4.2 利用导数求单调性（精讲+精练+原卷+解析）

这是一份4.2 利用导数求单调性（精讲+精练+原卷+解析），共32页。主要包含了函数的单调性，单调函数求参数，非单调函数求参数等内容，欢迎下载使用。


常见考法
考点一 函数的单调性（不含参数）
【例1】（1）（2021·武威第六中学高三）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
（2）（2021·广东）函数的一个单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】（1）C（2）A
【解析】（1）因为函数，所以，
由，解得，所以函数的单调递减区间是，故选：C
（2），该函数的定义域为，
，
，可得，
令，可得，即，解得.
所以，函数的单调递减区间为.
当时，函数的一个单调递减区间为，
，
对任意的，，，，
故函数的一个单调递减区间为.
故选：A.
【一隅三反】
1．（2020·石嘴山市第三中学）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函数的定义域是，，令，解得：，
故函数在递减，故选：C．
2．（2021·江西）在内的单调性是（ ）
A．增加的
B．减少的
C．在内是减少的，在内是增加的
D．在内是增加的，在内是减少的
【答案】C
【解析】由题意，函数的定义为，且，
令，即，可得；
令，即，可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
故选：C.
3．（2020·福建）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题可知，，的定义域为，
则，
令，则，即，得：，
又，解得：，
所以的单调递减区间为.
故选：B.
4．（2021·江苏）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为，
由，解得，所以函数的单调递减区间是，故选：D
考点二 利用单调性比较大小、解不等式
【例2】（1）（2021·福建师大附中）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
（2）（2021·海南海口市）已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】（1）A（2）A
【解析】（1）令，则
∵当时，，∴，
∴在区间上单调递减，
又，∴，即.故选：A．
（2）由得
由，即，解得，，得
所以在上单调递减，在上单调递增.
由，
又，，函数的图像如图.
所以不等式的解集是故选：A
【一隅三反】
1．（2021·昆明市·云南师大附中高三）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，，则恒成立，∴函数在上单调递增，又，，，∵，，∴，
故选：D.
2．（2021·四川凉山彝族自治州·高三三模）已知函数，记，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，，
由对数的单调性可知：，
所以，且，
因为函数，所以函数为偶函数，
从而，
因为时，，所以，
则当时，，所以在上单调递增；
则当时，，所以在上单调递增；
因为，
所以，即；故选：D.
3．（2021·浙江高三其他模拟）已知实数，且，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，，得，，，因此，，.
设函数，则，，，
，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，又，
所以，
故选：A.
4．（2021·山西高三）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，是偶函数，
，设，则，
所以是增函数，时，，即时，，
所以在上，是增函数．
又是偶函数，所以不等式化为，所以，解得或．故选：A．
考点三 单调函数求参数
【例3】(1)（2021·六安市）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
（2）（2021·湖北高三月考）若函数是上的增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】（1）A（2）B
【解析】（1）由已知，
在上递减，则在上成立，
在上恒成立，
设，则在上恒成立，所以在上递增，
，所以．故选：A．
（2）因为，
所以
因为在上的增函数，所以在R上恒成立，
所以，即，
所以，解得，故选：B
【一隅三反】
1．（2021·全国高三专题练习）已知在单调递减，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】在单调递减，在恒成立，
又是开口向上的二次函数，为使在恒成立，
只需，即，则.
故答案为：.
2．（2021·全国高三专题练习）已知函数(e为自然对数的底数)是上的增函数，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】是上的增函数，
在上恒成立，即，
令，
当时，恒成立，符合题意；
当时，如图，不符合题意；
当时，令，则，
令，解得，
则当，，单调递减，
当，，单调递增，
，解得，
综上，的取值范围是.
故答案为：.
3．（2021·陕西宝鸡市·高三月考）若函数在区间是增函数，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】由知，,
时，是增函数，，
又，∴在上恒成立，
而，．
故答案为：．
4．（2021安徽高三月考）设函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数在上单调递减，
当时，
，
在时恒成立，
即，，
又在单调递减，
故，
故．
故选：B．
5．（2021·陕西西安）已知函数，若函数在区间上是单调减函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意知：在上，恒成立，
∴，即由不等式组可得如下可行域，
∴为可行域内的点到原点的距离的平方，其最小值为O到距离的平方，
故，故选：C
考点四 非单调函数求参数
【例4】（1）（2020·北京北师大二附中）已知函数在上有增区间，则a的取值范围是_______.
（2）．（2021·全国高三专题练习）若函数在区间内不单调，则k的取值范围是___．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由题得，
因为函数在上有增区间，
所以存在使得成立，即成立，
因为时，，所以.故答案为：
（2）因为，且，
当时，恒成立，所以在上单调递增，不符合；
当时，恒成立，所以在上单调递减，不符合；
当时，若，则，若，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意，
综上可知：.故答案为：.
【一隅三反】
1．（2021·海南）函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，
由题意可知，存在，使得，即存在，使得，
二次函数，当且仅当时，等号成立，则.故选：B.
2．（2021·江苏苏州市）已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵函数在区间上存在单调增区间，
∴函数在区间上存在子区间使得不等式成立，
，
设，则或，即或，
得或，则；故选：A．
3．（2021·全国单元测试）函数在区间[-1，2]上不单调，则实数a的取值范围是（ ）
A．(-∞，-3]B．(-3，1)
C．[1，+∞)D．(-∞，-3]∪[1，+∞)
【答案】B
【解析】，
如果函数在区间[-1，2]上单调，
那么a-1≥0或，即，解得a≥1或a≤-3，
所以当函数在区间[-1，2]上不单调时，.故选：B
4．（2021·广西河池市）已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，
①当时函数单调递增，不合题意；
②当时，函数的极值点为，若函数在区间不单调，必有，解得.
故选：B．
考点五 单调性与图像问题
【例5】（2021·天津高三一模）函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，则是偶函数，图象关于轴对称，排除C，
当且，，排除A，
当时，，则，
∵，，，则有两个不同的零点，
即当时，函数至少有三个单调区间，排除B，故选：D．
【一隅三反】
1．（2021·全国高三专题练习）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由图可知，函数在上单调递减，所以在上恒成立，排除选项B和D；
函数在上先递减后递增再递减，所以在上应为负、正、负的趋势，即选项A错误，C正确；
故选：C．
2．（2021·湖南长沙市·长郡中学高三月考）设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x）的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有选项符合，故本题选A.
3．（2021·全国高三专题练习）设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．
4．（2021·浙江高三专题练习） 函数的图象如图所示，则函数的图象可能是
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．
5．（2021·平罗中学高三期中）的导函数的图象如下图所示，则函数 的图象最有可能是图中的（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由的图象可知：
当时，，
当时，，
所以在和单调递减，在单调递增，
可排除B、C、D．
故选：A．
6．（2020·浙江湖州市·高三月考）已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由的图象可知：当或时，函数递减；
当时，，函数递增；故选：B