初中数学沪科版九年级上册23.2解直角三角形及其应用练习题

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23.2解直角三角形及其应用同步练习

沪科版初中数学九年级上册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点处，测得河的北岸边点在其北偏东方向，然后向西走米到达点，测得点在点的北偏东方向，则这段河的宽度为米

A. 米 B. 米
C. 米 D. 米

2. 如图，中，，点在上，若，，则的长度为

A.
B.
C.
D.

3. 如图所示，在四边形中，，，，，，则的长是       

A.
B.
C.
D.

4. 如图，一艘潜水艇在海面下米的点处发现其正前方的海底处有黑匣子，同时测得黑匣子的俯角为，潜水艇继续在同一深度直线航行米到点处，测得黑匣子的俯角为，则黑匣子所在的处距离海面的深度是

A. 米 B. 米
C. 米 D. 米

5. 同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法是：如图．
   作线段，分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；
   以点为圆心，仍以长为半径作弧交的延长线于点；
   连接，．
   根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是

A.  B.
C.  D.

6. 如图，有一斜坡，坡顶离地面的高度为，斜坡的倾斜角是，若，则此斜坡的水平距离为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，嘉淇一家驾车从地出发，沿着北偏东的方向行驶，到达地后沿着南偏东的方向行驶来到地，且地恰好位于地正东方向上，则下列说法正确的是

A. 地在地的北偏西方向上 B. 地在地的南偏西方向上
C.  D.

8. 如图，水库大坝截面的迎水坡的坡比为：，背水坡的坡比为：，大坝高，坝顶宽，则下底的长为    

A.  B.  C.  D.

9. 如图所示，斜面的坡度与的比为，米，坡顶有旗杆，旗杆顶端点与点有一条彩带相连．若米，则旗杆的高度为     

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

10. 如图，一辆小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶米，已知，则小车上升的高度是

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

11. 如图，在中，，，点是延长线上的一点，且，则的值为

A.  B.  C.  D.

12. 如图所示，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是   

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 如图，测角仪竖直放在距建筑物底部的位置，在处测得建筑物顶端的仰角为若测角仪的高度是，则建筑物的高度约为____结果保留小数点后一位，参考数据：，，
    
     

14. 如图，在高出海平面的悬崖顶处，观测海平面上一艘小船，并测得它的俯角为，则船与观测者之间的水平距离____．
     

15. 在菱形中，，垂足为，，，则菱形的面积是__________．
16. 为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形为矩形，，其坡度为，将步梯改造为斜坡，其坡度为，则斜坡的长是________结果精确到，参考数据：，
17. 二次函数的图象过点，且与轴交于点，点在该抛物线的对称轴上，若是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

18. 某市为了加快网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点测得发射塔顶端点的仰角是，向前走米到达点测得点的仰角是，测得发射塔底部点的仰角是请你帮小军计算出信号发射塔的高度．结果精确到米，
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图所示，某建筑物楼顶有信号塔，卓玛同学为了探究信号塔的高度，从建筑物一层点沿直线出发，到达点时刚好能看到信号塔的最高点，测得仰角，长米．接着卓玛再从点出发，继续沿方向走了米后到达点，此时刚好能看到信号塔的最低点，测得仰角不计卓玛同学的身高求信号塔的高度结果保留根号．

20. 如图为放置在水平桌面上的台灯，底座的高为，长度均为的连杆，与始终在同一平面上．

转动连杆，，使成平角，，如图，求连杆端点离桌面的高度；

将中的连杆再绕点逆时针旋转，使，如图，问：此时连杆端点离桌面的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？结果精确到，参考数据：，






 

21. 位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．
    某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先在点处测得观星台最高点的仰角为，然后沿方向前进到达点处，测得点的仰角为测角仪的高度为求观星台最高点距离地面的高度结果精确到参考数据：，，，．

22. 如图，黔东南州某校吴老师组织九班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子折线恰好落在水平地面和斜坡上，在处测得电线杆顶端的仰角为，在处测得电线杆顶端的仰角为，斜坡与地面成角，，请你根据这些数据求电线杆的高结果精确到，参考数据：，
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，点是正方形边上一点，连接，作于点，于点，连接．

求证：

已知，四边形的面积为，求的正弦值．






 

24. 如图，海岛在海岛的北偏东方向，且与海岛相距海里，一艘渔船从海岛出发，以海里时的速度沿北偏东方向航行，同时一艘快艇从海岛出发，向正东方向航行小时后，快艇到达处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的处．
     

求的度数；

求快艇的速度及，之间的距离．

参考数据：，，，






 

25. 如图，某天我国一艘海监船巡航到港口正西方的处时，发现在的北偏东方向，相距海里处的点有一可疑船只正沿方向行驶，点在港口的北偏东方向上，海监船向港口发出指令，执法船立即从港口沿方向驶出，在处成功拦截可疑船只，此时点与点的距离为海里．
    求点到直线的距离；
    执法船从到航行了多少海里？

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
作交的延长线于，设米，根据正切的定义用表示出、，根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】
解：作交的延长线于，

设米，
，
米，
，
米，
则，
解得，
即这段河的宽约为米．
故选：．  

2.【答案】
 

【解析】解：，，，
，
，
．
，
，
故选：．
在中，由三角函数求得，再由勾股定理求得，最后在中由三角函数求得．
本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形．
 

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质进行逻辑推理能力和运算能力．
要求边长，须求的余弦值．由题中已知易证，得的余弦值，从而求解． 
【解答】
解：在梯形中，，， 
 
，，， 
， 
， 
故选B  

4.【答案】
 

【解析】解：由点向作垂线，交的延长线于点，并交海面于点．
已知米，，，
，
．
米．
在中，，
米．
米，
故选：．
易证，得然后在直角中，利用锐角三角函数定义求出，即可得出答案．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、等腰三角形的判定等知识，解决问题的关键作出辅助线构造直角三角形，属于中考常考题型．
 

5.【答案】
 

【解析】解：由作法得，故B正确；
点在以为直径的圆上，
，故A正确；
点是的外心，
在中，，
，，
，故C正确；，故D错误，
故选：．
由作法得，根据圆周角定理得到，点是的外心，根据三角函数的定义计算出，则，利用特殊角的三角函数值即可得到结论．
本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
 

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得的长，本题得以解决．
【解答】
解：，，，
，
解得，，
故选A．  

7.【答案】
 

【解析】解：如图所示：
由题意可知，，，
，即在处的北偏西，故A错误；
，
，
即在处的北偏西，故B错误；
，
即公路和的夹角是，故C错误．
，
，
，故D正确；
故选：．
根据平行线的性质及方向角的概念分别解答即可．
本题考查的是解直角三角形方向角问题，熟练掌握方向角的概念是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了坡度和坡角的知识，解答本题的关键是根据坡比和已知条件求出三角形的边长．
利用坡比的比值关系，求出与的长度即可得出下底的长．
【解答】
解：，：：，
，
，：：，
，
．
故选C．  

9.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了解直角三角形的应用--坡度坡角问题，找到合适的直角三角形，熟练运用勾股定理是解题的关键．设，则，根据勾股定理求出的长，从而求出、的长，然后根据勾股定理求出的长，即可求出的长．

【解答】

解：设米，则米，
由勾股定理可得，米，
米，
，
米，
米，
米，
在中，米，
米．
故答案为．

10.【答案】
 

【解析】解：如图，作，

，
，
，
小车上升的高度是．
故选A．
在中，先求出，再利用勾股定理求出即可．
此题主要考查解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了解直角三角形，利用锐角三角函数的概念解直角三角形问题．通过解直角得到与、间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求的值．
【解答】
解：如图，在中，，，
，．
，
，
．
故选A．  

12.【答案】
 

【解析】如图，过点作于，过点作于，
 ，
，
，
设，则，
 ，即，
，
，
，
，，，
，
 ，，
，
，
 ，
，
，
 的最小值为故选 B．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可．
【解答】
解：如图，过点作，垂足为点，则，，

在中，
，
米，
米，
故答案为．  

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出是解决问题的关键．根据解直角三角形的应用，测得它的俯角为，得出，整理代入计算即可得出答案．

【解答】

解：在高出海平面米的悬崖顶处，观测海平面上一艘小船，并测得它的俯角为，
，
船与观测者之间的水平距离米．
故答案为．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出的长是解题关键．
利用锐角三角函数关系得出的长，利用菱形的性质得出的长，即可得到菱形的面积． 
【解答】
解：于， 
在中，，，

， 
，
在菱形中，
，
菱形的面积是： 
故答案为．  

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
先由的坡度计算的长度，根据矩形性质得长度，再由的坡度得出的长度，根据勾股定理计算出的长度．
本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，矩形的性质，以及用勾股定理解直角三角形的用法，熟知以上知识点是解题的关键．
【解答】
解：，其坡度为：，
在中，，
解得．
四边形为矩形，
．
斜坡的坡度为：，
，
，
在中，．
故斜坡的长度约为．  

17.【答案】或
 

【解析】

【分析】
本题考查的是二次函数的性质和函数图象上点的坐标特征，涉及到解直角三角形．
把点代入得，，得到，求得，抛物线的对称轴为，设点的坐标为：，当，过作对称轴于，当，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】
解：把点代入得，，
解得：，
，
，抛物线的对称轴为，
设点的坐标为：，
当，
过作对称轴于，
则，
，
，
，
，
当，，
，
，
，
综上所述，点的坐标为或．  

18.【答案】解：设米．
在直角中，，
则米；


在直角中，米，
米，
则，
解得：，
则米．
在中，米．
米．
答：电线杆的高度约是米．
 

【解析】设米，在直角和直角中，根据三角函数利用表示出和，根据即可列出方程求得的值，再在直角中利用三角函数求得的长，则的长度即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角的问题，仰角的定义，以及三角函数，正确求得的长度是关键．
 

19.【答案】解：在中，，米，
米，
米，
米，
在中，，
米，
米，
答：信号塔的高度为米．
 

【解析】在中，根据三角函数的定义得到米，在中，根据三角函数的定义得到米，于是得到结论．
本题考查了解直角三角形仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形；难点是充分找到并运用题中相等的线段．
 

20.【答案】解：如图，过点作，垂足为．
则四边形是矩形， ．
所以．
所以．

减少．
如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点则四边形为矩形．

因为，所以 ，  ．

所以．
又 ，所以 ．
所以．
所以  ．
则．

故高度减少了，减少了．

【解析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
如图中，作于解直角三角形求出即可解决问题．
作于，于，于，于则四边形是矩形，求出，再求出即可解决问题．
 

21.【答案】解：过作于，延长交于，
则四边形，四边形是矩形，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
设，
，
，
，
解得：，
，
答：观星台最高点距离地面的高度约为．
 

【解析】过作于，延长交于，则四边形，四边形是矩形，于是得到，，求得，设，得到，解直角三角形即可得到答案．
本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
 

22.【答案】解：延长交的延长线于，作于，如图所示：

在中，，，
则，，
，，
，
，
设，
，，，
，，
，
，
解得：；
答：电线杆的高约为．
 

【解析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
延长交的延长线于，作于，由三角函数求出、的长，得出，设，求出，得出方程，解方程即可．
 

23.【答案】证明：四边形为正方形，

，，
于点，于点，
，，
，，
，
在和中

≌，
；
解：设，则，，
四边形的面积为，
，解得，舍去，
，
在中，，
．

【解析】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形．
通过证明≌得到；
设，则，，利用四边形的面积等于的面积与的面积之和得到，解方程求出得到，则，然后利用勾股定理计算出，最后利用正弦的定义求解．
 

24.【答案】解：过点作于点，作于点，

由题意得，，，
，
，
而，
；
海里，
在中，，
海里，
海里，
在中，，，
海里，
，
，，，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
设快艇的速度为海里小时，则海里小时．
答：快艇的速度为海里小时，，之间的距离为海里．
 

【解析】过点作于点，作于点，由平行线的性质得出，求出，则可得出答案；
在中，解直角三角形求出，，在中，解直角三角形求出，，证明四边形为矩形，得出，，求出的长，则可得出答案．
本题考查的是解直角三角形的应用，掌握方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合是解题的关键．
 

25.【答案】解：过点作交的延长线于点，如图．
，
，
，
，
，
海里，
答：点到直线的距离是海里；

海里，海里，
海里，
，
在中，，
，
海里．
答：执法船从到航行了海里．
 

【解析】过点作交的延长线于点，首先求出，再根据角所对的直角边等于斜边的一半可求的长；
根据勾股定理可求，在中，根据三角函数可求，进一步得到的长．
此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．