第18讲-同角函数基本关系与诱导公式(解析版)学案
展开第18讲-同角函数基本关系与诱导公式
一、 考情分析
1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,=tan α;
2.能利用定义推导出诱导公式.
二、 知识梳理
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.
(2)商数关系:=tan__α.
2.三角函数的诱导公式
公式 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 |
角 | 2kπ+α(k∈Z) | π+α | -α | π-α | -α | +α |
正弦 | sin α | -sin__α | -sin__α | sin__α | cos__α | cos__α |
余弦 | cos α | -cos__α | cos__α | -cos__α | sin__α | -sin__α |
正切 | tan α | tan__α | -tan__α | -tan__α |
|
|
口诀 | 函数名不变,符号看象限 | 函数名改变,符号看象限 |
[微点提醒]
1.同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α;sin α=tan α·cos α.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.
三、 经典例题
考点一 同角三角函数基本关系式
角度1 公式的直接运用
【例1-1】已知α∈,且sin α=-,则cos α=( )
A.- B. C.± D.
【解析】 因为α∈,且sin α=->-=sin,所以α为第三象限角,所以cos α=-=-=-.
角度2 关于sin α,cos α的齐次式问题
【例1-2】 已知=-1,求下列各式的值.
(1);
(2)sin2α+sin αcos α+2.
【解析】 由已知得tan α=.
(1)==-.
(2)sin2α+sin αcos α+2=+2=+2=+2=.
角度3 “sin α±cos α,sin αcos α”之间的关系
【例1-3】 已知x∈(-π,0),sin x+cos x=.
(1)求sin x-cos x的值;
(2)求的值.
【解析】 (1)由sin x+cos x=,
平方得sin2x+2sin xcos x+cos2x=,
整理得2sin xcos x=-.
所以(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=.
由x∈(-π,0),知sin x<0,又sin x+cos x>0,
所以cos x>0,则sin x-cos x<0,
故sin x-cos x=-.
(2)=
===-.
规律方法 1.同角三角函数关系的用途:根据已知角的一个三角函数值求解另外的三角函数值,对三角函数式进行变换.(1)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化.(2)利用=tan α可以实现角α的弦切互化.
2.应用公式时注意方程思想的应用:对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二.
3.注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.
考点二 诱导公式的应用
【例2-1】 (1)设f(α)=(1+2sin α≠0),则f=________.
(2)已知cos=a,则cos+sin的值是________.
【解析】 (1)∵f(α)=
===,
∴f===.
(2)∵cos=cos
=-cos=-a,
sin=sin=a,
∴cos+sin=-a+a=0.
规律方法 1.诱导公式的两个应用
(1)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了.
(2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了.
2.含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算,如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cos α.
考点三 同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用
【例3】 (1)已知α∈,sin=,则tan(π+2α)=( )
A. B.± C.± D.
(2)已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sin α的值是( )
A. B. C. D.
【解析】 (1)∵α∈,sin=,
∴cos α=,sin α=-,tan α==-2.
∴tan(π+2α)=tan 2α===.
(2)由已知得
消去sin β,得tan α=3,
∴sin α=3cos α,代入sin2α+cos2α=1,
化简得sin2α=,则sin α=(α为锐角).
(3)已知-π<x<0,sin(π+x)-cos x=-.
①求sin x-cos x的值;
②求的值.
【解析】 ①由已知,得sin x+cos x=,
两边平方得sin2x+2sin xcos x+cos2 x=,
整理得2sin xcos x=-.
∵(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=,
由-π<x<0知,sin x<0,
又sin xcos x=-<0,
∴cos x>0,∴sin x-cos x<0,
故sin x-cos x=-.
②=
=
==-.
规律方法 1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.
2.(1)注意角的范围对三角函数值符号的影响,开方时先判断三角函数值的符号;
(2)熟记一些常见互补的角、互余的角,如-α与+α互余等.
[方法技巧]
1.同角三角函数基本关系可用于统一函数;诱导公式主要用于统一角,其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明.
2.三角函数求值、化简的常用方法:(1)弦切互化法:主要利用公式tan x=进行切化弦或弦化切,如,asin2x+bsin xcos x+ccos2x等类型可进行弦化切.
(2)和积转换法:如利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化.
(3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=sin2θ(1+)=tan 等.
3.利用诱导公式进行化简求值时,可利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负—脱周—化锐.
特别注意函数名称和符号的确定.
4.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.
四、 课时作业
1.(2020·山西省太原五中高三月考(理))已知,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为
所以,即
因为,所以,
所以,即
又,所以,即解得或
因为,所以
2.(2020·福建省高三其他(文))若则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】sinx=3sin(x-)=﹣3cosx,
解得:tanx=﹣3,
所以:cosxcos(x)=﹣sinxcosx==,
3.(2020·广东省高三其他(文))若,则( )
A.或 B. C.或 D.
【答案】D
【解析】因为
所以.
4.(2020·湖南省高一月考)已知为第三象限角,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵为第三象限角
∴
∵
∴
5.(2020·渭南市尚德中学高一月考)中,,,则为( )
A. B.或 C. D.或
【答案】A
【解析】中,,则,
由,所以,
即,所以为锐角,
由,则,
.
6.(2020·山西省平遥中学校高一月考)已知,,则的化简结果为( )
A. B. C. D.以上都不对
【答案】B
【解析】,,故为第三象限角,.
7.(2019·黑龙江省大庆四中高一月考(文))在中,,则的值为( )
A. B. C. D.±
【答案】B
【解析】因为在中,,所以,因此,
又,
所以.
8.(2020·开鲁县第一中学高一期中(文))已知 ,则( )
A. B.2 C. D.
【答案】C
【解析】,
9.(2020·山西省高三其他(理))若,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为,
所以.
10.(2020·调兵山市第一高级中学高一月考)已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为
所以
11.(2020·山西省高三其他(文))已知sin(),则sin2x的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设,则,,选C.
12.(2020·湖南省高一月考)化简的结果为( )
A.1 B. C. D.
【答案】A
【解析】原式.
13.(2020·渭南市尚德中学高一月考)的值为 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,故选B.
14.(2020·湖南省高三二模(文))已知,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为,
所以.
15.(2020·陕西省西安中学高一期中)设,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,
,
只需比较的大小,
在上单调递减,
,
16.(多选题)(2020·山东省高一月考)下列化简正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】利用诱导公式,及
A选项:,故A正确;
B选项:,故B正确;
C选项:,故C不正确;
D选项:,故D不正确
17.(多选题)(2020·湖南省湖南师大附中高二期末)下列命题中为真命题的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】AD
【解析】A项,当时,则,
又,所以恒成立,命题为真;
B项,因为,所以方程无解,命题为假;
C项,因为对恒成立,则命题错误;
D项,结合指数函数与对数函数在上的图像,命题为真,
18.(多选题)(2020·全国高一课时练习)下列化简正确是( )
A. B.
C. D.
E.若,则
【答案】ABE
【解析】对于A,根据三角函数的诱导公式可知,故A正确;
对于B,,故B正确;
对于C,,故C错误;
对于D,,故D错误;
对于E,.
∵
∴,
∴,故E正确.
19.(2020·上海高一期中)若,则______.
【答案】
【解析】因为,
所以,即,
解得.
20.(2020·山西省平遥中学校高一月考)已知,则__________.
【答案】
【解析】
21.(2020·上海高一课时练习)化简下列各式:
(1)__________;
(2)________;
(3)________.
【答案】
【解析】(1);
(2)因为,,,,
所以,原式;
(3)因为,,,
,,,
所以原式.
22.(2020·调兵山市第一高级中学高一月考)已知关于x的方程的两根为,,.求:
(1);
(2)m的值;
(3)方程的两根及此时θ的值.
【解析】由韦达定理可得,.
(1)原式
.
(2)由,
两边平方可得:
,
,.
(3)由可解方程:
,得两根和.
∴或
∵,
∴或.
23.(2020·湖南省高一月考)已知,求:
(1);
(2)
【解析】(1)
(2)
24.(2020·渭南市尚德中学高一月考)
已知.
(1)化简; (2)若是第三象限角,且,求的值.
【解析】①=
②
又为第三象限角,,
25.(2019·黑龙江省大庆四中高一月考(文))已知
(1)求的值;
(2)求的值.
【解析】(1)
,∴;
(2)原式分子分母同除以得:
原式
.
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