一轮复习专题4.4 解三角形（原卷版）教案

这是一份一轮复习专题4.4 解三角形（原卷版）教案，共13页。教案主要包含了必备知识，题型训练，课后练习等内容，欢迎下载使用。

4.4 解三角形
一、必备知识：
1．正弦定理
(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 ．
其中R是三角形外接圆的半径．注：结合成比例定理有.
(2)正弦定理的其他形式：
①a＝2RsinA，b＝____________，c＝____________；
②sinA＝，sinB＝ ，sinC＝ ；
③a∶b∶c＝______________________.
2．余弦定理
(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝ ，b2＝ ，c2＝ .
若令C＝90°，则c2＝______________，即为勾股定理．
(2)余弦定理的推论：
cosA＝ ，cosB＝ ，cosC＝ _.
若C为锐角，则cosC>0，即a2＋b2______c2；若C为钝角，则cosC<0，即a2＋b2______c2.
故由a2＋b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角．
(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，
余弦定理亦可以写成sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA，类似地，
sin2B＝ ；sin2C＝ _.
注意隐含条件A＋B＋C＝π.
3．解三角形的类型
(1)已知三角形的任意两个角与一边，用____________定理，只有一解．
(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用__________定理，可能有__________________．
如在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如表：




A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsinA
bsinA a≥b
a>b
解的个数
①　　　　
②　　　　
③　　　　
④
(3)已知三边，用____________定理．有解时，只有一解．
(4)已知两边及夹角，用____________定理，必有一解．
4．三角形中的常用公式及变式
(1)三角形面积公式S△＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ．其中R，r分别为三角形外接圆、内切圆半径．
(2)A＋B＋C＝π，则A＝__________，＝__________，从而
sinA＝____________，cosA＝____________，tanA＝____________；
sin＝__________，cos＝__________，tan＝__________.
tanA＋tanB＋tanC＝____________.
(3)若三角形三边a，b，c成等差数列，则2b＝____________⇔2sinB＝____________⇔2sin＝cos⇔2cos＝cos⇔tantan＝.
(4)在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB，b＝ ，c＝ .
(此定理称作“射影定理”，亦称第一余弦定理)
自查自纠：
1．(1)＝＝＝2R (2)①2RsinB　2RsinC　②　 ③sinA∶sinB∶sinC
2．(1)b2＋c2－2bccosA　c2＋a2－2cacosB a2＋b2－2abcosC　a2＋b2
(2)　　　>　<
(3)互化　sin2C＋sin2A－2sinCsinAcosB sin2A＋sin2B－2sinAsinBcosC
3．(1)正弦　(2)正弦　一解、两解或无解　①一解 ②两解　③一解　④一解　(3)余弦　(4)余弦
4．(1)absinC　bcsinA　acsinB　　(a＋b＋c)r
(2)π－(B＋C)　－　sin(B＋C)　－cos(B＋C) －tan(B＋C)　cos　sin　 tanAtanBtanC　(3)a＋c　sinA＋sinC (4)acosC＋ccosA　acosB＋bcosA

二、题型训练：
热身训练：
1．设、、为的三边长, 若，且，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．已知△ABC中，，则（ ）
A． B． C． D．
3．△ABC中，A＝，BC＝ ，则△ABC 的外接圆面积为（ ）
A、 B、2 C、3 D、4
4．在中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．在中，已知，则此三角形的最大内角的度数等于__________．
题组一：
6．已知中，，则的面积为（ ）
A．9 B．18 C． D．
7．在中，，，，则的值为（ ）
A. B. C. 或 D. 不存在
8．在中，，则的面积等于（ ）
A． B．或 C． D．或
9．在中，角的对边分别是，已知，则，则的面
积为（ ）
A． B． C． D．
10．钝角三角形的面积是，则（ ）
A．5 B． C．2 D．1
11．在中，角所对的边分别为．若，的面积，则的值为_____________．
课堂检测：
12．在中，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
13．在中，设角所对的边分别为，若，，，则 ．
14．在中，，，，则等于（ ）
A． B． C．或 D．2
15．在中，角所对的边分别为，若，则____________．
16．在中，分别是角的对边，且,，则的面积等于（ ）
A. B. C. D.10
17．设的内角的对边分别为，且，则____．
18．在锐角中，，则（ ）
A． B． C． D．
19．在中，，，其面积为，则等于（ ）
A． B． C． D．
题组二：
20．已知中，分别是角所对的边，若，则角的大小为（ ）
A． B． C． D．
21．在中，角、、所对的边长分别为，，，若，且，则的值为（ ）
A．5 B．6 C． D．
22．在中，角，，所对的边分别为，，，且，，成等差数列，则角的大小是_________．
23．在中，内角所对应的边分别为，若，且，则的面积为（ ）
A. B． C． D．
24．已知在中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．2
25．ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，若sinB=，cosB=，则a+c的值为 ．
26．已知的内角所对应的边分别为，且面积为6，周长为12，，则边为（ ）
A． B． C． D．
27．在锐角中，角的对边分别是，若，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
课堂检测：
28．锐角中，角、所对的边长分别为、，若，则角等于（ ）
A． B． C． D．
29．设在的内角的对边分别为，且满足，则_____．
30．已知的三边满足，则角=__________．
31．在中，角的对边分别为，若，则_______________
33．在中，分别为的对边，如果成等差数列，，的面积为，那么（ ）
A． B． C． D．
34．在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，，则____________.
题组三：
35．在中，若，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
36．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人能（ ）
A．不能作出这样的三角形 B．作出一个锐角三角形 C．作出一个直角三角形 D．作出一个钝角三角形
37．在中，，那么一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
38．在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
39．的三个内角为，若关于的方程有一根为1， 则一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
40．若（a+b+c）（b+c-a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，那么是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C.等腰三角形 D．等腰直角三角形
41．在中，为锐角，，则为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
课堂检测：
42．在△ABC中，若，则△ABC的形状是( ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.无法确定
43．在△ABC中，，则△ABC的形状是（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形
44．在中，分别为角所对的边，若，则此三角形一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
45．设为三角形三边长，，若，则三角形的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
题组四：
46．已知的三个内角、、所对的边分别为、、．若，则
面积的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
47．在中，角A,B,C所对的边分别是，，则角C的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
48．在中，已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
49．在中，角所对的边分别为，，，则周长的取值范围是______.
50．在△ABC中，角所对的边分别为，已知＝，，则的最大值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．36
51．在中，角、、所对的边长分别为，，，且满足，则的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．3
52．在中，角所对的边分别为．若，且，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
53．已知是的三个内角，且，则的最小值为_______.
54．在中，，，则角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
55．设锐角的三内角、、所对边的边分别为、、,且,则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
56．锐角三角形中，内角的对边分别为，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
57．已知中，，且满足，则的面积的最大值为（ ）
A． B．3 C．2 D．
58．在中，角的对边分别为，已知，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
课堂检测：
59．在中，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
60．在锐角中，角所对的边为，若．且，则的取值范围为_____.
61．已知的内角，，所对的边分别为，，，且,若，则的周长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
63．已知的内角，，所对的边分别为，，，且，若的面积为，则的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
64．在中，内角，，的对边分别是，，，若满足，，则三角形周长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
65．已知的三个内角所对的边分别为，，且，则面积的最大值为______。
66．锐角三角形ABC中，，，则面积的取值范围为______.
67．在中，内角所对的边分别为，已知，当的面积最大时，__________．
68．在中，，，则的最大值为　　
A． B． C． D．
69．在锐角中，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
70．锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=2A，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
71．设的内角，，的对边分别为，，，若，且，则的最小值为______.
72．在中，角，，的对边分别为，，，且，若，的面积记为，则当取得最小值时，______.
题组五：
73．在中，边的垂直平分线交边于，若,则的面积为 .
74．在中，，，为的中点，，则的长为_________．
75．在中，角的对边分別为，若，，点是的重心，且，则的面积为（ ）
A． B． C．或 D．或
76．在斜中，设解 的对边分别为，已知，若是角的角平分线，且，则（ ）
A． B． C． D．

77．在中，角，，所对的边分别为，，，且边上的高为，则的最大值是（ ）
A．8 B．6 C． D．4
78．已知锐角的内角为，，，点为上的一点，，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
79．《益古演段》是我国古代数学家李冶（1192～1279）的一部数学著作.内容主要是已知平面图形的信息，求圆的半径、正方形的边长和周长等等.其中有这样一个问题：如图，已知，点、分别在的两个边上移动，且保持、两点间的距离为，则点、在移动过程中，线段的中点到点的最大距离为__________．

课堂检测：
80．等腰三角形一腰上的高是，这条高与底边的夹角为，则底边长=（ ）
A．2 B． C．3 D．

81．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．
82．在锐角中，，，则中线AD长的取值范围是_______;
83．在中，角，，所对的边分别是，，，若，且边上的高等于，则的周长的取值范围为____

三、课后练习：
1．若锐角的面积为，且，则等于 .
2．在锐角△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为，若，则角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
3．在中，，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知中，内角的对边分别为，若，，则的面积为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
5．中，角的对边分别是，已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，内角的对边分别是，若，，则（ ）
A． B． C． D．
7．在中，已知，如果三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知锐角三角形的边长分别为2，3，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．在中，若则的最大值为_______.
11．在中，角的对边分别为, , ,则角的最大值为_____；
12．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若csinA＝－acosC，则sinA－cos的取值范围是________.
13．已知的三个内角，，的对边分别为，，，若，且，则的取值范围为__________．
14．在中，角，，的对边分别为，，，若，则的外接圆面积为（ ）
A． B． C． D．
15．在中，内角的对边分别为，，，，则（ ）
A． B． C．4 D．