2020-2021学年人教版九年级上册数学期中练习试卷

这是一份2020-2021学年人教版九年级上册数学期中练习试卷，共22页。试卷主要包含了方程x2＝x的根是，对于二次函数y＝﹣等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年人教新版九年级上册数学期中练习试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．方程x2＝x的根是（　　）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝0或x＝1 D．x＝0或x＝﹣1
3．抛物线y＝x2﹣4x+9的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（2，﹣5） D．（﹣2，﹣5）
4．在平面直角坐标系xOy中，将点N（﹣2，﹣3）绕点O旋转180°，得到的对应点的坐标是（　　）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，3）
5．已知在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，过点E作AB的平行线交BC于点F．则下列说法不正确的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
6．将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（　　）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x+1）2﹣2
7．如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（　　）m．

A．8.8 B．10 C．12 D．14
8．某商场一月份的营业额为400万元，第一季度营业总额为1600万元，若平均每月增长率为x，则可列方程为（　　）
A．400（1+x）2＝1600
B．400[1+（1+x）+（1+x）2]＝1600
C．400+400x+400x2＝1600
D．400（1+x+2x）＝1600
9．如图，四边形ABCD是正方形，△ADE绕着点A旋转90°后到达△ABF的位置，连接EF，则△AEF的形状是（　　）

A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
10．对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．图象有最低点，其坐标是（1，2）
B．图象有最高点，其坐标是（﹣1，2）
C．当x＜1时，y随x的增大而减小
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，D是边AB上的一点，E是边AC上的一点（D，E均与端点不重合），如果△CDE与△ABC相似，那么CE＝　 　．
12．若m是关于x的方程x2+3x﹣2＝0的一个根，则m2+3m的值为　 　．
13．如图，将△ABC绕点A旋转到△AEF的位置，点E在BC边上，EF与AC交于点G．若∠B＝70°，∠C＝25°，则∠FGC＝　 　°．

14．如图，有一四边形空地ABCD，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积为　 　．

15．抛物线y＝﹣x2+2x﹣（a+5）图象与x轴无交点，则a的取值范围为　 　．
16．如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝　 　．

三．解答题（共4小题，满分39分）
17．（9分）解方程：x2﹣2x﹣4＝0．
18．（9分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（﹣1，8）、B（2，﹣1），与y轴交于点C（0，3），求二次函数的表达式．
19．（9分）如图1，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，点D，E分别在边AC，BC上，且CD＝CE，此时显然AD＝BE，AD⊥BE成立．若保持△ABC不动，将△DCE绕点C逆时针旋转，旋转角为α．
（Ⅰ）如图2，当0°＜α＜90°时，问：AD＝BE，AD⊥BE是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（Ⅱ）如图3，当α＝45°时，延长BE交AD于点F，若CE＝，BC＝3，则线段EF＝　 　（直接写出结果即可）．

20．（12分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．

四．解答题（共3小题，满分29分）
21．（9分）新华商场销售某种商品，每件进货价为40元，市场调研表明：当销售价为80元时，平均每天能售出20件；在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件．
（1）若降价2元，则平均每天销售数量为　 　件；
（2）当每件商品定价多少元时，该商场平均每天销售某种商品利润达到1200元？
22．（10分）问题背景
如图（1），△ABD，△AEC都是等边三角形，△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．
尝试应用
如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边，作等边△ACD和等边△ABE，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD．若BD⊥BC，求的值．
拓展创新
如图（3），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值．

23．（10分）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．
（1）求四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长百分之几；
（2）若该景区仅有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：
购票方式
甲
乙
丙
可游玩景点
A
B
A和B
门票价格
100元/人
80元/人
160元/人
据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万，并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．
①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；
②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？
五．解答题（共3小题，满分34分）
24．（11分）如图所示，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上的一点，且∠BFE＝∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若BC＝4，AB＝3，BE＝3，求BF的长．

25．（11分）如图，矩形ABCD中，已知AB＝6．BC＝8，点E是射线BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F．将△ABE沿直线AE翻折，点B的对应点为点B'．
（1）如图1，若点E为线段BC的中点，延长AB'交CD于点M，求证：AM＝FM；
（2）如图2，若点B'恰好落在对角线AC上，求的值；
（3）若＝，求∠DAB'的正弦值．

26．（12分）若关于x的二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，其图象的顶点为点M，O是坐标原点．
（1）若A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3），求此二次函数的解析式并写出二次函数图象的对称轴；
（2）如图1，若a＞0，b＞0，△ABC为直角三角形，△ABM是以AB＝2的等边三角形，试确定a，b，c的值；
（3）设m，n为正整数，且m≠2，a＝1，t为任意常数，令b＝3﹣mt，c＝﹣3mt，如果对于一切实数t，AB≥|2t+n|始终成立，求m、n的值．


参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
2．解：∵x2﹣x＝0，
∴x（x﹣1）＝0，
则x＝0或x﹣1＝0，
解得：x＝0或x＝1，
故选：C．
3．解：∵抛物线y＝x2﹣4x+9＝（x﹣2）2+5，
∴该抛物线的顶点坐标为（2，5），
故选：B．
4．解：点N（﹣2，﹣3）绕点O旋转180°，得到的对应点的坐标是（2，3），
故选：D．
5．解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴＝，A、B、D选项正确；
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴DE＝BF，
∴，故C选项错误；
故选：C．

6．解：将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 y＝（x﹣1）2+2，
故选：A．
7．解：因为竹竿和旗杆均垂直于地面，所以构成两个相似三角形，
若设旗杆高x米，
则，
∴x＝12．
故选：C．
8．解：∵一月份的营业额为400万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为400×（1+x），
∴三月份的营业额为400×（1+x）×（1+x）＝400×（1+x）2，
∴可列方程为400+400×（1+x）+400×（1+x）2＝1600，
故选：B．
9．解：依题意得，旋转中心为点A，E与F，B与D分别为对应点，旋转角为90°，
∴AE＝AF，∠EAF＝∠DAB＝90°，
∴△AEF为等腰直角三角形．
故选：C．
10．解：A、由于a＝﹣1＜0，所以开口向下，有最大值，故A不符合题意．
B、由二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2可知顶点为（1，2），故B不符合题意．
C、由二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2可知对称轴为x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大，故C不符合题意．
D、二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2可知对称轴为x＝1，当x＞1时，y随x的增大而减小，故D符合题意．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．解：∵AB＝5，AC＝4，BC＝3，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，
当△ABC∽△CDE，如图1，则∠CED＝∠ACB＝90°，∠DCE＝∠A，
∴△ADC为等腰三角形，
∴CE＝AE，
∴CE＝AC＝2；
当△ABC∽△DCE，如图2，则∠CED＝∠ACB＝90°，∠DCE＝∠B，
而∠BCD+∠DCE＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴CD⊥AB，
∴CD＝＝，
∵△ABC∽△DCE，
∴AB：CD＝BC：CE，即5：＝3：CE，
∴CE＝；
当△ABC∽△CED，如图3，∠CDE＝∠ACB＝90°，∠DCE＝∠A，
∴DC＝DA，
∵∠A+∠B＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴DB＝DC，
∴CD＝DA＝DB＝AB＝，
∵△ABC∽△CED，
∴CE：AB＝CD：AC，即CE：5＝：4，
∴CE＝，
综上所述，CE的长为2，，．
故答案为2，，．



12．解：∵m是关于x的方程x2+3x﹣2＝0的一个根，
∴m2+3m﹣2＝0，
∴m2+3m＝2．
故答案为2．
13．解：∵将△ABC绕点A旋转到△AEF的位置，
∴AB＝AE，∠B＝70°，
∴∠BAE＝180°﹣70°×2＝40°，
∴∠FAG＝∠BAE＝40°．
∵将△ABC绕点A旋转到△AEF的位置，
∴△ABC≌△AEF，
∴∠F＝∠C＝25°，
∴∠FGC＝∠FAG+∠F＝40°+25°＝65°．
故答案为：65．
14．解：如图，连接BD，
∵在Rt△ABD中，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，
根据勾股定理得，BD＝5，
在△BCD中，BC＝12，CD＝13，BD＝5，
∴BC2+BD2＝122+52＝132＝CD2，
∴△BCD为直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD
＝AB•AD+BC•BD
＝×3×4+×12×5
＝36．
故答案为：36．

15．解：∵抛物线y＝﹣x2+2x﹣（a+5），
∴该抛物线开口向下，
又∵抛物线y＝﹣x2+2x﹣（a+5）图象与x轴无交点，
∴＜0，
解得a＞﹣8，
故答案为：a＞﹣8．
16．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝5，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵AE＝DG＝1，
∴AG＝4，
∵AF⊥EG，
∴∠BAF+∠AEG＝90°＝∠BAF+∠AFB，
∴∠AFB＝∠AEG，
∴△ABF∽△GAE，
∴，
∴，
∴BF＝，
故答案为．
三．解答题（共4小题，满分39分）
17．解：由原方程移项，得
x2﹣2x＝4，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得
x2﹣2x+1＝5，
配方，得
（x﹣1）2＝5，
∴x＝1±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
18．解：把A（﹣1，8）、B（2，﹣1），C（0，3）都代入y＝ax2+bx+c中，得
，
解得，
∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x+3．
19．解：（Ⅰ）如图，延长BE交AD于H，

∵将△DCE绕点C逆时针旋转，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠CBE＝∠CAD，
又∵∠AMH＝∠BMC，
∴∠AHE＝∠BCM＝90°，
∴BE⊥AD；
（Ⅱ）设AC与DE的交点为O，

∵CE＝，BC＝3，△ACB和△DCE是等腰直角三角形，
∴DE＝CE＝2，AB＝BC＝3，∠CDE＝∠CED＝45°，
∵α＝45°，
∴∠ACD＝∠BCE＝45°，
∴∠COD＝90°，
∴CO⊥DE，
∴DO＝CO＝OE＝1，
∴AO＝2，
∴AD＝＝＝，
∵sin∠ADO＝，
∴，
∴EF＝，
故答案为：．
20．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）根据图形可知：
旋转中心的坐标为：（﹣3，0）．
四．解答题（共3小题，满分29分）
21．解：（1）20+2×2＝24（件）．
故答案为：24．
（2）设每件商品降价x元，则平均每天可销售（20+2x）件，
依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理，得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
当x＝20时，40﹣x＝20＜25，
∴x＝20舍去．
答：当每件商品定价70元时，该商店每天销售利润为1200元．
22．问题背景
解：∵△ABD，△AEC都是等边三角形，
∴∠BAD＝60°，∠CAE＝60°，AD＝AB，AC＝AE，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△ACD≌△AEB（SAS），
∴△ACD可以由△AEB绕点A顺时针旋转60°得到，
即旋转中心是点A，旋转方向是顺时针，旋转角是60°；
尝试应用
∵△ACD和△ABE都是等边三角形，
∴AC＝AD，AB＝AE，∠CAD＝∠BAE＝60°，
∴∠CAB＝∠DAE，
∴△ADE≌△ACB（SAS），
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，DE＝CB，
∵∠ADE＝90°，
∴∠ADF＝90°，
∵∠ADC＝∠ACD＝60°，
∴∠DCF＝∠CDF＝30°，
∴CF＝DF，
∵BD⊥BC，
∴∠BDF＝30°，
∴BF＝DF，
设BF＝x，则CF＝DF＝2x，DE＝3x，
∴；
拓展创新
∵∠ACB＝90°，
∴点C在以AB为直径的圆上运动，取AB的中点D，连接CD，
∴CD＝AB＝1，
如图，过点A作AE⊥AB，且使AE＝AD，连接PE，BE，

∵将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，
∴∠PAC＝90°，PA＝AC，
∵∠EAD＝90°，
∴∠PAE＝∠CAD，
∴△CAD≌△PAE（SAS），
∴PE＝CD＝1，
∵AB＝2，AE＝AD＝1，
∴BE＝＝＝，
∴BP≤BE+PE＝+1，
∴BP的最大值为+1．
23．解：（1）设四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为x，
由题意，得4（1+x）2＝5.76，
解这个方程，得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），
答：四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为20%；
（2）①由题意，得
100×（2﹣10×0.06）+80×（3﹣10×0.04）+（160﹣10）×（2+10×0.06+10×0.04）＝798（万元）．
答：景区六月份的门票总收入为798万元．
②设丙种门票价格降低m元，景区六月份的门票总收入为W万元，
由题意，得
W＝100（2﹣0.06m）+80（3﹣0.04m）+（160﹣m）（2+0.06m+0.04m），
化简，得W＝﹣0.1（m﹣24）2+817.6，
∵﹣0.1＜0，
∴当m＝24时，W取最大值，为817.6万元．
答：当丙种门票价格下降24元时，景区六月份的门票总收入有最大值，最大值是817.6万元．
五．解答题（共3小题，满分34分）
24．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AED，∠D+∠C＝180°，
∵∠AFB+∠BFE＝180°，∠BFE＝∠C，
∴∠AFB+∠C＝180°，
∴∠D＝∠AFB，
∴△ABF∽△EAD；

（2）解：∵AB∥CD，BE⊥CD，
∴∠ABE＝90°
∵AB＝3，BE＝3，
∴在Rt△ABE中，AE＝＝＝6，
∵△ABF∽△EAD，
∴，
∴BF＝2．
25．（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠F＝∠BAF，
由折叠可知：∠BAF＝∠MAF，
∴∠F＝∠MAF，
∴AM＝FM．
（2）解：同（1）的证法可得△ACF是等腰三角形，AC＝CF，
在Rt△ABC中，∵AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝＝10，
∴CF＝AC＝10，
∵AB∥CF，
∴△ABE∽△FCE，
∴；
（3）①当点E在线段BC上时，如图3，AB'的延长线交CD于点M，

由AB∥CF可得：△ABE∽△FCE，
∴，即，
∴CF＝4，
同（1）的证法可得AM＝FM．
设DM＝x，则MC＝6﹣x，则AM＝FM＝10﹣x，
在Rt△ADM中，AM2＝AD2+DM2，即（10﹣x）2＝82+x2，
解得：x＝，
则AM＝10﹣x＝10﹣＝，
∴sin∠DAB'＝＝．
②当点E在BC的延长线上时，如图4，

由AB∥CF可得：△ABE∽△FCE，
∴，即，
∴CF＝4，
则DF＝6﹣4＝2，
设DM＝x，同（1）的证法可得AM＝FM＝2+x，
在Rt△ADM中，AM2＝AD2+DM2，即（2+x）2＝82+x2，
解得：x＝15，
则AM＝2+x＝17，
∴sin∠DAB'＝．
综上所述：当时，∠DAB'的正弦值为或．
26．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），
则﹣8a＝3，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3；
则函数的对称轴为直线x＝1；

（2）△ABM是等边三角形，则点M的纵坐标为：2×sin60°＝，
如图所示，△ABC为直角三角形，则∠ACB＝90°，

设点A、B的横坐标分别为：m、n，即n＝m+2，
△ABM是等边三角形，则点M的坐标为：（m+1，﹣），
抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣2），
将点M的坐标代入上式并解得：a＝，
则抛物线的表达式为：y＝（x﹣m）（x﹣n），
则点C的坐标为：（0， mn），
△ABC为直角三角形，OC2＝OA•OB，即（﹣mn）2＝﹣mn，
解得：mn＝﹣，而n﹣m＝2，
解得：m＝﹣1﹣，n＝1﹣，
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）（x﹣n）＝x2+2x﹣，
故a＝，b＝2，c＝﹣；

（3）y＝ax2+bx+c＝x2+（3﹣mt）x﹣3mt，
则x1+x2＝mt﹣3，x1x2＝﹣3mt，
AB＝x2﹣x1＝＝|mt+3|≥|2t+n|，
则m2t2+6mt+9≥4t2+4tn+n2，
即：（m2﹣4）t2+（6m﹣4n）t+（9﹣n2）≥0，
由题意得：m2﹣4＞0，Δ＝（6m﹣4n）2﹣4（m2﹣4）（9﹣n2）≤0，
解得：mn＝6，
故：m＝3，n＝2或m＝6，n＝1．