第13讲-导数的概念及运算（解析版）学案

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第13讲-导数的概念及运算
一、 考情分析
1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；
2.体会极限思想；
3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；
4.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数；
5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数；
6.会使用导数公式表.
二、 知识梳理
1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
(1)定义：函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率＝l，通常称为f(x)在点x0处的导数，并记作f′(x0)，即 ＝f′(x0).
(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率等于f′(x0).
2.函数y＝f(x)的导函数
如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导.这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x).于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数，记为f′(x)(或yx′、y′).
3.导数公式表
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝ax(a＞0)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ln x
f′(x)＝
f(x)＝logax (a＞0，a≠1)
f′(x)＝
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0).
5.复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.
[微点提醒]
1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0.
2.′＝－.
3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.
4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
三、 经典例题
考点一　导数的运算
【例1－1】 分别求下列函数的导数：
(1)y＝exln x；
(2)y＝x；
(3)f(x)＝ln .
【解析】(1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋＝ex.
(2)因为y＝x3＋1＋，所以y′＝3x2－.
(3)因为y＝ln ＝ln，
所以y′＝··(1＋2x)′＝.
【例1－2】 (2019·天津河西区调研)已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln ，则f(1)＝(　　)
A.－e B.2 C.－2 D.e
【解析】由已知得f′(x)＝2f′(1)－，令x＝1得f′(1)＝2f′(1)－1，解得f′(1)＝1，则f(1)＝2f′(1)＝2.
答案　B
规律方法　1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
2.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
3.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
考点二　导数的几何意义　
【例2－1】（2020·广西壮族自治区钦州一中高二月考（理））已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】
，
将代入得，故选D．
【例2－2】 （2020·梁河县第一中学高二期中（文））函数的图象存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】函数的图象存在与直线平行的切线，即在上有解.
在上有解，则.
因为，所以，所以的取值范围是.
【例2－3】（2020·江西省新余一中高二月考（文））设曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·x3·x4·…·x2 017＝
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由f(x)＝xn＋1得f′(x)＝(n＋1)xn，切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得xn＝，故x1·x2·x3·x4·…·x2 017＝.选D.
规律方法　1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.
2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
[方法技巧]
1.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.对于复合函数求导，关键在于分清复合关系，适当选取中间变量，然后“由外及内”逐层求导.
2.求曲线的切线方程要注意分清已知点是否是切点.若已知点是切点，则可通过点斜式直接写方程，若已知点不是切点，则需设出切点.
3.处理与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解.
4.求导常见易错点：①公式(xn)′＝nxn－1与(ax)′＝axln a相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：′＝，(cos x)′＝
sin x；③复合函数求导分不清内、外层函数.
5.求切线方程时，把“过点切线”问题误认为“在点切线”问题.
四、 课时作业
1．（2020·蚌埠田家炳中学高二开学考试（理））已知，等于（ ）
A．1 B．-1 C．3 D．
【答案】C
【解析】因为，
所以.
2．（2020·四川省北大附中成都为明学校高二月考（理））曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．45° D．120°
【答案】C
【解析】求导得：
在点处的切线斜率即为导数值1.
所以倾斜角为45°.
3．（2020·通化县综合高级中学高二期中（理））曲线在处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】,当x=0时，y’=2,即切线的斜率为2，通过选项可看出C符合题意
4．（2020·陕西省榆林十二中高二期中（理））在曲线上切线的倾斜角为的点是（ ）
A．（0,0） B．（2,4） C． D．
【答案】D
【解析】依题意，此时，故选.
5．（2020·西宁市海湖中学高二月考（理））设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C．-2 D．2
【答案】A
【解析】由题意得，，
∵在点处的切线与直线垂直，∴，解得，
6．（2020·南昌县莲塘第一中学高二开学考试（文））若曲线在点处的切线与直线平行，则a=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】因为，所以，解得，故选C.
7．（2020·江西省奉新县第一中学高二月考（理））函数在处的切线方程是()
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】求曲线y＝exlnx导函数，可得f′（x）＝exlnx
∴f′（1）＝e，
∵f（1）＝0，∴切点（1，0）．
∴函数f（x）＝exlnx在点（1，f（1））处的切线方程是：y﹣0＝e（x﹣1），
即y＝e（x﹣1）
8．（2020·江西省新余一中高二月考（文））已知方程有且仅有两个不同的实数解，，则以下有关两根关系的结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
方程有且仅有两个不同的实数解，
等价于有且仅有两个不同的实数解，
即，有且仅有两个不同的交点（原点除外）.
画图，的图象.
由图可知，与相切时符合题意，
设，
因为，所以为切点横坐标，且是直线与的交点横坐标，
因为切线过原点，所以切线斜率，
所以，故选A.
9．（2020·江西省新余一中高二月考（文））已知，直线与函数的图象在处相切，设，若在区间[1，2]上，不等式恒成立．则实数m（ ）
A．有最大值 B．有最大值e C．有最小值e D．有最小值
【答案】A
【解析】∵，∴，
∴，又点在直线上，
∴-1=2 +b+，∴b＝﹣1，
∴g（x）＝ex﹣x2+2，g'（x）＝ex﹣2x，g''（x）＝ex﹣2，
当x∈[1，2]时，g''（x）≥g''（1）＝e﹣2＞0，
∴g'（x）在[1，2]上单调递增，
∴g'（x）≥g（1）＝e﹣2＞0，∴g（x）在[1，2]上单调递增，

解得或e≤m≤e+1，
∴m的最大值为e+1，无最小值，
10．（2020·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二期中（理））设函数的导函数为，则图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，所以，
所以函数是奇函数，其图象关于原点成中心对称，而函数为偶函数，其图象关于轴对称，所以选项B，C错误；又因为其图象过原点，所以选项A错误.
11．（2019·福清龙西中学高二期中（理））下列各式正确的是(　 　)
A．(a为常数) B．
C． D．
【答案】C
【解析】由基本的求导公式可得：
(a为常数)； ； ； .
12．（2020·四川省南充市白塔中学高二月考（理））已知函数，则( )
A． B．e C． D．1
【答案】C
【解析】由题得，
所以.
13．（2020·河南省高二月考（理））给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导函数，记，若在D上恒成立，则称在D上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】若，则，
在上，恒有；
若，则，在上，恒有；
若，则，在上，恒有；
若，则.
在上，恒有，故选D.
14．（2020·南城县第二中学高二开学考试（理））求形如的函数的导数，我们常采用以下做法：先两边同取自然对数得：，再两边同时求导得，于是得到：，运用此方法求得函数的一个单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知y′=•（﹣•lnx+）=•，（x＞0）
令y'＞0，得1﹣lnx＞0
∴0＜x＜e
∴原函数的单调增区间为（0，e）
15．（2020·天津耀华中学高二月考）点是曲线上任意一点, 则点到直线的距离的最小值是（　 　）
A．１ B． C．２ D．
【答案】B
【解析】，则，即，
所以，故选B．
16．（2020·南昌市实验中学高二月考）已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，则α的值为
A．1 B．2 C．-1 D．-2
【答案】B
【解析】设切点P(x0,y0)，则，又5y'|x=x0=1x0+a=1
4x0+a=14y0=0,x0=-14a=2，故答案选B。
17．（2020·榆林市第二中学高三月考（理））设函数f(x)的导函数为，f(0)=1，且,则的解集是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】构造函数，，故.
，故为常函数.
故，，，
，即，解得.
18．（2019·山西省山西实验中学高三月考）已知函数，其中为函数的导数，则（ ）
A．2 B．2019 C．2018 D．0
【答案】A
【解析】
令，则有
因为的定义域是R，
所以是奇函数，所以是偶函数
所以，
所以

19．（2019·全国高二课时练习）定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为,所以,.
由，得.
令 ，（），则，
所以函数在上为增函数，
则，即，所以，
即，故答案为A.
20．（2020·天津耀华中学高二月考）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
【答案】
【解析】对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.
21．（2018·全国高二单元测试）曲线在点处的切线方程为__________.
【答案】
【解析】由题得
因为f(2)=6,所以切点为（2,6），
所以切线方程为.
故答案为.
22．（2020·广东省高三其他（文））设函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则______．
【答案】
【解析】.
曲线在点处的切线与直线平行，
，即.
23．（2020·横峰中学高二开学考试（文））已知,则＝_________.
【答案】1
【解析】由题意可得 ： ，
令可得： ，
则： .
24．（2020·重庆高三其他（理））若曲线上存在两条切线相互垂直，则实数a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】求导得，
曲线上存在两条切线相互垂直，
存在使得，
不妨设，
，
，即.
25．（2018·营口市第二高级中学高二月考（文））已知函数，则___________.
【答案】
【解析】．
26．（2020·大通回族土族自治县第一完全中学高二期中（理））求下列函数的导数.
（1）；
（2）；
【解析】（1） ．
（2）因为 ，所以
．
27．（2020·攀枝花市第十五中学校高二期中（文））设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.
【解析】（1）将点的坐标代入直线的方程得，
，则，直线的斜率为，
于是，解得，故；
（2）设点为曲线上任意一点，由（1）知，
，又，
所以，曲线在点的切线方程为，
即，
令，得，从而得出切线与轴的交点坐标为，
联立，解得，
从而切线与直线的交点坐标为.
所以，曲线在点处的切线与直线、所围成的三角形的面积为
故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为定值且此定值为.
28．（2020·临泉县第二中学高三月考（理））已知函数，（为自然对数的底数，）.
（1）判断曲线在点处的切线与曲线的公共点个数；
（2）当时，若函数有两个零点，求的取值范围.
【解析】（1）∵，
∴，
∴.
又，
∴曲线在点处的切线方程为．
由得.
故，
所以当，即或时，切线与曲线有两个公共点；
当，即或时，切线与曲线有一个公共点；
当，即时，切线与曲线没有公共点.
（2）由题意得，
由，得，
设，
则.
又，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增．
所以.
又，，
结合函数图象可得，当时，方程有两个不同的实数根，
故当时，函数有两个零点．