一轮复习专题4.1 三角函数概念，同角三角函数与诱导公式（原卷版）教案

4.1 三角函数概念，同角三角函数与诱导公式

一、必备知识

（一）三角函数的概念：

1．任意角

(1)角的概念:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置______到另一个位置所成的图形．我们规定：按____________方向旋转形成的角叫做正角，按____________方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个____________．

(2)象限角:使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的____________重合．角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．

①α是第一象限角可表示为；

②α是第二象限角可表示为            ；

③α是第三象限角可表示为            ；

④α是第四象限角可表示为            ．

(3)非象限角

如果角的终边在____________上，就认为这个角不属于任何一个象限．

①终边在x轴非负半轴上的角的集合可记作{α|α＝2kπ，k∈Z}；

②终边在x轴非正半轴上的角的集合可记作__________________________________；

③终边在y轴非负半轴上的角的集合可记作__________________________________；

④终边在y轴非正半轴上的角的集合可记作__________________________________；

⑤终边在x轴上的角的集合可记作__________________________________________；

⑥终边在y轴上的角的集合可记作__________________________________________；

⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作_________________________________________．

(4)终边相同的角:所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝___________________.

2．弧度制

(1)把长度等于____________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．

＝________，l是半径为r的圆的圆心角α所对弧的长．

(2)弧度与角度的换算：360°＝________rad，180°＝________rad，1°＝_____rad≈0.01745rad，反过来1rad＝____≈57.30°＝57°18′.

(3)若圆心角α用弧度制表示，则弧长公式l＝__________；扇形面积公式S扇＝______＝_____．

3．任意角的三角函数

(1)任意角的三角函数的定义

设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)与原点的距离为r(r>0)，则

sinα＝_____，cosα＝______，tanα＝______ (x≠0)．

※cotα＝(y≠0)，secα＝(x≠0)，cscα＝(y≠0)．

(2)正弦、余弦、正切函数的定义域

(3)三角函数值在各象限的符号

sinα　　 　　cosα　　　　　tanα

4．三角函数线

如图，角α的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的垂线，垂足为M，过点A(1，0)作单位圆的切线，设它与α的终边(当α为第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于点T.根据三角函数的定义，有OM＝x＝________，MP＝y＝________，AT＝      ＝________.像OM，MP，AT这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段，这三条与单位圆有关的有向线段MP，OM，AT，分别叫做角α的　　　　　、　　　　　　、　　　　　　，统称为三角函数线．

5．特殊角的三角函数值

※sin15°＝，sin75°＝，tan15°＝2－，tan75°＝2＋，

由余角公式易求15°，75°的余弦值和余切值．

自查自纠：1．(1)旋转　逆时针　顺时针　零角　　(2)非负半轴　②

③④或{α|2kπ－<α<2kπ，k∈Z}

(3)坐标轴　②　

③　④  ⑤{α|α＝kπ，k∈Z}　

⑥  ⑦

(4){β|β＝α＋2kπ，k∈Z}或{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}

2．(1)半径长　　(2)2π　π　　°　(3)r　r2　lr

3．(1)　　　(2)①R　②R　③

4．Cosα　sinα　　tanα　正弦线　余弦线　正切线

5.

(二)基本关系式和诱导公式

1．同角三角函数的基本关系:

①____________________；②                    ．

2．三角函数的诱导公式:

三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称________．“符号看象限”是把α当成________时，原三角函数式中的角 所在________原三角函数值的符号．注意：把α当成锐角是指α不一定是锐角，如sin(360°＋120°)＝sin120°，sin(270°＋120°)＝－cos120°，此时把120°当成了锐角来处理．“原三角函数”是指等号左边的函数．

3．sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα三者之间的关系

(sinα＋cosα)2＝________________；(sinα－cosα)2＝________________；

(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝________________；(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝________________.

自查自纠：1．①sin2α＋cos2α＝1　②＝tanα      2．不变　锐角　象限　(3)锐角

3．1＋sin2α　1－sin2α　2　2sin2α

二、题型训练：

题组一

1．若角的终边经过点，则（    ）

A．  B．  C． D．

2．已知角的终边上一点坐标为，则角的最小正值为（　　）

A． B． C． D．

3．已知角的终边过点，则的值是（    ）

A．1           B．            C．           D．－1

4．设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且，则的值是（    ）

A．       B．         C．          D．

5．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边与直线重合，且，又是角终边上一点，且(为坐标原点)，则等于（    ）

A． B． C． D．

6．如图，点A为单位圆上一点， 点A沿单位圆逆时针方向旋转角到点B(-，)则

cos=(    )

A.  B.  C.  D.

7．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则（  ）

A. B. C. D.

8．在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O?为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是（  ）

A． 

B．

C． 

D．

课堂检测：

9．已知角的终边过点，则等于（    ）

A. B. C. D.

10．已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（   ）

A. B. C. D.

11．设函数，若角的终边经过，则的值为（    ）

A． B．1 C．2 D．4

12．已知角的终边经过点,其中,则等于（    ）

A. B. C. D.

13．已知角的终边过点，且，则的值为（   ）

A． B． C． D．

14．如图，在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，终边分别是射线OA和射线OB．射线OA，OC与单位圆的交点分别为，.若，则的值是（ ）

A.           B.     C.            D.

15．如图，角为始边，终边与单位圆O分别交于点A，B，则（   ）

A. 

B. 

C. 

D.

题组二：

16．已知是第二象限角，，则（    ）

A．         B．       C．        D．

17．已知是第二象限角，，则（      ）

A．         B．         C．         D．

18．已知角的终边经过点，则（    ）

A．3 B． C． D．-3

19．已知=2．则的值是______________．

20．已知，则等于（    ）

A．          B．          C．          D．

21．已知角的终边位于直线上，则为（     ）

A. B. C. D.

22．已知,则的值为      ．

课堂检测：

23．若，则=          ．

24．已知，则=(  )

A． B． C． D．

25 ．已知直线的倾斜角为，则（  ）

A. B. C. D.

26．函数（，且）的图象恒过定点，且点在角的终边上，则（  ）

A． B． C． D．

27．若，则的值为（    ）

A. B.-1 C. D.1

题组三：

33．己知，且满足，则等于(     )

A．           B．           C．              D．  

28．已知，且，则 （    ）

A． B． C． D．

29．已知，则（    ）

A. B. C. D.

30．已知为锐角，且，则（    ）

A. B. C.2 D.

31．若，则_______．

32．已知，，则（   ）

A. B. C. D.

28．已知是关于的方程的两个根，则=          ．

课堂检测：

33．已知，则（    ）．

A． B． C． D．

34．已知，则（    ）

A． B． C． D．

35．已知，则值是________.

36．已知，则           ．

37．已知，则(    )

A. B. C. D.

题组四：

38．求的值是 （    ）

A． B． C． D．

39．的值等于（    ）

A．      B．    C．        D．

40．若，则（     ）

A． B． C． D．

41．若，是第三象限的角，则（     ）

A．               B．            C．              D．

42．若，则（    ）  

A．              B．              C．             D．

43．已知，则的值构成的集合是（   ）

A． B． C． D．

44．若，则的值是________

45．已知，则＝_____________．

46．已知，则的值是________．

47．已知，则（    ）

A. B. C. D.

48．已知，则的值为______.

49．已知，则 的值是_____.

课堂检测：

50．计算       。

A． B． C． D．

52．若，则      ．

53．已知角终边上有一点，则____________.

54．角的终边在直线上，则（  ）

A. B. C. D.

55．已知，则____．

56．已知，则的值是________.

三、课外作业：

1．的值为（   ）

A. B. C. D.

2．，则（  ）

A． B． C． D．

3．已知是实数，是实数，则的值为(      )

A. B. C.0 D.

4．若点P（sin，cos）在角α的终边上，则sin2α的值为(  )

A． B． C． D．

5．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点，则（   ）

A.         B.      C. D.

6．已知，则__________．

7．若 ,则_______

8．已知， ，则的值为__________．

9．已知，则的值为（  ）

A．                  B．               C．           D．

10．已知角α的终边上有一点P（1,3），则  的值为（    ）

A、−       B、−        C、−             D、−4

11．已知，则的值是（  ）

A. B. C. D.

12．已知，则等于（   ）

A． B． C． D．

13．已知，则（    ）

A. B. C. D.

14．如图点A为单位圆上一点，，点A沿单位圆逆时针方向旋转角到点B ，则(  )

A．  B．  C． D．

15．如图直角坐标系中，角、角的终边分别交单位圆于、两点，若点的纵坐标为，且满足，则的值(    )

A. B. C. D.