第17讲-角与弧度制、三角函数的概念（解析版）学案

第17讲-角与弧度制、三角函数的概念

一、                       考情分析

1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性；

2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．

二、                       知识梳理

1.角的概念的推广

(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.

(2)分类

(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.

2.弧度制的定义和公式

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.

(2)公式

3.任意角的三角函数

(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0).

(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.

[微点提醒]

1.若α∈，则tan α>α>sin α.

2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.

3.象限角的集合

4.轴线角的集合

三、                       经典例题

考点一　角的概念及其集合表示

【例1-1】 (1)若角α是第二象限角，则是(　　)

A.第一象限角    B.第二象限角

C.第一或第三象限角   D.第二或第四象限角

(2)终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________.

【解析】　(1)∵α是第二象限角，∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，

∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.

当k为偶数时，是第一象限角；

当k为奇数时，是第三象限角.

(2)如图，在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是，在[0，2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个：，π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－π，－π，故满足条件的角α构成的集合为.

规律方法　1.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.

2.若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2kπ＋α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断.

考点二　弧度制及其应用　

【例2-1】 (经典母题)已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.若α＝，R＝10 cm，求扇形的面积.

【解析】　由已知得α＝，R＝10，

∴S扇形＝α·R2＝··102＝(cm2).

【迁移探究1】 若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.

【解析】　l＝α·R＝×10＝(cm)，

S弓形＝S扇形－S三角形

＝·l·R－·R2·sin

＝··10－·102·

＝(cm2).

【迁移探究2】 若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

【解析】　由已知得，l＋2R＝20，即l＝20－2R(0<R<10).

所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，

所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2 rad.

规律方法　1.应用弧度制解决问题的方法：

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；

(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.

2.求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.

考点三　三角函数的概念

【例3-1】 (1)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P，则sin(π＋α)＝(　　)

A.－   B.－   C.   D.

(2)若sin αtan α<0，且<0，则角α是(　　)

A.第一象限角    B.第二象限角

C.第三象限角    D.第四象限角

【解析】　(1)易知sin ＝，cos ＝，则P.

由三角函数的定义可得sin α＝＝，

则sin(π＋α)＝－sin α＝－.

(2)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角；由<0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角.综上可知，α为第三象限角.

规律方法　1.三角函数定义的应用

(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.

(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.

2.三角函数线的应用问题的求解思路

确定单位圆与角的终边的交点，作出所需要的三角函数线，然后求解.

 [方法技巧]

1.在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点.|OP|＝r一定是正值.

2.在解决简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是体现数学直观想象核心素养.

3.注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二、第三类是区间角.

4.相等的角终边相同，但终边相同的角不一定相等.

5.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.

四、                       课时作业

1．（2020·湖南省高一月考）终边落在直线上的角的集合为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】设终边落在直线上的角的集合为P：

则，

，

2．（2019·呼玛县高级中学高一月考）若扇形的面积为、半径为1，则扇形的圆心角为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设扇形的圆心角为α，则∵扇形的面积为，半径为1，
∴

3．（2019·黑龙江省大庆四中高一月考（文））已知扇形圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

扇形弧长

4．（2020·上海高一课时练习）若是第二象限角，则是（    ）

A．第一象限角 B．第一象限角或第二象限角

C．第一象限角或第三象限角 D．第一象限角或第四象限角

【答案】C

【解析】由题若是第二象限角，，

，

当k为偶数时，终边在第一象限，当k为奇数时，终边在第三象限，

则是第一象限角或第三象限角.

5．（2020·上海高一课时练习）与角终边相同的角的集合是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】，与角终边相同的角的集合是，

6．（2020·上海高一课时练习）设集合为锐角，为第一象限角，为小于90°的角，为小于90的正角，则下列等式中成立的是(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意，集合为锐角，

集合为第一象限角，

集合为小于90°的角，

集合为小于90的正角，

所以.

7．（2020·上海高一课时练习）若是第三象限角，则的终边所在的象限是（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】若是第三象限角，则，

所以，

所以的终边所在的象限是第四象限.

8．（2020·全国高三其他（文））在平面直角坐标系中，已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，

所以，

因此.

9．（2020·渭南市尚德中学高一月考）已知点在第二象限，则角在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【解析】点在第二象限，

则 ，所以角在第三象限.

10．（2020·渭南市尚德中学高一月考）已知角的终边过点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由角的终边过点，

所以.

11．（2020·武功县普集高级中学高一月考）设角的终边经过点，那么(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据三角函数定义知： ，所以原式，答案为：C.

12．（2019·福建省高一期末）已知在扇形AOB中，，弦AB的长为2，则该扇形的周长为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如图所示，因为，且，所以，即，

由弧长公式，可得弧的长为，

所以扇形的周长为.

故选：B.

13．（2020·调兵山市第一高级中学高一月考）已知角的终边与单位圆的交于点，则(　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵点在单位圆上，，则由三角函数的定义可得得则

14．（2019·呼玛县高级中学高一月考）若点在函数的图象上，则的值为（ ）

A．0 B． C．1 D．

【答案】D

【解析】由题意知:9=,解得=2,所以,故选D.

15．（2020·绥德中学高三其他（理））17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可得：，且，

所以，

所以，

16．（多选题）（2020·山东省微山县第一中学高一月考）下列结论正确的是（    ）

A．是第三象限角

B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为

C．若角的终边过点，则

D．若角为锐角，则角为钝角

【答案】BC

【解析】选项A：终边与相同，为第二象限角，所以A不正确；

选项B：设扇形的半径为，

扇形面积为，所以B正确；

选项C：角的终边过点，根据三角函数定义，

，所以C正确；

选项D：角为锐角时，，所以D不正确.

17．（多选题）（2019·山东省高一期中）已知，角的终边经过点，则下列结论正确的是(    )

A． B．

C． D．

【答案】AC

【解析】因为角的终边经过点,

所以,

所以,,

所以,.

18．（2020·调兵山市第一高级中学高一月考）一个扇形的中心角为3弧度，其周长为10，则该扇形的面积为__________．

【答案】6

【解析】设扇形的半径为，弧长为，则，解得，所以，

19．（2020·上海高一期中）与角终边重合的角的集合是________

【答案】

【解析】由终边相同的角的定义得：

与角终边重合的角是，

所以与角终边重合的角的集合是.

20．（2019·黑龙江省大庆四中高一月考（文））弧度化为角度应为___________．

【答案】

【解析】由弧度制与角度制的互化公式，可得.

21．（2019·呼玛县高级中学高一月考）已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.

(1)若α＝75°，R＝12 cm，求扇形的弧长l和面积；

(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

【解析】(1)α＝75°＝，  l＝12×＝5(cm)．  

所以S=lR=30(cm2)   

(2)由已知得，l＋2R＝20，

所以S＝lR＝ (20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，  

所以当R＝5时，S取得最大值25，

此时l＝10(cm)，α＝2 rad. 

22．（2020·上海高一课时练习）用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合：

（1）

（2）

【解析】（1）边界对应射线所在终边的角分别为

所以终边在阴影部分的角的集合为

（2）边界对应射线所在终边的角分别为

所以终边在阴影部分的角的集合为

=

23．（2020·上海高一课时练习）如图，圆周上点A依逆时针方向做匀速圆周运动，已知点A在内转过的角度为，到达第三象限，回到原来位置，求.

【解析】由题意得，解得，且，

所以满足题意的为96°或120°.

24．（2020·上海高一课时练习）已知关于x的方程．

（1）当时，求方程的解；

（2）要使此方程有解，试确定m的取值范围．

【解析】（1），
所以，
当时，方程为：，
所以或，
又，
所以，

所以，
故方程的解集为；
（2）由（1）得，有解，
即有解，
又，
又，
所以，
即，
即.