河北省实验中学2022届高三上学期9月开学考试数学试题 含答案

河北省实验中学2022届高三年级开学考试

数  学

满分：150分    时间：120分钟

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每题只有一个选项符合题目要求．

1．等比数列满足，，则=(    )

A．    B．    C．    D．

2．若直线与直线关于点(2，3)对称，则直线一定过定点(    )

A．(-3，5)      B．(3，-5)      C．(3，5)      D．(5，3)

3．己知数列中，，，则等于(    )

A．    B．    C．-1       D．2

4．己知成等差数列，成等比数列，则的值为(   )

A．    B．-8       C．8       D．

5．在平面直角坐标系中，四点坐标分别为，若它们都在同一个圆周上，则的值为(    )

A．0               B．1             C．2             D．

6．圆与圆的位置关系为(    )

A．相交       B．相离       C．相切       D．无法确定

7．若圆上存在到直线的距离等于1的点，则实数的取值范围是(   )

A．       B．

C．     D．

8．设等差数列的前项和为，，其中且则数列的前项和的最大值为(   )

A．    B．    C．    D．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错不得分．

9．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是(    )

A．此数列的第20项是200

B．此数列的第19项是182

C．此数列偶数项的通项公式为

D．此数列的前项和为

10．己知点在圆上，点，则(   )

A．点到直线的距离小于10

B．点到直线的距离大于2

C．当最小时，

D．当最大时，

11．设数列是等差数列，是其前项和，且，则(    )

A．        B．

C．或为的最大值     D．

12．瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．己知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是(    )

A．(2，0)      B．(0，2)      C．(-2，0)       D．(0，-2)

三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分．

13．己知数列的前项和为且满足，，则=    .

14．若实数满足，则的取值范围为      ．

15．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．己知圆上有且仅有一个点满足，则的取值为       .

16．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫作该数列的一次“扩展”．将数列1，2进行“扩展”，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；…；第次“扩展”后得到的数列为1， 记，其中，则数列的通项=    .

四、解答题：本题共6小题，共70分．

17．圆过点，且圆心在直线上．

(1)求圆的方程；

(2)为圆上的任意一点，定点，求线段中点的轨迹方程．

18．己知圆，直线.

(1)判断直线与圆的位置关系；

(2)设直线与圆交于两点，若直线的倾斜角为120°，求弦的长．

19．己知数列满足，且，

(1)若，求数列的前项和；

(2)若，求数列的通项公式．

20．己知数列的前项和为，且对任意正整数，成立．

(1)，求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

21．如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆 的两条切线，切点分别为

(1)若，求切线所在直线方程；

(2)求的最小值；

(3)若两条切线与轴分别交于两点，求的最小值．

22．己知数列的前项和为，，.

(1)求的通项公式；

(2)设，数列的前项和为，证明：.

数学参考答案

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个选项符合题目要求.

1.【答案】B【解析】设等比数列的公比为，则，解得,

所以故选：B

2．【答案】C【解析】直线中，当x=1时y=1是与k无关的，故一定经过点(1,1)；点(1,1)关于点(2,3)的对称点的坐标为(3,5),由于直线与直线l₂关于点(2,3)对称，∴直线l₂一定过定点(3,5),故选：C.

3. 【答案】A【解析】∵，()，，
，，，…，
∴数列是以3为周期的周期数列，，，选A

4.【答案】C【解析】设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则有,

解得，又∴.选C.

5. 【答案】C【解析】设圆的方程为，

由题意得，解得，

所以，

又因为点在圆上，所以，即.故选：C.

6. 【答案】A【解析】解：圆：的圆心，半径为，

由，得，

所以圆的圆心为，半径，

所以，

因为（），所以，所以

所以两圆相交．故选：A

7. 【答案】A【解析】解:将圆的方程化为标准形式得圆,

所以圆心坐标为,半径为

因为圆上存在到直线的距离等于1的点，

所以圆心到直线的距离满足,即,解得: 故选:A

8.【答案】D【解析】由题意可得,可得，又，可得，，，，可知取最大值.选D.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错不得分.

9.【答案】AC【解析】观察此数列，偶数项通项公式为，奇数项是后一项减去后一项的项数，，由此可得，A正确；，B错误；C正确；是等差数列的前项，而题中数列不是等差数列，不可能有，D错．

10. 【答案】ACD【解析】

圆的圆心为，半径为，

直线的方程为，即，

圆心到直线的距离为，

所以，点到直线的距离的最小值为，

最大值为，

A选项正确，B选项错误；

如右图所示：

当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，

，，由勾股定理可得，CD选项正确.故选：ACD.

11. 【答案】BC【解析】a1＞0且S6＝S9，

∴6a1d＝9a1d，化为：a1+7d＝0，

可得a8＝0，d＜0．S7或S8为Sn的最大值，S5＜S6．故选：BC．

12. 【答案】AD【解析】设的垂直平分线为，

的外心为欧拉线方程为

与直线的交点为，

，①

 由，，重心为，

代入欧拉线方程，得，②

由 ①②可得或 .故选:AD

三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.

13.【答案】【解析】

因为，，

所以，所以是等差数列， 公差为3，又，

所以，．

14. 【答案】【解析】

由题得，它表示以点为圆心，以1为半径的圆，（除去点），

表示圆上的动点和点所在直线的斜率，

当直线和圆相切时，斜率最小，

设此时斜率为，直线方程为，

即，

所以.

所以的取值范围为.故答案为：

15.【答案】1或5【解析】

设动点，由，得，整理得，

又点是圆：上有且仅有的一点，

所以两圆相切. 圆的圆心坐标为，半径为2，

圆C：的圆心坐标为，半径为r，两圆的圆心距为3，

当两圆外切时，，得，

当两圆内切时，，，得．故答案为: 1或5

16. 【答案】(n∈N*)【解析】根据an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，

可得an＋1＝log2[1·(1·x1)·x1·(x1·x2)·x2·…·xt·(xt·2)·2]＝log2＝3an－1，

设an＋1＋m＝3(an＋m)，即an＋1＝3an＋2m，可得m＝－，

易知a1＝log2(1×2×2)＝2，

则数列是首项为2－＝，公比为3的等比数列，

故an－＝×3n－1，所以an＝(n∈N*)．[来源:Z+xx+k.Com]

四、解答题：本题共6小题，共70分.

17.（1）；（2）.

【解析】（1）直线的斜率，

所以的垂直平分线m的斜率为1.

的中点的横坐标和纵坐标分别为，.

因此，直线m的方程为.即…………………………………(2分)

又圆心在直线上，

所以圆心是直线m与直线的交点.联立方程组

，解得，

所以圆心坐标为，…………………………………………………………………(4分)

又半径，

则所求圆的方程是.………………………………………………(5分)

（2）设线段的中点，

M为线段的中点，则，解得………………………………(8分)

代入圆C中得，

即线段中点M的轨迹方程为.……………………………(10分)

18. (1)直线l与圆C必相交 (2)．

【解析】(1)直线l可变形为y－1＝m(x－1)，

因此直线l过定点D(1，1)，……………………………………………………………(3分)

又＝1<，

所以点D在圆C内，

则直线l与圆C必相交．…………………………………………………………………(6分)

 (2)由题意知m≠0，所以直线l的斜率k＝m，

又k＝tan 120°＝－，即m＝－．……………………………………………………(8分)

此时，圆心C(0，1)到直线l： x＋y－－1＝0的距离d＝＝，………(10分)

又圆C的半径r＝，

所以|AB|＝2＝2＝……………………………………………………(12分)

19. 【解析】 (1) 当k＝0时，2an＋1＝an＋an＋2，即an＋2－an＋1＝an＋1－an，

所以数列{an}是等差数列．………………………………………………………………(1分)

设数列{an}的公差为d，则解得………………………(3分)

所以Sn＝na1＋d＝2n＋×＝－n2＋n . …………………………(4分)

(2) 由题意得2a4＝a3＋a5＋k，即－2＝－4＋k，所以k＝2. …………………………(6分)

又a4＝2a3－a2－2＝3a2－2a1－6，所以a2＝3,

由2an＋1＝an＋an＋2＋2，得(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝－2，

所以数列{an＋1－an}是以a2－a1＝1为首项，－2为公差的等差数列，

所以an＋1－an＝－2n＋3. ………………………………………………………………(8分)

当n≥2时，有an－an－1＝－2(n－1)＋3，

于是an－1－an－2＝－2(n－2)＋3，

an－2－an－3＝－2(n－3)＋3，

…

a3－a2＝－2×2＋3，

a2－a1＝－2×1＋3，

叠加得，an－a1＝－2[1＋2＋…＋(n－1)]＋3(n－1)(n≥2)，

所以an＝－2×＋3(n－1)＋2＝－n2＋4n－1(n≥2)．………………………(11分)

又当n＝1时，a1＝2也适合上式．

所以数列的通项公式为an＝－n2＋4n－1，n∈N*………………………………(12分)

20. 【解析】（1）在an=Sn+2中令n=1得a1=8. ……………………………………(2分)

因为对任意正整数n,an=Sn+2成立,所以an+1=Sn+1+2,

两式相减得an+1-an=an+1,所以an+1=4an,又a1≠1,所以{an}为等比数列,

所以an=8·4n-1=22n+1,所以bn=log222n+1=2n+1. …………………………………………(5分)

（2）cn=(-1)n+1=[ (-1)n+1]=[ (-1)n+1(+)]

当n为偶数时,Tn=[(+)-(+)+(+)-…-(+)]=(-),

当n为奇数时,Tn=[(+)-(+)+(+)-…+(+)]=(+).

所以Tn=[+(-1)n+1]…………………………………………………………(12分)

21.（1），；（2）（3）

【解析】（1）由题意，切线斜率存在，

可设切线方程为，即，

则圆心到切线的距离，解得或，

故所求切线方程为，；……………………………………………(4分)

（2）连接交于点，

设，

则，

在中， ，

∵，

∴，

∴，

∴；………………………………………………………………………(8分)

（3）设切线方程为，即，的斜率为，

故圆心到切线的距离，

得，

∴， ，

在切线方程中令可得，

故，

∴，此时，故的最小值为.………………………………(12分)

22. 【解析】

 (1)解:当n=2时,2S2=3a2+1,解得a2=2;

当n=3时,2S3=4a3+1,解得a3=3.

当n≥3时,2Sn=(n+1)an+1,2Sn-1=nan-1+1,

以上两式相减,得2an=(n+1)an-nan-1, ………………………………………………(2分)

所以=,

所以==…==1,

又=1,所以an=……………………………………………………………(6分)

(2)证明:bn==…………………………………………………(8分)

当n≥2时,bn=<=-, ………………………………………………(10分)

所以Tn<+(-)+(-)+…+(-)=-<. …………………………………(12分)