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2020-2021学年天津市南开区育贤中学八年级上学期期中数学试卷 解析版
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这是一份2020-2021学年天津市南开区育贤中学八年级上学期期中数学试卷 解析版，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年天津市南开区育贤中学八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知∠C＝∠D＝90°，有四个可添加的条件：①AC＝BD；②BC＝AD；③∠CAB＝∠DBA；④∠CBA＝∠DAB．能使△ABC≌△BAD的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列运算正确的是（ ）
A．a+2a2＝3a2 B．a8÷a2＝a4 C．a3•a2＝a6 D．（a3）2＝a6
4．下列说法：
①关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形
②两个全等的三角形关于某条直线对称
③到某条直线距离相等的两个点关于这条直线对称
④如果图形甲和图形乙关于某条直线对称，则图形甲是轴对称图形
其中，正确说法个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，AB＝AC，BD＝EC，AF⊥BC，则图中全等三角形有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
6．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使顶点B落在边AD的E点上，折痕FG交BC于G．交AB于F，若∠AEF＝30°，则∠FGB的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
7．计算：1.42019×（﹣42020）×（）2019×（﹣）2019＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
8．如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，把一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B．梦想飞扬学习小组将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，给出下列结论：①线段AE与AF的长度之和为定值；②∠BEO与∠OFC的度数之和为定值；③四边形AEOF的面积为定值．其中正确的是（ ）
A．仅①正确 B．仅①②正确 C．仅②③正确 D．①②③都正确
9．已知x2n＝3，求（x3n）2﹣3（x2）2n的结果（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
10．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为8，12，10，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△AOC等于（ ）
A．1：1：1 B．2：4：3 C．4：6：5 D．4：6：10
11．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为（ ）
A．4 B．6 C． D．8
12．如图，已知AF＝AB，∠FAB＝60°，AE＝AC，∠EAC＝60°，CF和BE交于O点，则下列结论：①CF＝BE；②∠COB＝120°；③OA平分∠FOE；④OF＝OA+OB．其中正确的有（ ）
A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．若+（b+4）2＝0，则点M（a，b）关于y轴的对称点的坐标为
14．计算：（﹣x）2•x3+（﹣x2）3＝ ．
15．已知等腰三角形一腰上的中线把周长分为15和27两部分，则这个等腰三角形的底边长是 ．
16．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），若点P在坐标轴上，且△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P有 个．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，若点P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
18．如图，已知∠AOB＝α，在射线OA、OB上分别取点OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2＝B1A2，连接A2B2…按此规律上去，记∠A2B1B2＝θ1，∠A3B2B3＝θ2，…，∠An+1BnBn+1＝θn，则：
（1）θ1＝ ；
（2）θn＝ ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分）
19．计算：
（1）（﹣2a2b）2（1﹣2b+a3）．
（2）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷3x2y．
（3）先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）+x2（1﹣x）+x3，其中x＝﹣．
20．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
（1）△ABC的面积为 ．
（2）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于x轴对称的△A1B1C1
（3）指出△A1B1C1的顶点坐标．A1（ ， ），B1（ ， ），C1（ ， ）．
（4）在y轴上画出点Q，使QA+QC最小．
21．如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求证：BF＝DF．
22．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连接AE、DE、DC．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE＝30°，求∠BCD的度数．
23．如图，△ABC中，BC＝2AC，∠DBC＝∠ACB＝120°，BD＝BC，CD交边AB于点E．
（1）求∠ACE的度数．
（2）求证：DE＝3CE．
24．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，t是常数．直线BD平分∠OBA，交x轴于D点．
（1）若AB的中点为M，连接OM交BD于N，求证：ON＝OD；
（2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰Rt△BPF，其中∠BPF＝90°，连接FA并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．
2020-2021学年天津市南开区育贤中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形可得答案．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项错误；
故选：B．
2．如图，已知∠C＝∠D＝90°，有四个可添加的条件：①AC＝BD；②BC＝AD；③∠CAB＝∠DBA；④∠CBA＝∠DAB．能使△ABC≌△BAD的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】要确定添加的条件，首先要看现有的已知条件，∠C＝∠D＝90°，还有一条公共边AB＝AB，具备一角，一边分别对应相等，只要再添加任意一边或任意一角都能使得三角形全等，于是答案可得．
【解答】解：添加①AC＝BD，可根据HL判定△ABC≌△BAD；
添加②BC＝AD，可根据HL判定△ABC≌△BAD
添加③∠CAB＝∠DBA，可根据AAS判定△ABC≌△BAD；
添加④∠CBA＝∠DAB，可根据AAS判定△ABC≌△BAD．
故选：D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．a+2a2＝3a2 B．a8÷a2＝a4 C．a3•a2＝a6 D．（a3）2＝a6
【分析】根据同底数幂的除法、同底数幂的乘法和幂的乘方的性质求解后利用排除法求解．
【解答】解：A、a与2a2不是同类项不能合并，故本选项错误；
B、应为a8÷a2＝a8﹣2＝a6，故本选项错误；
C、应为a3•a2＝a5，故本选项错误；
D、（a3）2＝a6，正确．
故选：D．
4．下列说法：
①关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形
②两个全等的三角形关于某条直线对称
③到某条直线距离相等的两个点关于这条直线对称
④如果图形甲和图形乙关于某条直线对称，则图形甲是轴对称图形
其中，正确说法个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用轴对称图形的性质逐一分析探讨得出答案即可．
【解答】解：①关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形，是正确的；
②两个全等的三角形不一定组成轴对称图形，原题是错误的；
③对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，且到这条直线距离相等的两个点关于这条直线对称，原题错误；
④如果图形甲和图形乙关于某条直线对称，则图形甲不一定是轴对称图形，原题错误．
正确的说法有1个．
故选：A．
5．如图，AB＝AC，BD＝EC，AF⊥BC，则图中全等三角形有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【分析】共有四对．分别为△ABD≌△ACE，△ADF≌△AEF，△ABF≌△ACF，△ABE≌△ADC要从已知条件入手，结合全等的判定方法，通过分析推理，一个个进行验证，做到由易到难，不重不漏．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AB＝AC，BD＝EC，
∴△ABD≌△ACE．（SAS）
∴AD＝AE，
∵AF⊥BC，AF＝AF，
∴△ADF≌△AEF．（HL）
∵AB＝AC，AF＝AF，
∴△ABF≌△ACF．（HL）
∵BE＝CD，AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABE≌△ADC．（SSS）
所以共有四对全等三角形．
故选：C．
6．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使顶点B落在边AD的E点上，折痕FG交BC于G．交AB于F，若∠AEF＝30°，则∠FGB的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠AFE，再根据翻折变换的性质求出∠BFG，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠AEF＝30°，
∴∠AFE＝90°﹣∠AEF＝90°﹣30°＝60°，
由翻折的性质得，∠BFG＝∠EFG，
∴∠BFG＝（180°﹣∠AFE）＝（180°﹣60°）＝60°，
在Rt△BFG中，∠FGB＝90°﹣∠BFG＝90°﹣60°＝30°．
故选：B．
7．计算：1.42019×（﹣42020）×（）2019×（﹣）2019＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
【分析】直接利用积的乘方运算法则将原式变形得出答案．
【解答】解：1.42019×（﹣42020）×（）2019×（﹣）2019
＝1.42019×（﹣）2019×[（﹣42020）×（）2019]
＝[1.4×（﹣）]2019×[（﹣42019）×（）2019]×4
＝﹣1×（﹣1）×4
＝4．
故选：C．
8．如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，把一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B．梦想飞扬学习小组将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，给出下列结论：①线段AE与AF的长度之和为定值；②∠BEO与∠OFC的度数之和为定值；③四边形AEOF的面积为定值．其中正确的是（ ）
A．仅①正确 B．仅①②正确 C．仅②③正确 D．①②③都正确
【分析】连接AO，易证△EOA≌△FOC（ASA），利用全等三角形的性质可得出EA＝FC，进而可得出AE+AF＝AC，结论①正确；由三角形内角和定理结合∠B+∠C＝90°，∠EOB+∠FOC＝90°可得出∠BEO+∠OFC＝180°，结论②正确；由△EOA≌△FOC可得出S△EOA＝S△FOC，结合图形可得出S四边形AEOF＝S△EOA+S△AOF＝S△FOC+S△AOF＝S△AOC＝S△ABC，结论③正确．
【解答】解：连接AO，如图所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，点O为BC的中点，
∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∠BAO＝∠ACO＝45°．
∵∠EOA+∠AOF＝∠EOF＝90°，∠AOF+∠FOC＝∠AOC＝90°，
∴∠EOA＝∠FOC．
在△EOA和△FOC中，
，
∴△EOA≌△FOC（ASA），
∴EA＝FC，
∴AE+AF＝AF+FC＝AC，
则结论①正确；
∵∠B+∠BEO+∠EOB＝∠FOC+∠C+∠OFC＝180°，∠B+∠C＝90°，∠EOB+∠FOC＝180°﹣∠EOF＝90°，
∴∠BEO+∠OFC＝180°，
则结论②正确；
∵△EOA≌△FOC，
∴S△EOA＝S△FOC，
∴S四边形AEOF＝S△EOA+S△AOF＝S△FOC+S△AOF＝S△AOC＝S△ABC，
则结论③正确．
故选：D．
9．已知x2n＝3，求（x3n）2﹣3（x2）2n的结果（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
【分析】根据幂的乘方，将（x3n）2﹣3（x2）2n进行变形后，再整体代入求值即可．
【解答】解：（x3n）2﹣3（x2）2n
＝（x2n）3﹣3（x2n）2
＝33﹣3×32
＝27﹣27
＝0，
故选：C．
10．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为8，12，10，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△AOC等于（ ）
A．1：1：1 B．2：4：3 C．4：6：5 D．4：6：10
【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是8，10，12，所以面积之比就是4：6：5．
【解答】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵点O是内心，
∴OE＝OF＝OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△AOC＝•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD＝AB：BC：AC＝8：12：10＝4：6：5，
故选：C．
11．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为（ ）
A．4 B．6 C． D．8
【分析】根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，
∴∠AMN＝∠NMC＝∠B，∠NCM＝∠BCM＝∠NMC，
∴∠ACB＝2∠B，NM＝NC，
∴∠B＝30°，
∵AN＝1，
∴MN＝2，
∴AC＝AN+NC＝3，
∴BC＝6，
故选：B．
12．如图，已知AF＝AB，∠FAB＝60°，AE＝AC，∠EAC＝60°，CF和BE交于O点，则下列结论：①CF＝BE；②∠COB＝120°；③OA平分∠FOE；④OF＝OA+OB．其中正确的有（ ）
A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④
【分析】证明△ABE≌△AFC，由全等三角形的性质得到BE＝CF，可得∠AEB＝∠ACF，则∠CON＝∠CAE＝60°＝∠MOB，得出∠BOC＝180°﹣∠CON＝120°；S△ABE＝S△AFC，得到AP＝AQ，利用角平分线的判定定理得AO平分∠EOF，在OF上截取OD＝OB，根据SAS可证明△FBD≌△ABO，得出DF＝OA，由此可以解决问题．
【解答】解：∵△ABF和△ACE是等边三角形，
∴AB＝AF，AC＝AE，∠FAB＝∠EAC＝60°，
∴∠FAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，
即∠FAC＝∠BAE，
在△ABE与△AFC中，
，
∴△ABE≌△AFC（SAS），
∴BE＝FC，∠AEB＝∠ACF，故①正确，
∵∠EAN+∠ANE+∠AEB＝180°，∠CON+∠CNO+∠ACF＝180°，∠ANE＝∠CNO，
∴∠CON＝∠CAE＝60°＝∠MOB，
∴∠BOC＝180°﹣∠CON＝120°，故②正确，
连接AO，过A分别作AP⊥CF与P，AM⊥BE于Q，如图1，
∵△ABE≌△AFC，
∴S△ABE＝S△AFC，
∴•CF•AP＝•BE•AQ，而CF＝BE，
∴AP＝AQ，
∴OA平分∠FOE，所以③正确，
在OF上截取OD＝OB，
∵∠BOF＝60°，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD＝BO，∠DBO＝60°，
∴∠FBD＝∠ABO，
∵BF＝AB，
∴△FBD≌△ABO（SAS），
∴DF＝OA，
∴OF＝DF+OD＝OA+OB；
故④正确；
故选：C．
二．填空题
13．若+（b+4）2＝0，则点M（a，b）关于y轴的对称点的坐标为 （﹣3，﹣4）
【分析】直接利用绝对值的性质偶次方的性质得出a，b的值，再利用关于y轴对称点的性质得出答案．
【解答】解：∵+（b+4）2＝0，
∴a＝3，b＝﹣4，
∴点M（3，﹣4）关于y轴的对称点的坐标为：（﹣3，﹣4）
故答案为：（﹣3，﹣4）．
14．计算：（﹣x）2•x3+（﹣x2）3＝ x5﹣x6． ．
【分析】根据同底数幂的乘法：同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．
【解答】解：（﹣x）2•x3+（﹣x2）3＝x2•x3﹣x6＝x5﹣x6，
故答案为：x5﹣x6．
15．已知等腰三角形一腰上的中线把周长分为15和27两部分，则这个等腰三角形的底边长是 6 ．
【分析】分两种情况讨论：当AB+AD＝15，BC+DC＝27或AB+AD＝27，BC+DC＝15，所以根据等腰三角形的两腰相等和中线的性质可求得，三边长为10，10，22（不合题意，舍去）或18，18，6．所以BC的长为6cm．
【解答】解：设AD＝x则，当2x+x＝15时，x＝5，即AB＝AC＝10，
∵周长是15+27＝42，
∴BC＝22（不符合三角形三边关系，舍去）；
当2x+x＝27时，x＝9，即AB＝AC＝18，
∵周长是15+27＝42，∴BC＝6，
综上可知，底边BC的长为6．
故答案为：6．
16．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），若点P在坐标轴上，且△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P有 8 个．
【分析】连接AB，AB边可能是底边，也可能是腰，得到的等腰三角形共有8个．
【解答】解：如图所示：
①以B为圆心，以AB为半径作圆，交y轴有2点，交x轴有1点（点A除外），此时共3个点；
②以A为圆心，以AB为半径作圆，交y轴有1点（点B除外），交x轴有2点，此时共3个点，
③以AB为底的三角形有2个，点P在AB的垂直平分线上，分别交x轴、y轴各1个点，此时共2个点；
3+3+2＝8，
因此，满足条件的点P有8个，
故答案为：8．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，若点P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 4 ．
【分析】作辅助线，构建PC+PQ的最小值，即CM的值，根据面积法求出CM的长，即PC+PQ的最小值．
【解答】解：如图，过C作CM⊥AB，交AD于P，交AB于M，过P作PQ⊥AC于Q，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴PQ＝PM，
这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝8，
tan30°＝，cos30°＝，
∴AC＝8×＝，AB＝＝，
∴S△ACB＝AC•BC＝AB•CM，
∴×8＝•CM，
∴CM＝4，
∴PC+PQ的最小值为4，
故答案为：4．
18．如图，已知∠AOB＝α，在射线OA、OB上分别取点OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2＝B1A2，连接A2B2…按此规律上去，记∠A2B1B2＝θ1，∠A3B2B3＝θ2，…，∠An+1BnBn+1＝θn，则：
（1）θ1＝ ；
（2）θn＝ ．
【分析】设∠A1B1O＝x，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理得α+2x＝180°，x＝180°﹣θ1，即可求得θ1＝；同理求得θ2＝；即可发现其中的规律，按照此规律即可求得答案．
【解答】解：（1）设∠A1B1O＝x，
则α+2x＝180°，x＝180°﹣θ1，
∴θ1＝；
（2）设∠A2B2B1＝y，
则θ2+y＝180°①，θ1+2y＝180°②，
①×2﹣②得：2θ2﹣θ1＝180°，
∴θ2＝；
…
θn＝．
故答案为：（1）；（2）θn＝．
三．解答题（共6小题）
19．计算：
（1）（﹣2a2b）2（1﹣2b+a3）．
（2）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷3x2y．
（3）先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）+x2（1﹣x）+x3，其中x＝﹣．
【分析】（1）根据积的乘方法则、单项式乘多项式的运算法则计算；
（2）根据整式的混合运算法则计算；
（3）根据整式的混合运算法则把原式化简，把x＝﹣代入计算即可．
【解答】解：（1）（﹣2a2b）2（1﹣2b+a3）
＝4a4b2（1﹣2b+a3）
＝4a4b2﹣8a4b3+4a7b2；
（2）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷3x2y
＝（x3y2﹣x2y﹣x2y+x3y2））÷3x2y
＝（2x3y2﹣2x2y）÷3x2y
＝xy﹣；
（3）（x+1）（x﹣1）+x2（1﹣x）+x3
＝x2﹣1+x2﹣x3+x3
＝2x2﹣1，
当x＝﹣时，原式＝2×（﹣）2﹣1＝﹣．
20．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
（1）△ABC的面积为 5 ．
（2）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于x轴对称的△A1B1C1
（3）指出△A1B1C1的顶点坐标．A1（ 3 ， ﹣4 ），B1（ 1 ， ﹣2 ），C1（ 5 ， ﹣1 ）．
（4）在y轴上画出点Q，使QA+QC最小．
【分析】（1）根据长方形的面积减去三个角上三角形的面积即可；
（2）根据关于x轴对称的点的坐标特点画出△A1B1C1即可；
（3）根据各点在坐标系中的位置写出各点坐标即可；
（4）作点A关于y轴的对称点A′，连接
【解答】解：（1）S△ABC＝3×4﹣×2×2﹣×1×4﹣×2×3＝12﹣2﹣2﹣3＝5．
故答案为：5；
（2）如图所示；
（3）故答案为：A1（ 3，﹣4），B1（ 1，﹣2），C1（5，﹣1）；
（4）由图可知，点Q为所求点．
21．如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求证：BF＝DF．
【分析】先由“ASA”可证△AOB≌△COD，得OB＝OD，再由BE＝DE，得OE垂直平分BD，即可得出结论．
【解答】证明：在△AOB与△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB＝OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上，
∵BE＝DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD，
∴BF＝DF．
22．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连接AE、DE、DC．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE＝30°，求∠BCD的度数．
【分析】（1）由∠ABC为直角，得到∠CBD也为直角，得到一对角相等，再由AB＝CB，BE＝BD，利用SAS即可得到三角形ABE与三角形CBD全等，得证；
（2）由AB＝BC，且∠ABC为直角，得到三角形ABC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC为45°，由∠CAB﹣∠CAE求出∠BAE的度数，根据全等三角形的对应角相等得到∠BAE＝∠BCD，即可求出∠BCD的度数．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，
∴∠ABE＝∠CBD＝90°，…（1分）
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；…（2分）
（2）解：∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠CAB＝45°，…（3分）
又∵∠CAE＝30°，
∴∠BAE＝∠CAB﹣∠CAE＝15°．…（4分）
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BCD＝∠BAE＝15°．…（5分）
23．如图，△ABC中，BC＝2AC，∠DBC＝∠ACB＝120°，BD＝BC，CD交边AB于点E．
（1）求∠ACE的度数．
（2）求证：DE＝3CE．
【分析】（1）利用等腰三角形BCD的性质、△DBC的内角和定理和图形中的角与角间的数量关系来求∠ACE的度数；
（2）过点B作BM⊥DC于点M．由全等三角形△BME与△ACE的对应边相等推知ME＝CE＝MC．然后根据等腰三角形“三合一”的性质证得DM＝MC，最后由等量代换证得结论．
【解答】（1）解：∵BD＝BC（已知），
∴∠D＝∠BCD（等边对等角）．
又∵∠DBC＝120°，∠D+∠BCD+∠DBC＝180°（三角形内角和定理），
∴∠D＝∠BCD＝30°．
∵∠ACB＝120°，∠ACB＝∠ACE+∠BCD，
∴∠ACE＝90°；
（2）证明：过点B作BM⊥DC于点M．
在Rt△BMC中，由∠BCD＝30°，得BM＝BC．
∵BC＝2AC，
∴AC＝BC，
∴BM＝AC．
在△BME与△ACE中，
∵，
∴△BME≌△ACE（AAS），
∴ME＝CE＝MC．
∵BD＝BC，BM⊥DC，
∴DM＝MC，
∴ME＝CE＝DM，
∴DE＝3CE．
24．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，t是常数．直线BD平分∠OBA，交x轴于D点．
（1）若AB的中点为M，连接OM交BD于N，求证：ON＝OD；
（2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰Rt△BPF，其中∠BPF＝90°，连接FA并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．
【分析】（1）根据直线解析式求出点A、B的坐标，然后得出△AOB是等腰直角三角形，再根据角平分线的定义求出∠ABD＝22.5°，根据等腰三角形三线合一的性质OM⊥AB，然后根据直角三角形两锐角互余的性质与三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠OND＝67.5°，∠ODB＝67.5°，利用等角对等边得到ON＝OD；
（2）延长AE交BO于C，得△ABE≌△CBE，得到AC＝2AE，再证△OAC≌△OBD得到BD＝AE，从而得到BD＝2AE；
（3）作FH⊥OP，垂足为H，利用角角边定理可以证明△OBP与△HPF全等，根据全等三角形对应边相等可得FH＝OP、PH＝OB＝4，再证AH＝FH，∠FAH＝∠OAG＝45°，OG＝OA＝4t．
【解答】（1）证明：∵直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，
∴a＝b＝4t，
当x＝0时，y＝4t，
当y＝0时，﹣x+4t＝0，
解得x＝4t，
∴点A、B的坐标是A（4t，0），B（0，4t），
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵点M是AB的中点，
∴OM⊥AB，
∴∠MOA＝45°，
∵直线BD平分∠OBA，
∴∠ABD＝∠ABO＝22.5°，
∴∠OND＝∠BNM＝90°﹣∠ABD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∠ODB＝∠ABD+∠BAD＝22.5°+45°＝67.5°，
∴∠OND＝∠ODB，
∴ON＝OD（等角对等边）；
（2）答：BD＝2AE．
理由如下：延长AE交BO于C，
∵BD平分∠OBA，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AE⊥BD于点E，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在△ABE≌△CBE中，，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AE＝CE，
∴AC＝2AE，
∵AE⊥BD，
∴∠OAC+∠ADE＝90°，
又∠OBD+∠BDO＝90°，∠ADE＝∠BDO（对顶角相等），
∴∠OAC＝∠OBD，
在△OAC与△OBD中，，
∴△OAC≌△OBD（ASA），
∴BD＝AC，
∴BD＝2AE；
（3）OG的长不变，且OG＝4t．
过F作FH⊥OP，垂足为H，
∴∠FPH+∠PFH＝90°，
∵∠BPF＝90°，
∴∠BPO+∠FPH＝90°，
∴∠FPH＝∠BPO，
∵△BPF是等腰直角三角形，
∴BP＝FP，
在△OBP与△HPF中，，
∴△OBP≌△HPF（AAS），
∴FH＝OP，PH＝OB＝4t，
∵AH＝PH+AP＝OB+AP，OA＝OB，
∴AH＝OA+OP＝OP，
∴FH＝AH，
∴∠GAO＝∠FAH＝45°，
∴△AOG是等腰直角三角形，
∴OG＝OA＝4t．
2020-2021学年天津市南开区育贤中学八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知∠C＝∠D＝90°，有四个可添加的条件：①AC＝BD；②BC＝AD；③∠CAB＝∠DBA；④∠CBA＝∠DAB．能使△ABC≌△BAD的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列运算正确的是（ ）
A．a+2a2＝3a2 B．a8÷a2＝a4 C．a3•a2＝a6 D．（a3）2＝a6
4．下列说法：
①关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形
②两个全等的三角形关于某条直线对称
③到某条直线距离相等的两个点关于这条直线对称
④如果图形甲和图形乙关于某条直线对称，则图形甲是轴对称图形
其中，正确说法个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，AB＝AC，BD＝EC，AF⊥BC，则图中全等三角形有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
6．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使顶点B落在边AD的E点上，折痕FG交BC于G．交AB于F，若∠AEF＝30°，则∠FGB的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
7．计算：1.42019×（﹣42020）×（）2019×（﹣）2019＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
8．如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，把一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B．梦想飞扬学习小组将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，给出下列结论：①线段AE与AF的长度之和为定值；②∠BEO与∠OFC的度数之和为定值；③四边形AEOF的面积为定值．其中正确的是（ ）
A．仅①正确 B．仅①②正确 C．仅②③正确 D．①②③都正确
9．已知x2n＝3，求（x3n）2﹣3（x2）2n的结果（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
10．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为8，12，10，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△AOC等于（ ）
A．1：1：1 B．2：4：3 C．4：6：5 D．4：6：10
11．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为（ ）
A．4 B．6 C． D．8
12．如图，已知AF＝AB，∠FAB＝60°，AE＝AC，∠EAC＝60°，CF和BE交于O点，则下列结论：①CF＝BE；②∠COB＝120°；③OA平分∠FOE；④OF＝OA+OB．其中正确的有（ ）
A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．若+（b+4）2＝0，则点M（a，b）关于y轴的对称点的坐标为
14．计算：（﹣x）2•x3+（﹣x2）3＝ ．
15．已知等腰三角形一腰上的中线把周长分为15和27两部分，则这个等腰三角形的底边长是 ．
16．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），若点P在坐标轴上，且△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P有 个．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，若点P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 ．
18．如图，已知∠AOB＝α，在射线OA、OB上分别取点OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2＝B1A2，连接A2B2…按此规律上去，记∠A2B1B2＝θ1，∠A3B2B3＝θ2，…，∠An+1BnBn+1＝θn，则：
（1）θ1＝ ；
（2）θn＝ ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分）
19．计算：
（1）（﹣2a2b）2（1﹣2b+a3）．
（2）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷3x2y．
（3）先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）+x2（1﹣x）+x3，其中x＝﹣．
20．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
（1）△ABC的面积为 ．
（2）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于x轴对称的△A1B1C1
（3）指出△A1B1C1的顶点坐标．A1（ ， ），B1（ ， ），C1（ ， ）．
（4）在y轴上画出点Q，使QA+QC最小．
21．如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求证：BF＝DF．
22．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连接AE、DE、DC．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE＝30°，求∠BCD的度数．
23．如图，△ABC中，BC＝2AC，∠DBC＝∠ACB＝120°，BD＝BC，CD交边AB于点E．
（1）求∠ACE的度数．
（2）求证：DE＝3CE．
24．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，t是常数．直线BD平分∠OBA，交x轴于D点．
（1）若AB的中点为M，连接OM交BD于N，求证：ON＝OD；
（2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰Rt△BPF，其中∠BPF＝90°，连接FA并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．
2020-2021学年天津市南开区育贤中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形可得答案．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项错误；
故选：B．
2．如图，已知∠C＝∠D＝90°，有四个可添加的条件：①AC＝BD；②BC＝AD；③∠CAB＝∠DBA；④∠CBA＝∠DAB．能使△ABC≌△BAD的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】要确定添加的条件，首先要看现有的已知条件，∠C＝∠D＝90°，还有一条公共边AB＝AB，具备一角，一边分别对应相等，只要再添加任意一边或任意一角都能使得三角形全等，于是答案可得．
【解答】解：添加①AC＝BD，可根据HL判定△ABC≌△BAD；
添加②BC＝AD，可根据HL判定△ABC≌△BAD
添加③∠CAB＝∠DBA，可根据AAS判定△ABC≌△BAD；
添加④∠CBA＝∠DAB，可根据AAS判定△ABC≌△BAD．
故选：D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．a+2a2＝3a2 B．a8÷a2＝a4 C．a3•a2＝a6 D．（a3）2＝a6
【分析】根据同底数幂的除法、同底数幂的乘法和幂的乘方的性质求解后利用排除法求解．
【解答】解：A、a与2a2不是同类项不能合并，故本选项错误；
B、应为a8÷a2＝a8﹣2＝a6，故本选项错误；
C、应为a3•a2＝a5，故本选项错误；
D、（a3）2＝a6，正确．
故选：D．
4．下列说法：
①关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形
②两个全等的三角形关于某条直线对称
③到某条直线距离相等的两个点关于这条直线对称
④如果图形甲和图形乙关于某条直线对称，则图形甲是轴对称图形
其中，正确说法个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用轴对称图形的性质逐一分析探讨得出答案即可．
【解答】解：①关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形，是正确的；
②两个全等的三角形不一定组成轴对称图形，原题是错误的；
③对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，且到这条直线距离相等的两个点关于这条直线对称，原题错误；
④如果图形甲和图形乙关于某条直线对称，则图形甲不一定是轴对称图形，原题错误．
正确的说法有1个．
故选：A．
5．如图，AB＝AC，BD＝EC，AF⊥BC，则图中全等三角形有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【分析】共有四对．分别为△ABD≌△ACE，△ADF≌△AEF，△ABF≌△ACF，△ABE≌△ADC要从已知条件入手，结合全等的判定方法，通过分析推理，一个个进行验证，做到由易到难，不重不漏．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AB＝AC，BD＝EC，
∴△ABD≌△ACE．（SAS）
∴AD＝AE，
∵AF⊥BC，AF＝AF，
∴△ADF≌△AEF．（HL）
∵AB＝AC，AF＝AF，
∴△ABF≌△ACF．（HL）
∵BE＝CD，AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABE≌△ADC．（SSS）
所以共有四对全等三角形．
故选：C．
6．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使顶点B落在边AD的E点上，折痕FG交BC于G．交AB于F，若∠AEF＝30°，则∠FGB的度数为（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠AFE，再根据翻折变换的性质求出∠BFG，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠AEF＝30°，
∴∠AFE＝90°﹣∠AEF＝90°﹣30°＝60°，
由翻折的性质得，∠BFG＝∠EFG，
∴∠BFG＝（180°﹣∠AFE）＝（180°﹣60°）＝60°，
在Rt△BFG中，∠FGB＝90°﹣∠BFG＝90°﹣60°＝30°．
故选：B．
7．计算：1.42019×（﹣42020）×（）2019×（﹣）2019＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
【分析】直接利用积的乘方运算法则将原式变形得出答案．
【解答】解：1.42019×（﹣42020）×（）2019×（﹣）2019
＝1.42019×（﹣）2019×[（﹣42020）×（）2019]
＝[1.4×（﹣）]2019×[（﹣42019）×（）2019]×4
＝﹣1×（﹣1）×4
＝4．
故选：C．
8．如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，把一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B．梦想飞扬学习小组将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，给出下列结论：①线段AE与AF的长度之和为定值；②∠BEO与∠OFC的度数之和为定值；③四边形AEOF的面积为定值．其中正确的是（ ）
A．仅①正确 B．仅①②正确 C．仅②③正确 D．①②③都正确
【分析】连接AO，易证△EOA≌△FOC（ASA），利用全等三角形的性质可得出EA＝FC，进而可得出AE+AF＝AC，结论①正确；由三角形内角和定理结合∠B+∠C＝90°，∠EOB+∠FOC＝90°可得出∠BEO+∠OFC＝180°，结论②正确；由△EOA≌△FOC可得出S△EOA＝S△FOC，结合图形可得出S四边形AEOF＝S△EOA+S△AOF＝S△FOC+S△AOF＝S△AOC＝S△ABC，结论③正确．
【解答】解：连接AO，如图所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，点O为BC的中点，
∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∠BAO＝∠ACO＝45°．
∵∠EOA+∠AOF＝∠EOF＝90°，∠AOF+∠FOC＝∠AOC＝90°，
∴∠EOA＝∠FOC．
在△EOA和△FOC中，
，
∴△EOA≌△FOC（ASA），
∴EA＝FC，
∴AE+AF＝AF+FC＝AC，
则结论①正确；
∵∠B+∠BEO+∠EOB＝∠FOC+∠C+∠OFC＝180°，∠B+∠C＝90°，∠EOB+∠FOC＝180°﹣∠EOF＝90°，
∴∠BEO+∠OFC＝180°，
则结论②正确；
∵△EOA≌△FOC，
∴S△EOA＝S△FOC，
∴S四边形AEOF＝S△EOA+S△AOF＝S△FOC+S△AOF＝S△AOC＝S△ABC，
则结论③正确．
故选：D．
9．已知x2n＝3，求（x3n）2﹣3（x2）2n的结果（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
【分析】根据幂的乘方，将（x3n）2﹣3（x2）2n进行变形后，再整体代入求值即可．
【解答】解：（x3n）2﹣3（x2）2n
＝（x2n）3﹣3（x2n）2
＝33﹣3×32
＝27﹣27
＝0，
故选：C．
10．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为8，12，10，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△AOC等于（ ）
A．1：1：1 B．2：4：3 C．4：6：5 D．4：6：10
【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是8，10，12，所以面积之比就是4：6：5．
【解答】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵点O是内心，
∴OE＝OF＝OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△AOC＝•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD＝AB：BC：AC＝8：12：10＝4：6：5，
故选：C．
11．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为（ ）
A．4 B．6 C． D．8
【分析】根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，
∴∠AMN＝∠NMC＝∠B，∠NCM＝∠BCM＝∠NMC，
∴∠ACB＝2∠B，NM＝NC，
∴∠B＝30°，
∵AN＝1，
∴MN＝2，
∴AC＝AN+NC＝3，
∴BC＝6，
故选：B．
12．如图，已知AF＝AB，∠FAB＝60°，AE＝AC，∠EAC＝60°，CF和BE交于O点，则下列结论：①CF＝BE；②∠COB＝120°；③OA平分∠FOE；④OF＝OA+OB．其中正确的有（ ）
A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④
【分析】证明△ABE≌△AFC，由全等三角形的性质得到BE＝CF，可得∠AEB＝∠ACF，则∠CON＝∠CAE＝60°＝∠MOB，得出∠BOC＝180°﹣∠CON＝120°；S△ABE＝S△AFC，得到AP＝AQ，利用角平分线的判定定理得AO平分∠EOF，在OF上截取OD＝OB，根据SAS可证明△FBD≌△ABO，得出DF＝OA，由此可以解决问题．
【解答】解：∵△ABF和△ACE是等边三角形，
∴AB＝AF，AC＝AE，∠FAB＝∠EAC＝60°，
∴∠FAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，
即∠FAC＝∠BAE，
在△ABE与△AFC中，
，
∴△ABE≌△AFC（SAS），
∴BE＝FC，∠AEB＝∠ACF，故①正确，
∵∠EAN+∠ANE+∠AEB＝180°，∠CON+∠CNO+∠ACF＝180°，∠ANE＝∠CNO，
∴∠CON＝∠CAE＝60°＝∠MOB，
∴∠BOC＝180°﹣∠CON＝120°，故②正确，
连接AO，过A分别作AP⊥CF与P，AM⊥BE于Q，如图1，
∵△ABE≌△AFC，
∴S△ABE＝S△AFC，
∴•CF•AP＝•BE•AQ，而CF＝BE，
∴AP＝AQ，
∴OA平分∠FOE，所以③正确，
在OF上截取OD＝OB，
∵∠BOF＝60°，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD＝BO，∠DBO＝60°，
∴∠FBD＝∠ABO，
∵BF＝AB，
∴△FBD≌△ABO（SAS），
∴DF＝OA，
∴OF＝DF+OD＝OA+OB；
故④正确；
故选：C．
二．填空题
13．若+（b+4）2＝0，则点M（a，b）关于y轴的对称点的坐标为 （﹣3，﹣4）
【分析】直接利用绝对值的性质偶次方的性质得出a，b的值，再利用关于y轴对称点的性质得出答案．
【解答】解：∵+（b+4）2＝0，
∴a＝3，b＝﹣4，
∴点M（3，﹣4）关于y轴的对称点的坐标为：（﹣3，﹣4）
故答案为：（﹣3，﹣4）．
14．计算：（﹣x）2•x3+（﹣x2）3＝ x5﹣x6． ．
【分析】根据同底数幂的乘法：同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．
【解答】解：（﹣x）2•x3+（﹣x2）3＝x2•x3﹣x6＝x5﹣x6，
故答案为：x5﹣x6．
15．已知等腰三角形一腰上的中线把周长分为15和27两部分，则这个等腰三角形的底边长是 6 ．
【分析】分两种情况讨论：当AB+AD＝15，BC+DC＝27或AB+AD＝27，BC+DC＝15，所以根据等腰三角形的两腰相等和中线的性质可求得，三边长为10，10，22（不合题意，舍去）或18，18，6．所以BC的长为6cm．
【解答】解：设AD＝x则，当2x+x＝15时，x＝5，即AB＝AC＝10，
∵周长是15+27＝42，
∴BC＝22（不符合三角形三边关系，舍去）；
当2x+x＝27时，x＝9，即AB＝AC＝18，
∵周长是15+27＝42，∴BC＝6，
综上可知，底边BC的长为6．
故答案为：6．
16．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），若点P在坐标轴上，且△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P有 8 个．
【分析】连接AB，AB边可能是底边，也可能是腰，得到的等腰三角形共有8个．
【解答】解：如图所示：
①以B为圆心，以AB为半径作圆，交y轴有2点，交x轴有1点（点A除外），此时共3个点；
②以A为圆心，以AB为半径作圆，交y轴有1点（点B除外），交x轴有2点，此时共3个点，
③以AB为底的三角形有2个，点P在AB的垂直平分线上，分别交x轴、y轴各1个点，此时共2个点；
3+3+2＝8，
因此，满足条件的点P有8个，
故答案为：8．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，若点P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 4 ．
【分析】作辅助线，构建PC+PQ的最小值，即CM的值，根据面积法求出CM的长，即PC+PQ的最小值．
【解答】解：如图，过C作CM⊥AB，交AD于P，交AB于M，过P作PQ⊥AC于Q，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴PQ＝PM，
这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝8，
tan30°＝，cos30°＝，
∴AC＝8×＝，AB＝＝，
∴S△ACB＝AC•BC＝AB•CM，
∴×8＝•CM，
∴CM＝4，
∴PC+PQ的最小值为4，
故答案为：4．
18．如图，已知∠AOB＝α，在射线OA、OB上分别取点OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2＝B1A2，连接A2B2…按此规律上去，记∠A2B1B2＝θ1，∠A3B2B3＝θ2，…，∠An+1BnBn+1＝θn，则：
（1）θ1＝ ；
（2）θn＝ ．
【分析】设∠A1B1O＝x，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理得α+2x＝180°，x＝180°﹣θ1，即可求得θ1＝；同理求得θ2＝；即可发现其中的规律，按照此规律即可求得答案．
【解答】解：（1）设∠A1B1O＝x，
则α+2x＝180°，x＝180°﹣θ1，
∴θ1＝；
（2）设∠A2B2B1＝y，
则θ2+y＝180°①，θ1+2y＝180°②，
①×2﹣②得：2θ2﹣θ1＝180°，
∴θ2＝；
…
θn＝．
故答案为：（1）；（2）θn＝．
三．解答题（共6小题）
19．计算：
（1）（﹣2a2b）2（1﹣2b+a3）．
（2）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷3x2y．
（3）先化简，再求值：（x+1）（x﹣1）+x2（1﹣x）+x3，其中x＝﹣．
【分析】（1）根据积的乘方法则、单项式乘多项式的运算法则计算；
（2）根据整式的混合运算法则计算；
（3）根据整式的混合运算法则把原式化简，把x＝﹣代入计算即可．
【解答】解：（1）（﹣2a2b）2（1﹣2b+a3）
＝4a4b2（1﹣2b+a3）
＝4a4b2﹣8a4b3+4a7b2；
（2）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷3x2y
＝（x3y2﹣x2y﹣x2y+x3y2））÷3x2y
＝（2x3y2﹣2x2y）÷3x2y
＝xy﹣；
（3）（x+1）（x﹣1）+x2（1﹣x）+x3
＝x2﹣1+x2﹣x3+x3
＝2x2﹣1，
当x＝﹣时，原式＝2×（﹣）2﹣1＝﹣．
20．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：
（1）△ABC的面积为 5 ．
（2）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于x轴对称的△A1B1C1
（3）指出△A1B1C1的顶点坐标．A1（ 3 ， ﹣4 ），B1（ 1 ， ﹣2 ），C1（ 5 ， ﹣1 ）．
（4）在y轴上画出点Q，使QA+QC最小．
【分析】（1）根据长方形的面积减去三个角上三角形的面积即可；
（2）根据关于x轴对称的点的坐标特点画出△A1B1C1即可；
（3）根据各点在坐标系中的位置写出各点坐标即可；
（4）作点A关于y轴的对称点A′，连接
【解答】解：（1）S△ABC＝3×4﹣×2×2﹣×1×4﹣×2×3＝12﹣2﹣2﹣3＝5．
故答案为：5；
（2）如图所示；
（3）故答案为：A1（ 3，﹣4），B1（ 1，﹣2），C1（5，﹣1）；
（4）由图可知，点Q为所求点．
21．如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求证：BF＝DF．
【分析】先由“ASA”可证△AOB≌△COD，得OB＝OD，再由BE＝DE，得OE垂直平分BD，即可得出结论．
【解答】证明：在△AOB与△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB＝OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上，
∵BE＝DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD，
∴BF＝DF．
22．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连接AE、DE、DC．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE＝30°，求∠BCD的度数．
【分析】（1）由∠ABC为直角，得到∠CBD也为直角，得到一对角相等，再由AB＝CB，BE＝BD，利用SAS即可得到三角形ABE与三角形CBD全等，得证；
（2）由AB＝BC，且∠ABC为直角，得到三角形ABC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC为45°，由∠CAB﹣∠CAE求出∠BAE的度数，根据全等三角形的对应角相等得到∠BAE＝∠BCD，即可求出∠BCD的度数．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，
∴∠ABE＝∠CBD＝90°，…（1分）
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；…（2分）
（2）解：∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠CAB＝45°，…（3分）
又∵∠CAE＝30°，
∴∠BAE＝∠CAB﹣∠CAE＝15°．…（4分）
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BCD＝∠BAE＝15°．…（5分）
23．如图，△ABC中，BC＝2AC，∠DBC＝∠ACB＝120°，BD＝BC，CD交边AB于点E．
（1）求∠ACE的度数．
（2）求证：DE＝3CE．
【分析】（1）利用等腰三角形BCD的性质、△DBC的内角和定理和图形中的角与角间的数量关系来求∠ACE的度数；
（2）过点B作BM⊥DC于点M．由全等三角形△BME与△ACE的对应边相等推知ME＝CE＝MC．然后根据等腰三角形“三合一”的性质证得DM＝MC，最后由等量代换证得结论．
【解答】（1）解：∵BD＝BC（已知），
∴∠D＝∠BCD（等边对等角）．
又∵∠DBC＝120°，∠D+∠BCD+∠DBC＝180°（三角形内角和定理），
∴∠D＝∠BCD＝30°．
∵∠ACB＝120°，∠ACB＝∠ACE+∠BCD，
∴∠ACE＝90°；
（2）证明：过点B作BM⊥DC于点M．
在Rt△BMC中，由∠BCD＝30°，得BM＝BC．
∵BC＝2AC，
∴AC＝BC，
∴BM＝AC．
在△BME与△ACE中，
∵，
∴△BME≌△ACE（AAS），
∴ME＝CE＝MC．
∵BD＝BC，BM⊥DC，
∴DM＝MC，
∴ME＝CE＝DM，
∴DE＝3CE．
24．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，t是常数．直线BD平分∠OBA，交x轴于D点．
（1）若AB的中点为M，连接OM交BD于N，求证：ON＝OD；
（2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰Rt△BPF，其中∠BPF＝90°，连接FA并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．
【分析】（1）根据直线解析式求出点A、B的坐标，然后得出△AOB是等腰直角三角形，再根据角平分线的定义求出∠ABD＝22.5°，根据等腰三角形三线合一的性质OM⊥AB，然后根据直角三角形两锐角互余的性质与三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠OND＝67.5°，∠ODB＝67.5°，利用等角对等边得到ON＝OD；
（2）延长AE交BO于C，得△ABE≌△CBE，得到AC＝2AE，再证△OAC≌△OBD得到BD＝AE，从而得到BD＝2AE；
（3）作FH⊥OP，垂足为H，利用角角边定理可以证明△OBP与△HPF全等，根据全等三角形对应边相等可得FH＝OP、PH＝OB＝4，再证AH＝FH，∠FAH＝∠OAG＝45°，OG＝OA＝4t．
【解答】（1）证明：∵直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，
∴a＝b＝4t，
当x＝0时，y＝4t，
当y＝0时，﹣x+4t＝0，
解得x＝4t，
∴点A、B的坐标是A（4t，0），B（0，4t），
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵点M是AB的中点，
∴OM⊥AB，
∴∠MOA＝45°，
∵直线BD平分∠OBA，
∴∠ABD＝∠ABO＝22.5°，
∴∠OND＝∠BNM＝90°﹣∠ABD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∠ODB＝∠ABD+∠BAD＝22.5°+45°＝67.5°，
∴∠OND＝∠ODB，
∴ON＝OD（等角对等边）；
（2）答：BD＝2AE．
理由如下：延长AE交BO于C，
∵BD平分∠OBA，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AE⊥BD于点E，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在△ABE≌△CBE中，，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AE＝CE，
∴AC＝2AE，
∵AE⊥BD，
∴∠OAC+∠ADE＝90°，
又∠OBD+∠BDO＝90°，∠ADE＝∠BDO（对顶角相等），
∴∠OAC＝∠OBD，
在△OAC与△OBD中，，
∴△OAC≌△OBD（ASA），
∴BD＝AC，
∴BD＝2AE；
（3）OG的长不变，且OG＝4t．
过F作FH⊥OP，垂足为H，
∴∠FPH+∠PFH＝90°，
∵∠BPF＝90°，
∴∠BPO+∠FPH＝90°，
∴∠FPH＝∠BPO，
∵△BPF是等腰直角三角形，
∴BP＝FP，
在△OBP与△HPF中，，
∴△OBP≌△HPF（AAS），
∴FH＝OP，PH＝OB＝4t，
∵AH＝PH+AP＝OB+AP，OA＝OB，
∴AH＝OA+OP＝OP，
∴FH＝AH，
∴∠GAO＝∠FAH＝45°，
∴△AOG是等腰直角三角形，
∴OG＝OA＝4t．
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