，，
＝.故答案为：C.
15．如图，角α,β均以Ox为始边，终边与单位圆O分别交于点A，B，则OA⋅OB=（ ）

A.sin(α-β)
B.sin(α+β)
C.cos(α-β)
D.cos(α+β)
【答案】C
【详解】根据题意，角角α,β均以Ox为始边，终边与单位圆O分别交于点A,B，则A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ)，则OA⋅OB=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)，故选C．
题组二：
16．已知是第二象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】 D
【详解】设的终边上一点，所以有，故根据三角函数定义式，可以求得．
17．已知是第二象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】是第二象限角
18．已知角的终边经过点，则（ ）
A．3 B． C． D．-3
【答案】D
【详解】因为角的终边经过点，所以，则.
19．已知=2．则的值是______________．
【答案】
【详解】式子上下同时除以得到，．
20．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为得即，将其代入得；将代入得，所以．
21．已知角的终边位于直线上，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】角的终边位于直线上，由此得，，故选B．
22．已知,则的值为 ．
【答案】
【详解】，分子分母同除以得


课堂检测：
23．若，则= ．
【答案】
【详解】．
24．已知，则=( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由得.故，故选B.
25 ．已知直线的倾斜角为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由题设有，.
26．函数（，且）的图象恒过定点，且点在角的终边上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】函数且的图象恒过点，且点A在角的终边上，，则
27．若，则的值为（ ）
A. B.-1 C. D.1
【答案】B
【详解】令，则，
故.故选B.
题组三：
33．己知，且满足，则等于( )
A． B． C． D．
【详解】D
【详解】,
因为,所以可知,所以.
,且,，选D.
28．已知，且，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以.因为，且，所以，所以.故选：A
29．已知θ∈(0,π),sin2θ=-2425，则sinθ-cosθ=（ ）
A.75 B.-75 C.±75 D.15
【答案】A
【详解】∵ sin2θ=2sinθcosθ=-2425，θ∈(0,π)，∴ sinθ>0,cosθ<0，
(sinθ-cosθ)2=sin2θ-2sinθcosθ+cos2θ=1-sin2θ=1-(-2425)=4925，
∴ sinθ-cosθ=75．故选A．
30．已知为锐角，且，则（ ）
A. B. C.2 D.
【答案】B
【详解】由题设，与联立可得，则，由为锐角可得，应选答案B。
31．若，则_______．
【答案】
【详解】由得，，即有，

。
32．已知α∈(0,π)，2sinα-cosα=1，则sinα2=（ ）
A.15 B.55 C.22 D.255
【答案】B
【详解】由题得2sinα-1=cosα,∴4sin2α-4sinα+1=cos2α，所以4sin2α-4sinα+1=1-sin2α，所以5sin2α-4sinα=0，∴sinα=0（舍）或sinα=45，所以cosα=35，∴1-2sin2α2=35，
所以sinα2=55.故选：B
28．已知是关于的方程的两个根，则= ．
【详解】
【详解】 ，，，得，解得或（舍）；
则．

课堂检测：
33．已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】.所以选A.
34．已知，则
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对等式两边平方，得，
即，，因此，，故选：B。
35．已知，则值是________.
【答案】
【详解】把，两边平方得：，即，则，则.
36．已知，则 ．
【答案】
【详解】由得将其代入解得或；又因为，所以．
37．已知，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由题意知，则，
可得，即，解得，故选A.
题组四：
38．求的值是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】．
39．的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由诱导公式可得：，故选择A
40．若，则（）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由三角函数的诱导公式，可得，又由余弦的倍角公式，可得，所以，故选B.
41．若，是第三象限的角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
42．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】原式可化为，上下同除以得，求得．
43．已知，则的值构成的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】为偶数时，；为奇数时，，则的值构成的集合为.
44．若，则的值是________
【答案】
【详解】∵，∴
45．已知sin(x+π4)=35，则sin2x＝_____________．
【答案】﹣725
【详解】∵ sin(x+π4)=35，∴sin2x=-cos（2x+π2）=2sin2（x+π4）-1=1825﹣1=-725.
46．已知，则的值是________．
【答案】
【详解】根据诱导公式，可知．
47．已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】因为.
.故选：C.
48．已知，则的值为______.
【答案】
【详解】依题意.
而.
49．已知，则 的值是_____.
【答案】
【详解】∵sin（x+）＝，=
=== 故答案为：.
课堂检测：
50．计算 。
【答案】
【详解】因为，所以.
51．（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】cos（π）＝cos（﹣10π）＝cos＝﹣cos．
52．若，则 ．
【答案】
【详解】由诱导公式可得：，∴，，
∴，∴.
53．已知角终边上有一点，则____________.
【答案】
【详解】∵ 角终边上有一点，∴．
∴．故答案为．
54．角的终边在直线上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【详解】角的终边在直线上，，则，故选：C
55．已知，则____．
【答案】
【详解】，故答案为．
56．已知，则的值是________.
【答案】
【详解】因为，则
，故答案是：.

三、课外作业：
1．的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】===，故选A.
2．，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意，，且，则.
3．已知是实数，是实数，则的值为( )
A. B. C.0 D.
【答案】A
【详解】由是实数，＝ ，得a=－1, 则=.
4．若点P（sin，cos）在角α的终边上，则sin2α的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，x＝sin，y＝cos，r＝1，∴sinα，．
∴ sinα故选：B．
5．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由三角函数定义得tan，即,得3cos解得或（舍去）故选：A
6．已知，则__________．
【答案】
【解析】
7．若 ,则_______
【答案】
【详解】因为，所以，故，
所以，；因此；由，解得
所以.故答案为
8．已知， ，则的值为__________．
【答案】-
【解析】 则 ，
9．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C．
10．已知角α的终边上有一点P（1,3），则 的值为（ ）
A、− B、− C、− D、−4
【答案】A
【详解】，又因为角终边上有一点，所以，所以原式，故选A.
11．已知，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由

.故答案为：B.
12．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】通过观察题目可得：与两角整体相加得，可由诱导公式的，所以=,选D.
13．已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由题意，可知，由三角函数的诱导公式，因为，
则，故选C.
14．如图点A为单位圆上一点，，点A沿单位圆逆时针方向旋转角到点B，则( )

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意因为，点B
所以，
所以，故选C
15．如图直角坐标系中，角、角的终边分别交单位圆于、两点，若点的纵坐标为，且满足，则的值( )
A. B. C. D.

【答案】B
【详解】由图易知知.由题可知，.由于知，即，即.则

.故答案为：B