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第15讲-导数在不等式中的应用（解析版）学案

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这是一份第15讲-导数在不等式中的应用（解析版）学案，共22页。学案主要包含了例3－1，例3－2等内容，欢迎下载使用。

第15讲-导数在不等式中的应用
一、经典例题
考点一　构造函数证明不等式
【例1】已知函数f(x)＝1－，g(x)＝x－ln x.
(1)证明：g(x)≥1；
(2)证明：(x－ln x)f(x)>1－.
证明　(1)由题意得g′(x)＝(x>0)，
当01时，g′(x)>0，
即g(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数.
所以g(x)≥g(1)＝1，得证.
(2)由f(x)＝1－，得f′(x)＝，
所以当02时，f′(x)>0，
即f(x)在(0，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，
所以f(x)≥f(2)＝1－(当且仅当x＝2时取等号).①
又由(1)知x－ln x≥1(当且仅当x＝1时取等号)，②
且①②等号不同时取得，
所以(x－ln x)f(x)>1－.
规律方法　1.证明不等式的基本方法：
(1)利用单调性：若f(x)在[a，b]上是增函数，则①∀x∈[a，b]，有f(a)≤f(x)≤f(b)，②∀x1，x2∈[a，b]，且x1 (2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则∀x∈D，有f(x)≤M(或f(x)≥m).
2.证明f(x) 考点二　利用“若f(x)min>g(x)max，则f(x)>g(x)”证明不等式
【例2】已知函数f(x)＝xln x－ax.
(1)当a＝－1时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的最值；
(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x＋1>－成立.
(1)解　函数f(x)＝xln x－ax的定义域为(0，＋∞).
当a＝－1时，f(x)＝xln x＋x，f′(x)＝ln x＋2.
由f′(x)＝0，得x＝.
当x∈时，f′(x)<0；当x>时，f′(x)>0.
所以f(x)在上单调递减，在上单调递增.
因此f(x)在x＝处取得最小值，即f(x)min＝f＝－，但f(x)在(0，＋∞)上无最大值.
(2)证明　当x>0时，ln x＋1>－等价于x(ln x＋1)>－.
由(1)知a＝－1时，f(x)＝xln x＋x的最小值是－，当且仅当x＝时取等号.
设G(x)＝－，x∈(0，＋∞)，
则G′(x)＝，易知G(x)max＝G(1)＝－，
当且仅当x＝1时取到，从而可知对一切x∈(0，＋∞)，都有f(x)>G(x)，即ln x＋1>－.
规律方法　1.在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可考虑转化为两个函数的最值问题.
2.在证明过程中，等价转化是关键，此处f(x)min>g(x)max恒成立.从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”.
考点三　不等式恒成立或有解问题　
角度1　不等式恒成立求参数
【例3－1】已知函数f(x)＝(x≠0).
(1)判断函数f(x)在区间上的单调性；
(2)若f(x) 解　(1)f′(x)＝，
令g(x)＝xcos x－sin x，x∈，则g′(x)＝－xsin x，
显然，当x∈时，g′(x)＝－xsin x<0，即函数g(x)在区间上单调递减，且g(0)＝0.
从而g(x)在区间上恒小于零，
所以f′(x)在区间上恒小于零，
所以函数f(x)在区间上单调递减.
(2)不等式f(x) 令φ(x)＝sin x－ax，x∈，
则φ′(x)＝cos x－a，且φ(0)＝0.
当a≥1时，在区间上φ′(x)<0，即函数φ(x)单调递减，
所以φ(x)<φ(0)＝0，故sin x－ax<0恒成立.
当0 当x∈(0，x0)时，φ′(x)>0，故φ(x)在区间(0，x0)上单调递增，且φ(0)＝0，
从而φ(x)在区间(0，x0)上大于零，这与sin x－ax<0恒成立相矛盾.
当a≤0时，在区间上φ′(x)>0，即函数φ(x)单调递增，且φ(0)＝0，得sin x－ax>0恒成立，这与sin x－ax<0恒成立相矛盾.
故实数a的最小值为1.
规律方法　1.破解此类题需“一形一分类”，“一形”是指会结合函数的图象，对函数进行求导，然后判断其极值，从而得到含有参数的方程组，解方程组，即可求出参数的值；“一分类”是指对不等式恒成立问题，常需对参数进行分类讨论，求出参数的取值范围.
2.利用导数研究含参数的不等式问题，若能够分离参数，则常将问题转化为形如a≥f(x)(或a≤f(x))的形式，通过求函数y＝f(x)的最值求得参数范围.
角度2　不等式能成立求参数的取值范围
【例3－2】已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋aln x(a∈R).
(1)若f(x)在区间[1，2]上是单调函数，求实数a的取值范围；
(2)函数g(x)＝(1－a)x，若∃x0∈[1，e]使得f(x0)≥g(x0)成立，求实数a的取值范围.
解　(1)f′(x)＝，当导函数f′(x)的零点x＝a落在区间(1，2)内时，函数f(x)在区间[1，2]上就不是单调函数，即a∉(1，2)，
所以实数a的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞).
(2)由题意知，不等式f(x)≥g(x)在区间[1，e]上有解，
即x2－2x＋a(ln x－x)≥0在区间[1，e]上有解.
因为当x∈[1，e]时，ln x≤1≤x(不同时取等号)，x－ln x>0，所以a≤在区间[1，e]上有解.
令h(x)＝，则h′(x)＝.
因为x∈[1，e]，所以x＋2>2≥2ln x，
所以h′(x)≥0，h(x)在[1，e]上单调递增，
所以x∈[1，e]时，h(x)max＝h(e)＝，
所以a≤，
所以实数a的取值范围是.
规律方法　1.含参数的能成立(存在型)问题的解题方法
a≥f(x)在x∈D上能成立，则a≥f(x)min；
a≤f(x)在x∈D上能成立，则a≤f(x)max.
2.含全称、存在量词不等式能成立问题
(1)存在x1∈A，任意x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)max≥g(x)max；(2)任意x1∈A，存在x2∈B，使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)min≥g(x)min.
[方法技巧]
1.证明不等式的关键是构造函数，将问题转化为研究函数的单调性、最值问题.
2.恒(能)成立问题的转化策略.若f(x)在区间D上有最值，则
(1)恒成立：∀x∈D，f(x)>0⇔f(x)min>0；
∀x∈D，f(x)<0⇔f(x)max<0.
(2)能成立：∃x∈D，f(x)>0⇔f(x)max>0；
∃x∈D，f(x)<0⇔f(x)min<0.
3.证明不等式，特别是含两个变量的不等式时，要注意合理的构造函数.
4.恒成立与能成立问题，要注意理解“任意”与“存在”的不同含义，要注意区分转化成的最值问题的异同.
二、课时作业
1．函数f（x）的定义域为，，对任意，，则的解集为（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设，则，所以为减函数，
又，
所以根据单调性可知，即的解集是.
2．下列三个数：，大小顺序正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】构造函数，因为对一切恒成立，
所以函数在上是减函数，从而有，
即，故选A．
3．设函数在R上存在导数，对任意的有，且在上. 若，则实数的范围是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，
则，
故为偶函数，
在，上，，且，
故在，上单调递增，根据偶函数的对称性可知，在上单调递减，
由，可得，
即，
则，
可转化为，
解可得，，
4．若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为关于x的不等式恒成立，
所以恒成立，
令，
，
当时，，当时，，
所以当时，取得最大值2.
又因为，
所以
故实数a的取值范围为.
5．已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则，
定义域为的函数满足，
，函数在上单调递增，
当时，由，知，
当时，显然不等式成立.
当时，则，所以，
整理得，即，
所以，，得，则；
当时，则，所以，
整理得，即，
所以，，得，则.
综上所述，原不等式的解集为.
6．定义在上的函数，则满足的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为为偶函数，且在上恒成立，所以在上单调递增，在上单调递减，且图象关轴对称，则由)得
，解得；故选D.
7．已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（）
A． B． C．（﹣∞，3） D．
【答案】B
【解析】∵，，
∴，
∴，
∵存在，使得，即
∴，
设，
∴
∴，
当时，解得：，
当时，即时，函数单调递增，
当时，即时，函数单调递减，
因为，所以
∴，
8．已知是可导的函数，且对于恒成立，则（）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】构造函数，则，所以，函数为上的减函数.
对于A选项，，，则，，
所以，，，A选项错误；
对于B选项，，则，所以，，B选项错误；
对于C选项，，则，所以，，C选项错误；
对于D选项，，则，所以，，D选项正确.
9．已知函数是定义在上的奇函数.当时，，则不等式的解集为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，，
当，时，，，即函数单调递增．
又，时，，
是定义在，上的奇函数，是定义在，上的偶函数．
不等式，
即，即，
，①，
又，故②，
由①②得不等式的解集是．
10．关于函数，有下述四个结论：
①是周期函数．
②在上单调递增．
③的值域为．
④若函数有且仅有两个不同的零点，则．
其中所有正确结论的序号是（）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】C
【解析】当时，，
所以，
令得：或，
所以当时，，递增，
当时，，递减，
且，
则的图象如图所示：

由图可知：
不是周期函数，故①错误；
在上单调递增，故②正确；
的值域为，故③错误；
若函数有且仅有两个不同的零点，即函数与函数有两个交点，所以由图可知：，故④正确.
综上，②④正确.
11．已知函数，且，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】构造函数，则函数的定义域为.
当时，，，
函数在区间上单调递增，则，
所以，函数在区间上单调递减；
当时，，则，
所以，函数在区间上单调递减.
，
所以，函数在定义域上单调递减.
由，得，即，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
12．如果关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时,不等式成立.
当时,不等式在上恒成立等价于恒成立.
令则.
又,令，解得
所以在上单调递增,在上单调递减, 单调递增.
又因为.
所以.
所以.
13．函数，若存在唯一整数使得，则的取值范围是（）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
令，则，
当；当，
在单调递增，在单调递减，且，
如图所示：

恒过定点，且，，
，，
存在唯一整数使得，
当时，存在唯一的整数使得命题成立，
14．若对于任意的，都有，则的最大值为（）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】由已知有，两边同时除以，化简有，而，构造函数，令令，所以函数在上为增函数，在上为减函数，由对于恒成立，即在为增函数，则，故的最大值为1，选C.
15．已知为常数，函数有两个极值点，（），则（）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】因为，
令，由题意可得有两个解，
即函数有且只有两个零点，即在上的唯一极值不等于0，
又由，
①当时，单调递增，因此至多有一个零点，不符合题意；
②当时，令，解得，
因为，，函数单调递增；，，函数单调递减，
所以是函数的极大值点，则，即，
所以，所以，即，
故当时，的两个根，且，
又，所以，
从而可知函数在区间上递减，在区间上递增，在区间上递减，
所以，故选C．
16．对于任意正实数，都有，则实数的取值范围为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，则，设，，，
则，，
恒成立，导函数单调递减，
故时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.
故，故，故.
17．（多选题）已知是可导的函数，且，对于恒成立，则下列不等关系正确的是（）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】AC
【解析】设，
所以，
因为，
所以，
所以在R上是减函数，
所以，，，
即，，，
18．（多选题）若满足，对任意正实数，下面不等式恒成立的是（）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】设，，
因为，
所以，在R上是增函数，
因为是正实数，所以，所以，因为，大小不确定，故A错误,
因为，所以，即，故B正确.
因为，所以，因为，大小不确定.故C错误.
，因为，所以，故D正确.
19．（多选题）设定义在上的函数满足，且当时，.己知存在，且为函数(为自然对数的底数)的一个零点，则实数的取值可能是（）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】令函数，因为，
，
为奇函数，
当时，，
在上单调递减，
在上单调递减．
存在，
得，，即，
；，
为函数的一个零点；
当时，，
函数在时单调递减，
由选项知，取，
又，
要使在时有一个零点，
只需使，
解得，
的取值范围为，
20．定义在上的函数满足，，则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】由，
设，则.
故函数在上单调递增，
又，故的解集为，
即的解集为.
21．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）+xf'（x）＞0，且f（3）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集是_____．
【答案】（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
【解析】令，
当x＞0时，
∴x∈（0，+∞）上，函数单调递增．
，∴．
∵函数是定义在R上的奇函数，
∴函数是定义在R上的偶函数．
由，即，
∴|x|＞3，
解得x＞3，或x＜﹣3．
∴不等式的解集是．
故答案为：．
22．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，，则f(x)＞2x＋4的解集为____．
【答案】(－1，＋∞)
【解析】构造函数F(x)=f(x)-2x,,所以即求F(x)>4=F(-1)的解集，而F（x）在R上是单调递增函数，所以x>-1,填．
23．设函数，.
（1）当时，判断函数的单调性；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，
所以.
令，，由，可得.
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，即，
，则在是增函数；
（2）解：设，
所以.
令，则.
①当时，，
在上单调递增，.
，在上单调递增，
则，结论成立；
②当时，由，可得，
当时，，单调递减，又，
时，恒成立，即.
时，单调递减，
此时，结论不成立.
综上，即为所求.
24．已知函数.
（1）若函数在上恰有两个零点，求实数的取值范围.
（2）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值.
【解析】（1）因为，∴函数，
令，则，
令得，，列表得：

1

2

0

0

单调递减
极小值
单调递增

∴当时，的极小值为，又，.
∵函数在上恰有两个零点，
∴即，
解得.
（2），
∴，
令得，
∵，是的极值点，∴，，∴，
∵，∴解得：，.
∴，
.
令，
则，∴在上单调递减；
∴当时，，
根据恒成立，可得，
∴的最大值为.
25．已知函数，，曲线在点处的切线与轴垂直；
（1）求的值；
（2）求证：
【解析】（1）曲线在点处的切线与轴垂直，该切线的斜率

（2）由（1）可得只需证
设

令，得
当时，，当时，
即函数在上单调递减，在上单调递增