数学八年级上册第5章 几何证明初步综合与测试单元测试同步达标检测题

2021-2022学年青岛新版八年级上册数学《第5章 几何证明初步》单元测试卷

一．选择题

1．下列说法正确的是（　　）

A．相等的角是对顶角 

B．两直线平行，同位角相等 

C．同旁内角互补 

D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行

2．下列命题是真命题的是（　　）

A．同角的补角相等 

B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 

C．两个无理数的和仍是无理数 

D．有公共顶点且相等的两个角是对顶角

3．如图，点E在BC的延长线上，则下列条件中，能判定AD∥BC的是（　　）

A．∠B＝∠DCE B．∠1＝∠2 

C．∠3＝∠4 D．∠D+∠DAB＝180°

4．下列命题中，是真命题的是（　　）

A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 

B．平行于同一直线的两条直线平行 

C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 

D．两点之间垂线段最短

5．已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：

①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾

②因此假设不成立．∴∠B＜90°

③假设在△ABC中，∠B≥90°

④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．

这四个步骤正确的顺序应是（　　）

A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②

6．用反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于90°”时，应先假设（　　）

A．有一个内角小于90° 

B．每一个内角都大于90° 

C．有一个内角小于或等于90° 

D．每一个内角都小于90°

7．下列说法正确的是（　　）

A．用两根钉子固定一根木条，体现数学事实是两点之间线段最短 

B．不相交的两条直线叫做平行线 

C．过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直 

D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行

8．下列说法错误的个数是（　　）

①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；

②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；

③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离；

④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9．小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（　　）

A．15 B．20 C．25 D．30

10．某校七年级、八年级的学生人数相同，九年级的学生人数是八年级学生人数的，已知七年级的男生人数与八年级的女生人数相同，九年级男生人数占三个年级男生人数的，那么三个年级的男生与女生的比为（　　）

A． B． C． D．

二．填空题

11．若a∥b，l∥a，则l与b的位置关系是　    　．

12．如图，若满足条件　      　，则有AB∥CD，理由是　      　．（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）

13．下列关于反比例函数y＝（k≠0）的命题：①若函数图象经过点（2，1），则k＝2；②过函数图象上一点A，作x轴、y轴的垂线，垂足分别为B、C，若△ABC的面积为2，则k＝4；③当k＞0时，y随x的增大而减小；④函数图象关于原点中心对称．其中所有真命题的序号是　   　．

14．写出命题“等边三角形的三个角都是60°”的逆命题　                　．

15．用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，第一步应先假设：　             　．

16．用反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．证明时，可以先假设　           　．

17．如果直线a∥b，b∥c，那么直线a与c的位置关系是　    　．

18．如图所示，已知P是直线l外一点，两条直线l1，l2相交于P，且l1∥l，那么l2与l的位置关系是　   　．

19．将100只乒乓球放在n个盒子中，使得每个盒子中的乒乓球的数量都含有数字“8”，如当n＝3时，箱子中的乒乓球的数目可以分别为8，8，84；若当n＝5时，有且只有两个箱子中的乒乓球个数相同，那么各箱子中的乒乓球的个数分别是 　                　．

20．学校广播室要从八年级（2）班选一名广播员，小明、小华和小英普通话都不相上下，并且都争着要去．老师决定用抽签的办法确定，结果三个人都争着先抽，以为第一个抽签的人抽中的可能性大一些； 这时，小华从兜里拿出两枚一元的硬币，并说将两枚硬币同时向上抛出，如果两个都是正面朝上，小明去；如果两个都是反面朝上，小英去；如果两个一正一反，小华自己去．那么，你认为　   　（填“老师”或“小华”）的办法公平合理，理由是　   　．

三．解答题

21．已知m，n为实数且满足条件m+n＝﹣4，m≥3n，判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由．

命题①：点（m，n）必在第三象限．

命题②：动点（m，n）始终在一条射线上．

命题③：有最大值3．

22．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）．

已知：如图，l1∥l2，l1，l2都被l3所截．

求证：∠1+∠2＝180°．

证明：假设∠1+∠2　 　180°．

∵l1∥l2，

∴∠1　 　∠3．

∵∠1+∠2　 　180°，

∴∠3+∠2≠180°，这和　 　矛盾，

∴假设∠1+∠2　 　180°不成立，即∠1+∠2＝180°．

23．探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？

（1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．

①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为　               　；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为　               　；

请选择其中一种情况说明理由．

②由①得出一个真命题（用文字叙述）：　               　．

（2）应用②中的真命题，解决以下问题：

若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．

24．电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷．游戏规则：一个方块下面最多埋一个雷．如果无雷掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块（最多八个）中雷的个数（0常省略不标）．如图（1）中的“3”表示它的周围八个方块中有且只有3个埋有雷，图（2）是张三玩游戏的局部，图中有4个方块已确定是雷（方块上标有旗子），则图（2）第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母）．能够确定一定是雷的有哪些？

25．仿照课本中“证明是无理数”的方法求证：是无理数．

26．如图1，已知AC∥BD，点P是直线AC，BD间的一点，连接AB，AP，BP，过点P作直线MN∥AC．

（1）MN与BD的位置关系是什么，请说明理由；

（2）试说明∠APB＝∠PBD+∠PAC；

（3）如图2，当点P在直线AC上方时，（2）中的三个角的数量关系是否仍然成立？如果成立，试说明理由；如果不成立，试探索它们存在的关系，并说明理由．

27．游戏推理：星期天，小明和叔叔一起玩扑克牌，叔叔想考考小明，便拿出两副牌，一边说一边做：取两副牌，每副牌的排列顺序按头两张是大王、小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色又按1、2、3、…、J、Q、K顺序排列，然后把两副扑克牌叠放在一起，把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层…如此下去，猜想最后一张是哪张牌．小明想了想，又算了算，得出了正确答案，你知道是哪张牌吗？说出理由．

参考答案与试题解析

一．选择题

1．解：A．相等的角不一定是对顶角，故本选项错误；

B．两直线平行，同位角相等，故本选项正确；

C．同旁内角不一定互补，故本选项错误；

D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；

故选：B．

2．解：A、同角的补角相等，是真命题；

B、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，本选项说法是假命题；

C、﹣+＝0，0不是无理数，本选项说法是假命题；

D、有公共顶点且相等的两个角不一定是对顶角，例如，平角的角平分线把平角分为两个直角，这两个直角不是对顶角，

故本选项说法是假命题；

故选：A．

3．解：若∠B＝∠DCE，则AB∥CD，故A选项不合题意；

若∠1＝∠2，则AB∥CD，故B选项不合题意；

若∠3＝∠4，则AD∥BC，故C选项符合题意；

若∠D+∠DAB＝180°，则AB∥CD，故D选项不合题意；

故选：C．

4．解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，本选项说法是假命题；

B、平行于同一直线的两条直线平行，本选项说法是真命题；

C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，本选项说法是假命题；

D、两点之间线段最短，本选项说法是假命题；

故选：B．

5．解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：1、假设在△ABC中，∠B≥90°，

2、由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，

3、∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，

4、因此假设不成立．∴∠B＜90°，

故选：D．

6．解：反证法证明“四边形中至少有一个内角大于或等于90°”时，

假设每一个内角都小于90°，

故选：D．

7．解：A．用两根钉子固定一根木条，体现数学事实是两点确定一条直线，故本选项错误；

B．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故本选项错误；

C．过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项正确；

D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；

故选：C．

8．解：①经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误；

②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故②错误；

③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，故③错误；

④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故④正确；

故选：C．

9．解：设容易题有x道，中档题有y道，难题有z道，

由题意得，，

①×2﹣②得，z﹣x＝20，

所以，难题比容易题多20道．

故选：B．

10．解：设七年级总人数为x，则八年级总人数为x，九年级总人数为x；

设七年级男生人数为a，则女生人数为x﹣a；八年级女生人数为a，男生人数为x﹣a；

设九年级男生人数为b，则女生人数为x﹣b，

∵九年级男生人数占三个年级男生人数的，

∴三个年级男生人数为5b；＝，

∴x＝4b，

∵三个年级女生总人数为x﹣a+a+x﹣b＝×4b﹣b＝，

∴三个年级的男生与女生的比为5b：＝，

故选：D．

二．填空题

11．解：∵a∥b，l∥a，

∴l∥b，

故答案为：l∥b．

12．解：若∠A＝∠3，则同位角相等，两直线平行，

故答案为：∠A＝∠3，同位角相等，两直线平行．（答案不唯一）

13．解：①若函数图象经过点（2，1），

则k＝1×2＝2，①说法是真命题；

②过函数图象上一点A，作x轴、y轴的垂线，垂足分别为B、C，

设点A的坐标为（x，y），

∵△ABC的面积为2，

∴xy＝2，

则k＝xy＝±4，②说法是假命题；

③当k＞0时，在每个象限，y随x的增大而减小，③说法是假命题；

④函数图象关于原点中心对称，④说法是真命题；

故答案为：①④．

14．解：命题“等边三角形的三个角都是60°”的逆命题为：

三个角都是60°的三角形是等边三角形，

故答案为：三个角都是60°的三角形是等边三角形．

15．解：用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，第一步应先假设：两直线平行，同位角不相等，

故答案为：两直线平行，同位角不相等．

16．解：反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．

证明时，可以先假设这两个角所对的边相等，

故答案为：这两个角所对的边相等．

17．解：∵在同一平面内，直线a∥b，直线b∥c，

∴直线c与直线a的位置关系是：a∥c．

故答案为：a∥c．

18．解：P是直线l外一点，两条直线l1，l2相交于P，且l1∥l，那么l2与l的位置关系是平行，因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

故答案为：平行．

19．解：不妨设个位都是8，

当n＝5时，5×8＝40，100﹣40＝60，

则十位数字和为6，

∴各箱子中的乒乓球的个数分别是8，8，18，28，38，

故答案为：8，8，18，28，38（答案不唯一）．

20．解：老师，

因为老师的办法，不管谁先抽均有的机会；

而小华的办法中，有正反，正正，反正，反反4种情况，

小明和小英的机会各占，而小华的机会占＝，

即老师的办法中，三人的机会相等，而小华的办法中，三人机会不等，

故答案为：老师；老师的办法中，三人的机会相等，而小华的办法中，三人机会不等．

三．解答题

21．解：∵m+n＝﹣4，

∴m＝﹣4﹣n，

∴﹣4﹣n≥3n，

解得，n≤﹣1，

∵n＝﹣4﹣m，即﹣4﹣m≤﹣1，

∴m≥﹣3，

当m＝0时，n＝﹣4，符合题意，当（0，﹣4）不在第三象限，命题①是假命题；

动点（m，n）始终在以（﹣3，﹣1）为顶点的一条射线y＝﹣4﹣x上，命题②是真命题；

∵m≥3n，n≤﹣1，

∴≤3，即有最大值3，命题③是真命题．

22．证明：假设∠1+∠2≠180°．

∵l1∥l2，

∴∠1＝∠3．

∵∠1+∠2≠180°，

∴∠3+∠2≠180°，这与平角为180°矛盾，

∴假设∠1+∠2≠180°不成立，即∠1+∠2＝180°．

故答案为：≠；＝；≠；平角为180°；≠．

23．解：（1）①如图1中，∠ABC+∠DEF＝180°．如图2中，∠ABC＝∠DEF，

故答案为：∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC＝∠DEF．

理由：如图1中，

∵BC∥EF，

∴∠DPB＝∠DEF，

∵AB∥DE，

∴∠ABC+∠DPB＝180°，

∴∠ABC+∠DEF＝180°．

如图2中，∵BC∥EF，

∴∠DPC＝∠DEF，

∵AB∥DE，

∴∠ABC＝∠DPC，

∴∠ABC＝∠DEF．

②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．

故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．

（2）设两个角分别为x和2x﹣30°，

由题意x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，

解得x＝30°或x＝70°，

∴这两个角的度数为30°，30°或70°和110°．

24．解：根据图乙中最左边的“1”和最右边的“1”可得如下推断：

由第三行最左边的“1”，可推断它的上方必定是雷．

结合B下方的2推断，可得A，B对应的方格中有一个雷．

同理可得最右边的“4”周围4个方格中有3个雷，中间D，E对应方格中有一个雷．

由于B下方的“2”和第二行最右边的“2”，它们周围的雷已经够数，

∴C对应的方格肯定不是雷．

∴C的下方“2”的左、右上方的方格，即B、D都是雷．

∴B下方的“2”的周围雷已经够数．

∴A对应的方格也不是雷．

同理，E对应的方格也不是雷．

根据F下方的“4”周围有4个雷．

∵E不是雷．

∴F，G对应的方格都是雷．

综上所述，A、C、E对应方格不是雷，B、D、F、G对应方格是雷．

故答案为：B、D、F、G

25．证明：假设是有理数，那么它可以表示成（p与q是互质的两个正整数）．

于是（）2＝（）2＝3，

所以，q2＝3p2．于是q2是3的倍数，所以q也是3的倍数，

从而可设q＝3m，所以（3m）2＝3p2，p2＝3m2，于是可得p也是3的倍数．

这与“p与q是互质的两个正整数”矛盾．

从而可知“是有理数”的假设不成立，

所以，是无理数．

26．解：（1）平行； 理由如下：

∵AC∥BD，MN∥AC，

∴MN∥BD；

（2）∵AC∥BD，MN∥BD，

∴∠PBD＝∠1，∠PAC＝∠2，

∴∠APB＝∠1+∠2＝∠PBD+∠PAC．

（3）答：不成立．

它们的关系是∠APB＝∠PBD﹣∠PAC．

理由是：如图2，过点P作PQ∥AC，

∵AC∥BD，

∴PQ∥AC∥BD，

∴∠PAC＝∠APQ，∠PBD＝∠BPQ，

∴∠APB＝∠BPQ﹣∠APQ＝∠PBD﹣∠PAC．

27．解：按照原来的顺序从前往后，除去第一副牌有54张，第二副牌中大王、小王，后面依次就是13张黑桃、红桃、方块和梅花，

∴88﹣54﹣2﹣2×13＝6（张），

∴最后一张牌是方块6．