2021学年24.5 三角形的内切圆课后测评

绝密★启用前

24.5三角形的内切圆同步练习

沪科版初中数学九年级下册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，为的内切圆，，的延长线交于点，，，则的半径等于    

A.
B.
C.
D.

2. 如图，边长为的等边的内切圆的半径为

A.
B.
C.
D.

3. 如图，等腰的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，则的长是

A.
B.
C.
D.

4. 如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，，，则阴影部分即四边形的面积是

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在中，，、为的角平分线，交的延长线于点若，则点到直线的距离的最大值等于

A.
B.
C.
D.

6. 在中，，，则这个三角形的内切圆的半径是

A.  B.  C. 或 D. 或

7. 若一直角三角形的斜边长为，内切圆半径是，则内切圆的面积与三角形面积之比是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，内心为，连接并延长交的外接圆于，则线段与的关系是

A.
B.
C.
D. 不确定

9. 已知的外心为，内心为，，则的度数为

A.  B.  C. 或 D. 或

10. 已知的外心为，内心为，，则的度数为

A.  B.  C. 或 D. 或

11. 如图，中，，，，点是的内心，过点作，与、分别交于点、，则的周长为

A.  
B.  
C.  
D.  

12. 的三边长分别为，，，它的内切圆半径是，则的面积是

A.  B.  C.  D. 无法确定

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 在中，，，，是的内切圆，则的半径为______．
14. 如图，在直角三角形中，，，点为的内心，点为斜边的中点，则的长为______．
     

15. 如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，，，则阴影部分即四边形的面积是____________．

16. 如图，在扇形中，，垂足为，是的内切圆，连接，，则的度数为______．
    
    
     

17. 如图，在四边形中，，若，，则的内切圆面积______ 结果保留．
    
     

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

18. 如图，在中，，，在同一平面内，内部一点到，，的距离都等于为常数，到点的距离等于的所有点组成图形．
    直接写出的值；
    连接并延长，交于点，过点作于点．
    求证：；
    求直线与图形的公共点个数．

19. 如图，一块等腰三角形钢板的底边长为，腰长为．
    求能从这块钢板上截得的最大圆的半径；
    用一个圆完整覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少？
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，的内切圆与，，分别相切于，，，且，，求，，的长．
    
     

21. 如图，是的外接圆，点是的内心，的延长线交于点，交于点，连接，．
    求证：；
    若，，求的长．
    
     

22. 如图，的内切圆分别与边，，相切于点，，，连接与内切圆相交于另一点，若．
    Ⅰ求证：；
    Ⅱ求证：平分．

23. 如图，已知．
    
    
    用直尺和圆规作的外接圆保留作图的痕迹，不写作法；
    在的条件下，若的半径为，点到的距离为，求的长．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点和点关于轴对称，连接求内切圆的半径．
    
     

25. 如图，在矩形中，为矩形对角线，于点，延长的延长线交于点，已知，．
    求的长；
    的角平分线交于点，求的值；
    若、分别是、的内心，求、两点间的距离．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查直角三角形中内切圆的性质及利用相似三角形求内切圆的半径．
设圆与的切点为，圆的半径为，求得∽，利用相似比作为相等关系可列式：：，解之即可． 
【解答】
解：设圆与的切点为，圆的半径为，求得∽，利用相似比作为相等关系可列式：：，解之即可． 
设圆与的切点为，圆的半径为， 
如图，连接， 
 
， 
∽， 
：：， 
即：：， 
解得 
故选A．  

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心等知识，三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
连接、，的延长线交于，如图，利用内心的性质得平分，平分，再根据等边三角形的性质得，，则，，然后利用勾股定理计算出即可．
【解答】
解：设的内心为，连接、，的延长线交于，如图，

为的内心，
平分，平分，
为等边三角形，
，，
，，
设，则，
在中，
由勾股定理得：，
，
，
即内切圆的半径为．
故选：．  

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．
连接、、、，交于，利用切线的性质和切线长定理得到平分，，，，再根据等腰三角形的性质判断点、、共线，，利用勾股定理计算出，则，设的半径为，则，，利用勾股定理得到，解得，于是可计算出，然后证明垂直平分，利用面积法求出，从而得到的长．
【解答】
解：连接、、、，交于，如图，

等腰的内切圆与，，分别相切于点，，，
平分，，，，
，
，
点、、共线，即，
，
在中，，
，
，
设的半径为，则，，
在中，，解得，
在中，，
，，
垂直平分，
，，
，
，
．
故选：．  

4.【答案】
 

【解析】解：，，，
，
为直角三角形，，
、与分别相切于点、
，，
四边形为正方形，
设，
则，
的内切圆与、、分别相切于点、、，
，，
，
，
阴影部分即四边形的面积是．
故选：．
利用勾股定理的逆定理得到为直角三角形，，再利用切线的性质得到，，所以四边形为正方形，设，利用切线长定理得到，，所以，然后求出后可计算出阴影部分即四边形的面积．
本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了勾股定理的逆定理和切线的性质．
 

5.【答案】
 

【解析】解：作的外接圆交于，

点是的内心，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
点在以为圆心，为半径的圆上，
当点到直线的距离，即、、在同一条直线上时，点到直线的距离最大，
此时，，即为等边三角形，
，，
，又，
为等边三角形，
到直线的距离的最大值，
故选：．
作的外接圆交于，可证点在以为圆心，为半径的圆上，当点到直线的距离，即、、在同一条直线上时，点到直线的距离最大，由等边三角形的性质可求解．
该题主要考查了三角形内切圆的性质，三角形内角和定理等几何知识点及其应用问题；牢固掌握三角形内切圆的性质等几何知识点是基础，灵活运用、解题是关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：设直角三角形内切圆的圆心为点，半径为，
三边上的切点分别为、、，
连接、、，
得正方形，则正方形的边长即为，
如图所示：

当为直角边时，
，
根据切线长定理，得
，
，
，
即，解得；
当为斜边时，
，
根据切线长定理，得
，
，
，
解得．
答：这个三角形的内切圆的半径是或．
故选：．
根据中，，，分两种情况讨论：当边为直角边和斜边两种情况求解即可．
本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是分两种情况分类讨论计算．
 

7.【答案】
 

【解析】解：设直角三角形的两条直角边是，，则有：
，
又，
，
将代入得：．
又内切圆的面积是，
它们的比是．
故选：．
连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是，则直角三角形的面积是；又直角三角形内切圆的半径，则，所以直角三角形的面积是；因为内切圆的面积是，则它们的比是．
此题要熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，能够把直角三角形的面积分割成三部分，用内切圆的半径进行表示，是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：连接，如图，

内心为，
，，
，
，
，
即，
．
故选：．
连接，如图，根据三角形内心的性质得，，再根据圆周角定理得到，然后利用三角形外角性质和角度的代换证明，从而可判断．
本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理．
 

9.【答案】
 

【解析】解：如图，当是锐角三角形，

点为的外心，，
，
点为的内心，
，则，
．
如图，当是钝角三角形，

，
，
，
．
故选：．
用三角形外心的性质得出的度数，再利用三角形内角和定理以及三角形内心的性质得出答案
此题主要考查了三角形的内心与外心，解题的关键是正确画出图形，得出的度数是解题关键，学会用分类讨论的思考问题．
 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了三角形的内心与外心，解题的关键是正确画出图形，得出的度数是解题关键，学会用分类讨论的思考问题．
分是锐角三角函数和钝角三角形两种情况，分别用三角形外心的性质得出的度数，再利用三角形内角和定理以及三角形内心的性质得出答案．
【解答】
解：如图，当是锐角三角形，

点为的外心，，
，
点为的内心，
，则，
．
如图，当是钝角三角形，

，
，
，
．
故选C．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是三角形的内心、平行线的性质、等腰三角形的判定，明确三角形的内心是三条角平分线的交点是解题的关键先根据三角形内心的定义得到、是和的角平分线，结合平行线的性质可证明，，于是得到，，故此可得到，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】
解：连接、．

点是的内心，
、分别是和的角平分线．
，．
，
，．
，．
，．
，
的周长，
故选：．  

12.【答案】
 

【解析】解：如图，是的内切圆，作于，于，于，连接、、，

为的内切圆，
，
，，，
．
故选：．
根据题意画出图形，是的内切圆，作于，于，于，连接、、，根据等面积法即可求出结果．
本题考查了三角形的内切圆与内心，列代数式，解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心的性质．
 

13.【答案】
 

【解析】解：设切点分别为点，，，连接，，，，，，过点作于点，
设，则，
，，
，
即，
解得：，
，
，
是的内切圆，
，，，，
，
，
解得：，
的半径为，
故答案为：．
设切点分别为点，，，连接，，，，，，过点作于点，利用勾股定理可求出的长，进而可求出的面积，再根据的面积的面积，继而可求出内切圆的半径，问题得解．
本题主要考查了三角形的内切圆的性质及其应用问题；解题的关键是首先求出一边上的高，然后利用内切圆的性质，借助三角形的面积公式列出关于半径的方程求解即可．
 

14.【答案】
 

【解析】解：作的内切圆，
设与相切于点，，，设，
，，
，
，，
，
解得：，
点为斜边的中点，
，
，
是内切圆半径，
，
．
故答案为：．
首先利用切线长定理求出的长，进而求出，，即可求出的长度．
此题主要考查了内切圆的性质以及切线长定理，利用已知得出的长是解题关键．
 

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了勾股定理的逆定理和切线的性质．利用勾股定理的逆定理得到为直角三角形，，再利用切线的性质得到，，又，所以四边形为正方形，设，利用切线长定理得到，，所以，然后求出后可计算出阴影部分即四边形的面积．

【解答】
解：，，，
，
为直角三角形，，
、与分别相切于点、
，，
四边形为矩形，又，四边形为正方形
设，
则，
的内切圆与、、分别相切于点、、，
，，
，
，
阴影部分即四边形的面积是．
故答案为．  

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查三角形的内心、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
如图，连接首先证明，再证明≌即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接，

是的内心，，
，，
，
在和中

≌，
．
故答案为．  

17.【答案】
 

【解析】解：如图，设与交于点，的内心为，连接．

，，
是线段的垂直平分线．
，．
，，
．
．
为等边三角形．
．
，
．
，
．
．
，，
．
为，的内心，
．
．
的内切圆面积为．
故答案为．
根据，，得出为的垂直平分线；利用等腰三角形的三线合一可得，进而得出为等边三角形；利用，得出为直角三角形，解直角三角形，求得等边三角形的边长，再利用内心的性质求出圆的半径，圆的面积可求．
本题主要考查了三角形的内切圆及内心的性质，利用内心为三个内角平分线的交点得出角平分线是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图，

，，，
，
，
是直角三角形，
由题意可知：
图形是以为圆心，为半径的圆，，，与圆相切，
设切点分别为，，，连接，，，
，，，
四边形为正方形，
，
根据切线长定理可知：
，，
，
解得；
由题意可知：
点是的内心，
，
，，
，
；
如图，作于点，
，
，
，
为圆的半径，
为圆的切线，
直线与图形的公共点个数为．
 

【解析】根据题意可得三角形是直角三角形，再根据切线长定理即可求出的值；
根据题意可得点是三角形的内心，再根据三角形内角和即可得结论；
作于点，根据角平分线的性质可得，所以得为圆的半径，进而可得为圆的切线，即可得出结论．
本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形的内心定义．
 

19.【答案】解：如图，过作于
则，，
设最大圆半径为，
则，
，
解得：；
设覆盖圆的半径为，圆心为，
是等腰三角形，过作于，
，，
在直线上，连接，
在中，
由，
；
若以长为半径为，也可以覆盖，
最小为．
 

【解析】由于三角形是等腰三角形，过作于，那么根据勾股定理得到，又从这块钢板上截得的最大圆就是三角形的内切圆，根据内切圆的圆心的性质知道其圆心在上，分别连接、、，然后利用三角形的面积公式即可求解；
由于一个圆完整覆盖这块钢板，那么这个圆是三个三角形的外接圆，设覆盖圆的半径为，根据垂径定理和勾股定理即可求解．
此题分别考查了三角形的外接圆与外心、内切圆与内心、等腰三角形的性质，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握外心与内心的性质与等腰三角形的特殊性．
 

20.【答案】解：根据切线长定理，设，，根据题意，得
，
解得．
即、、．
 

【解析】根据切线长定理，可设，，再根据题意列方程组，即可求解．
此题主要是运用了切线长定理，用已知数和未知数表示所有的切线长，再进一步列方程组求解．
 

21.【答案】证明：点是的内心，
平分，平分，
，，
又与所对弧为，
．
，，
即，
故DB．
解：，，
∽，
，
，，设，
由可得，
则式化为，
解得：，不符题意，舍去，
则．
 

【解析】依据三角形内心的性质可得，，由圆周角定理的推论可得从而可证，根据等角对等边即可得结论；
由，，即可判定∽，所以，设，可化为，解得，从而可求的长．
本题考查了三角形内心的性质、圆周角定理的推论，相似三角形的判定与性质，证明∽是解题的关键．
 

22.【答案】解：与是的切线，
，则是等腰三角形，
，
同理：，
，
又是的切线，
，
∽，

，
，，
∽，∽，
．
故由得，
，结合得∽，
也是等腰三角形．
，
平分．
 

【解析】，则是等腰三角形，根据相似三角形的判定可以推出∽，根据相似三角形的性质可得结论．
Ⅱ根据相似三角形的判定可以推出∽，∽，根据相似三角形的性质结合得∽，也是等腰三角形．即可的结论．
本题考查了相似三角形判定与性质，角平分线的性质，解本题要熟练掌握相似三角形判定与性质，角平分线的性质等基本知识点．
 

23.【答案】解：作线段，的垂直平分线交点为，点即为的外接圆的圆心，以为圆心，的长为半径画出即可；

作于．
在中，
，，
，
，
，
．
 

【解析】本题考查作图复杂作图，垂径定理，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
作线段，的垂直平分线交点为，点即为的外接圆的圆心，以为圆心，的长为半径画出即可；
作于利用勾股定理求出，再利用垂径定理可得，求出即可．
 

24.【答案】解：在中，当时，；当时，解得，
、，
点和点关于轴对称，
，
，，
，
，
，
，
设内切圆的半径为，
的面积为，
，
内切圆的半径为．
 

【解析】先由一次函数和点和点关于轴对称求出、、的坐标，再求出、和，用等面积求出内切圆的半径即可．
本题主要考查了求一次函数与坐标轴交点坐标、求三角形内切圆的半径，解决本题的关键是利用等面积求出内切圆的半径为．
 

25.【答案】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，即：，
；
如图，过点作于点，
平分，，，
，
，
，
，
，
，
，
；
过点作于点，过点作于点，作于点，
则是矩形，
，
，
，
，
、分别是、的内心，设的半径为，的半径为，
，，
，，
，
．
 

【解析】利用矩形性质和直角三角形性质得出，进而得出，即可求得答案；
如图，过点作于点，利用角平分线性质可得：，运用勾股定理求得，再利用，可得，即可求得，再运用三角函数定义即可求得答案；
过点作于点，过点作于点，作于点，则是矩形，运用面积法和三角函数定义求出、、，再分别求出、的内切圆半径，再运用勾股定理即可求得答案．
本题考查了矩形性质，直角三角形性质，勾股定理，三角形面积，三角函数定义，直角三角形的内切圆半径等，解题关键是添加辅助线构造直角三角形，熟练运用三角函数定义和直角三角形内切圆半径等知识．