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山东省济南市历下区2020-2021学年九年级上学期期中数学试卷 解析版
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这是一份山东省济南市历下区2020-2021学年九年级上学期期中数学试卷 解析版，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年山东省济南市历下区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）
1．下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+2x＝ C．（a2+1）x2＝0 D．x2+y2＝1
2．如图所示的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．一元二次方程x2﹣6x＝3，用配方法变形可得（ ）
A．（x+3）2＝3 B．（x﹣3）2＝3 C．（x+3）2＝12 D．（x﹣3）2＝12
4．在一个不透明的袋子中装有若干个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，记录颜色后放回，共进行了200次操作，其中白球出现了51次，由此估计红球的个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
5．如图，两条直线被三条平行线所截，AB＝4，BC＝6，DF＝9，则DE的长为（ ）
A．3.2 B．3.6 C．4 D．4.2
6．线段AB的长是10，点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC的长为（ ）
A．5﹣ B． C．15﹣3 D．5﹣5
7．函数y＝kx+k与y＝（k≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设榣栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（ ）
A．x（55﹣x）＝375 B．x（55﹣2x）＝375
C．x（55﹣2x）＝375 D．x（55﹣x）＝375
9．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB和AC边上的点，DE∥BC，AD＝3BD，四边形BDEC的面积是28，则△ABC的面积为（ ）
A．61 B．62 C．63 D．64
10．已知点A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）、C（3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1、y2、y3的关系是（ ）
A．y2＞y1＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
11．如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD＝2FA，若盲区EB的长度是6米，则车宽FA的长度为（ ）米．
A． B． C． D．2
12．如图，矩形ABCD中，∠BEF＝90°，点E是AD中点，＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．若＝，则＝ ．
14．关于x的方程x2+4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
15．如图，△OAB和△OCD位似，位似中心是原点O，B点坐标是（6，2），△OAB和△OCD的相似比为2：1，则点D的坐标为 ．
16．如图，小明用相似图形的知识测量旗杆高度，已知小明的眼睛离地面1.5米，他将3米长的标杆竖直放置在身前3米处，此时小明的眼睛、标杆的顶端、旗杆的顶端在一条直线上，通过计算测得旗杆高度为15米，则旗杆和标杆之间距离CE长 米．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，点E是线段AC上的动点，BC＝4，AB＝8，当△ABC和△AED相似时，AE的长为 ．
18．一次函数y＝kx+2的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，a），点O为坐标原点，射线OA交反比例函数y＝的图象于点B，若＝，则m的值为 ．
三．解答题（本大题共8个小题，共78分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．解方程：
（1）x2﹣4x﹣3＝0；
（2）2x（x﹣1）＝x﹣1．
20．如图，已知△ABC∽△ACD，AC＝6，AD＝4，CD＝2AD，求BD和BC的长．
21．2020年10月8日，济南轨道交通2号线地质条件最为复杂、盾构施工难度最大的宝长区间顺利贯通．至此，2号线全部38个单线盾构区间全部贯通．
（1）一名乘客通过此地铁闸口时，选择A闸口通过的概率为 ；
（2）当两名乘客通过此地铁闸口时，请用树状图或列表法求两名乘客选择不同闸口通过的概率．
22．2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．世界卫生组织提出：如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为”超级传播者”．如果某地区有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设一个病毒携带者每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有81人成为新冠肺炎病毒的携带者．
（1）请判断最初的这名病毒携带者是”超级传播者”吗？求他每轮传染的人数；
（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，新冠肺炎病毒的携带者共有多少人？
23．如图，矩形ABCD中AB＝2，AD＝4，动点F在线段CD上运动（不与端点重合），过点D作AF的垂线，交线段BC于点E．
（1）证明：△ADF∽△DCE；
（2）当CF＝1时，求EC的长．
24．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且只有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．
（1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有 ；（只填写序号即可）
①（x﹣1）2＝9；②x2+4x+4＝0；③（x+4）（x﹣2）＝0．
（2）关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“同伴方程”，求m的值；
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）同时满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，且与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，求n的值．
25．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在正比例函数y＝x（x＞0）的图象上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，点P是x轴正半轴上一动点，过点P作x轴的垂线，与正比例函数y＝x（x＞0）的图象交于点C，点B是线段CP与反比例函数的交点，连接AP、AB．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）观察图象，请直接写出当x＞0时，x≤的解集；
（3）若S△ABP＝1，求B点坐标；
（4）点Q是A点右侧双曲线上一动点，是否存在△APQ为以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
26．在数学课堂上，小明同学将两个完全相同的直角三角形重合在一起．如图1所示，∠C＝90°，点A与点D重合，点B与点E重合，CA＝kCB．
（1）操作发现：当k＝1时，将△DCE绕点C顺时针旋转90°，发现此情况下线段BE和线段AD存在特殊的数量和位置关系：①数量关系： ；②位置关系： ；（请直接写出答案）
（2）问题产生：当k＝1时，如图2，将△DCE绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），连接BE、AD，在此情况下（1）中的结论是否还成立呢？请给予你的解释或证明；
（3）问题延伸：将（2）中的条件“k＝1”调整为“k＝2”，如图3，其它条件不变：
①求此条件下线段BE和线段AD数量关系和位置关系；
②在旋转过程中，当E点恰好落在线段AB上时，若BC＝1，求点C到直线AD的距离．
2020-2021学年山东省济南市历下区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+2x＝ C．（a2+1）x2＝0 D．x2+y2＝1
【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．
【解答】解：A、当a≠0时，ax2+bx+c＝0是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
C、a2+1≠0，故（a2+1）x2＝0是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
故选：C．
2．如图所示的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从几何体上面看，2排，上面3个，下面1个，左边2个正方形．
故选：D．
3．一元二次方程x2﹣6x＝3，用配方法变形可得（ ）
A．（x+3）2＝3 B．（x﹣3）2＝3 C．（x+3）2＝12 D．（x﹣3）2＝12
【分析】把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
【解答】解：x2﹣6x＝3，
x2﹣6x+9＝12，
（x﹣3）2＝12．
故选：D．
4．在一个不透明的袋子中装有若干个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，记录颜色后放回，共进行了200次操作，其中白球出现了51次，由此估计红球的个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【分析】设红球有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【解答】解：设红球有x个，
根据题意得：＝，
解得：x≈6，
经检验：x＝6是分式方程的解，
即红球有6个，
故选：B．
5．如图，两条直线被三条平行线所截，AB＝4，BC＝6，DF＝9，则DE的长为（ ）
A．3.2 B．3.6 C．4 D．4.2
【分析】根据平行线分线段成比例代入计算即可解答．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，
∴，
∵DF＝9，
∴DE＝，
故选：B．
6．线段AB的长是10，点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC的长为（ ）
A．5﹣ B． C．15﹣3 D．5﹣5
【分析】根据黄金分割的定义得AC＝AB，即可得出答案．
【解答】解：∵点C是AB的黄金分割点，AB＝10，
∴AC＝AB＝×10＝5﹣5，
故选：D．
7．函数y＝kx+k与y＝（k≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分两种情况讨论，当k＞0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k＜0时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案．
【解答】解：①当k＞0时，y＝kx+k过一、二、三象限；y＝（k≠0）过一、三象限；
②当k＜0时，y＝kx+k过二、三、四象象限；y＝（k≠0）过二、四象限．
观察图形可知，只有B选项符合题意．
故选：B．
8．如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设榣栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（ ）
A．x（55﹣x）＝375 B．x（55﹣2x）＝375
C．x（55﹣2x）＝375 D．x（55﹣x）＝375
【分析】设榣栏AB的长为x米，根据AD+AB+BC＝55且AD＝BC可得AD＝BC＝米，再由长方形的面积公式可得答案．
【解答】解：设榣栏AB的长为x米，则AD＝BC＝米，
根据题意可得，•x•（55﹣x）＝375，
故选：A．
9．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB和AC边上的点，DE∥BC，AD＝3BD，四边形BDEC的面积是28，则△ABC的面积为（ ）
A．61 B．62 C．63 D．64
【分析】先求出，再求出△ADE和△ABC相似，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ADE的面积，再求解即可．
【解答】解：∵AD＝3BD，
∴，
∴，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵四边形BDEC的面积是28，
∴△ABC的面积＝，
故选：D．
10．已知点A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）、C（3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1、y2、y3的关系是（ ）
A．y2＞y1＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
【解答】解：∵在反比例函数y＝中，k＝1＞0，
∴此函数图象在一、三象限，
∵﹣2＜﹣1＜0，
∴点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在第三象限，
∴y1＜y2＜0，
∵3＞0，
∴C（3，y3）点在第一象限，
∴y3＞0，
∴y1，y2，y3的大小关系为y3＞y2＞y1．
故选：D．
11．如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD＝2FA，若盲区EB的长度是6米，则车宽FA的长度为（ ）米．
A． B． C． D．2
【分析】通过作高，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列方程求解即可．
【解答】解：如图，过点P作PM⊥BE，垂足为M，交AF于点N，则PM＝1.6，
设FA＝x米，由3FD＝2FA得，FD＝x＝MN，
∵四边形ACDF是矩形，
∴AF∥CD，
∴△PAF∽△PBE，
∴＝，
即＝，
∴PN＝x，
∵PN+MN＝PM，
∴x+x＝1.6，
解得，x＝，
故选：B．
12．如图，矩形ABCD中，∠BEF＝90°，点E是AD中点，＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由矩形的性质及∠BEF＝90°可推得∠A＝∠D＝90°，∠AEB＝∠EFD，进而判定△ABE∽△DEF，根据相似三角形的性质得出比例式，设AE＝a，用含a的式子分别表示出FC和BC，然后计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
又∵∠BEF＝90°，
∴∠AEB+∠FED＝90°，∠FED+∠EFD＝90°，
∴∠AEB＝∠EFD，
∴△ABE∽△DEF，
∴＝＝，
设AE＝a，
∵点E是AD中点，
∴AE＝DE＝a，
∵＝，
∴＝＝，
∴AB＝a，DF＝a，
∴FC＝DC﹣DF＝AB﹣DF＝a﹣a＝a，
∵BC＝AD＝2AE＝2a，
∴＝＝，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
13．若＝，则＝ ．
【分析】根据比例的性质即可得到结论．
【解答】解：∵＝，
∴＝＝；
故答案为：．
14．关于x的方程x2+4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＞﹣4 ．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程x2+4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝42﹣4×1×（﹣k）＞0，
解得：k＞﹣4．
故答案为k＞﹣4．
15．如图，△OAB和△OCD位似，位似中心是原点O，B点坐标是（6，2），△OAB和△OCD的相似比为2：1，则点D的坐标为 （3，1） ．
【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点坐标．
【解答】解：∵△OAB和△OCD位似，位似中心是原点O，△OAB和△OCD的相似比为2：1，B点坐标是（6，2），
∴点D的坐标为：（6×，2×）即（3，1）．
故答案为：（3，1）．
16．如图，小明用相似图形的知识测量旗杆高度，已知小明的眼睛离地面1.5米，他将3米长的标杆竖直放置在身前3米处，此时小明的眼睛、标杆的顶端、旗杆的顶端在一条直线上，通过计算测得旗杆高度为15米，则旗杆和标杆之间距离CE长 24 米．
【分析】如图，延长FB交EA的延长线于T，设TA＝x米，EC＝y米．利用相似三角形是性质分别求出x，y即可．
【解答】解：如图，延长FB交EA的延长线于T，设TA＝x米，EC＝y米．
由题意，AB＝1.5米，AC＝CD＝3米，EF＝15米．
∵AB∥CD，
∴△TAB∽△TCD，
∴＝，
∴＝，
解得x＝3，
经检验x＝3是分式方程的解，
∵CD∥EF，
∴△TCD∽△TEF，
∴＝，
∴＝，
∴y＝24，
经检验y＝24是分式方程的解，
∴EC＝24（米），
故答案为：24．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，点E是线段AC上的动点，BC＝4，AB＝8，当△ABC和△AED相似时，AE的长为 2或 ．
【分析】利用勾股定理列式求出AB，根据线段中点的定义求出AD，根据翻折的性质可得△ADE≌△A′DE，再根据两边对应成比例夹角相等，两三角形相似，分两种情况列式求解即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝8，BC＝4，
∴AC＝＝＝4，
∵D为AB的中点，
∴AD＝AB＝4，
∴以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
①若△ADE∽△ABC，则＝，
即＝，
解得AE＝2，
②若△AED∽△ABC，则＝，
即＝，
解得AE＝，
综上所述，AE的长为2或．
故答案为：2或．
18．一次函数y＝kx+2的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，a），点O为坐标原点，射线OA交反比例函数y＝的图象于点B，若＝，则m的值为 4 ．
【分析】求出点A（1，1），则OA＝，则OA的表达式为y＝x，若＝，则OB＝2，设点B（t，t），则OB＝t＝2，解得t＝2，故点B（2，2），即可求解．
【解答】解：将点A的坐标代入一次函数和反比例函数表达式得：，解得，
故点A（1，1），则OA＝，
则OA的表达式为y＝x，
若＝，则OB＝2，
设点B（t，t），
则OB＝t＝2，解得t＝2，
故点B（2，2），
将点B的坐标代入y＝得：2＝，
解得m＝4，
故答案为4．
三．解答题
19．解方程：
（1）x2﹣4x﹣3＝0；
（2）2x（x﹣1）＝x﹣1．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x＝3，
∴x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，
则x﹣2＝，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）∵2x（x﹣1）﹣（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（2x﹣1）＝0，
则x﹣1＝0或2x﹣1＝0，
解得x1＝1，x2＝0.5．
20．如图，已知△ABC∽△ACD，AC＝6，AD＝4，CD＝2AD，求BD和BC的长．
【分析】根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可．
【解答】解：∵AD＝4，CD＝2AD，
∴CD＝8，
∵△ABC∽△ACD，
∴＝＝，即＝＝，
解得，AB＝9，BC＝12，
∴BD＝AB﹣AD＝5．
21．2020年10月8日，济南轨道交通2号线地质条件最为复杂、盾构施工难度最大的宝长区间顺利贯通．至此，2号线全部38个单线盾构区间全部贯通．
（1）一名乘客通过此地铁闸口时，选择A闸口通过的概率为 ；
（2）当两名乘客通过此地铁闸口时，请用树状图或列表法求两名乘客选择不同闸口通过的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意先画出树状图得出所有等情况数和两名乘客选择不同闸口通过的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵有A、B、C三个闸口，
∴一名乘客通过此地铁闸口时，选择A闸口通过的概率为；
故答案为：；
（2）根据题意画图如下：
共有9种等情况数，其中两名乘客选择不同闸口通过的有6种，
则两名乘客选择不同闸口通过的概率是＝．
22．2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．世界卫生组织提出：如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为”超级传播者”．如果某地区有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设一个病毒携带者每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有81人成为新冠肺炎病毒的携带者．
（1）请判断最初的这名病毒携带者是”超级传播者”吗？求他每轮传染的人数；
（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，新冠肺炎病毒的携带者共有多少人？
【分析】（1）设每人每轮传染x人，根据经过两轮传染后共有81人成为新冠肺炎病毒的携带者，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值与10比较后即可得出结论；
（2）根据经过3轮传染后病毒携带者的人数＝经过两轮传染后病毒携带者的人数×（1+每人每轮传染的人数），即可求出结论．
【解答】解：（1）设每人每轮传染x人，
依题意，得：1+x+（1+x）•x＝81，
解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去），
∵8＜10，
∴最初的这名病毒携带者不是“超级传播者”；
（2）81×（1+8）＝729（人），
答：若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有729人成为新冠肺炎病毒的携带者．
23．如图，矩形ABCD中AB＝2，AD＝4，动点F在线段CD上运动（不与端点重合），过点D作AF的垂线，交线段BC于点E．
（1）证明：△ADF∽△DCE；
（2）当CF＝1时，求EC的长．
【分析】（1）根据相似三角形的判定得出△ADF∽△DCE即可；
（2）根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝2，∠ADC＝∠BCD＝90°．
又∵AF⊥DE，
∴∠ADF＝∠DCE＝90°，∠DAF＝∠EDC＝90°﹣∠DFA，
∴△ADF∽△DCE；
（2）∵△ADF∽△DCE，
∴，
∵CF＝1，CD＝AB＝2，
∴DF＝CD﹣CF＝1，
∵AD＝4，CD＝2，
∴，
∴CE＝．
24．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且只有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．
（1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有 ①② ；（只填写序号即可）
①（x﹣1）2＝9；②x2+4x+4＝0；③（x+4）（x﹣2）＝0．
（2）关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“同伴方程”，求m的值；
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）同时满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，且与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，求n的值．
【分析】（1）利用题中的新定义判断即可；
（2）根据题中的新定义列出有关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值；
（3）求得两个方程的根，根据“同伴方程”的定义即可得出n的值．
【解答】解：（1）①（x﹣1）2＝9
解得：x1＝4，x2＝﹣2，
②x2+4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝﹣2，
③（x+4）（x﹣2）＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝2
所以，属于“同伴方程”的有①②
故答案是：①②；
（2）一元二次方程x2﹣2x＝0的解为x1＝0，x2＝2，
当相同的根是x＝0时，则m﹣1＝0，解得m＝1；
当相同的根是x＝2时，则4+6+m﹣1＝0，解得m＝﹣9；
综上，m的值为1或﹣9；
（3）∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）同时满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是x2＝1，x2＝﹣1；
∵（x+2）（x﹣n）＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝n，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，
∴n＝1或﹣1．
25．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在正比例函数y＝x（x＞0）的图象上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，点P是x轴正半轴上一动点，过点P作x轴的垂线，与正比例函数y＝x（x＞0）的图象交于点C，点B是线段CP与反比例函数的交点，连接AP、AB．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）观察图象，请直接写出当x＞0时，x≤的解集；
（3）若S△ABP＝1，求B点坐标；
（4）点Q是A点右侧双曲线上一动点，是否存在△APQ为以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）观察图象即可求解；
（3）S△ABP＝BP×（xB﹣xA）＝××|2﹣m|＝1，即可求解；
（4）证明△AMP≌△PNQ（AAS），则AM＝PN，PM＝QN，即n﹣2＝且t﹣n＝3，即可求解．
【解答】解：（1）当x＝2时，y＝x＝3，故点A（2，3），
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：3＝，解得k＝6，
故反比例函数表达式为y＝；
（2）观察图象，请直接写出当x＞0时，x≤的解集为0＜x≤2；
（3）设点B（m，），
则S△ABP＝×BP×（xB﹣xA）＝××|（m﹣2）|＝1，
解得m＝3或1.5（舍弃），
故点B的坐标为（3，2）；
（4）存在，理由：
设点Q的坐标为（t，），点P（n，0），
∵△APQ为以P为直角顶点的等腰直角三角形，故AP＝QP，∠APQ＝90°，
过点A、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
∵∠APM+∠QPN＝90°，∠QPN+∠PQN＝90°，
∴∠APM＝∠PQN，
∵∠AMP＝∠PNQ＝90°，AP＝QP，
∵△AMP≌△PNQ（AAS），
∴AM＝PN，PM＝QN，即n﹣2＝且t﹣n＝3，
解得t＝6，
故点Q（6，1）．
26．在数学课堂上，小明同学将两个完全相同的直角三角形重合在一起．如图1所示，∠C＝90°，点A与点D重合，点B与点E重合，CA＝kCB．
（1）操作发现：当k＝1时，将△DCE绕点C顺时针旋转90°，发现此情况下线段BE和线段AD存在特殊的数量和位置关系：①数量关系： 相等 ；②位置关系： 垂直 ；（请直接写出答案）
（2）问题产生：当k＝1时，如图2，将△DCE绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），连接BE、AD，在此情况下（1）中的结论是否还成立呢？请给予你的解释或证明；
（3）问题延伸：将（2）中的条件“k＝1”调整为“k＝2”，如图3，其它条件不变：
①求此条件下线段BE和线段AD数量关系和位置关系；
②在旋转过程中，当E点恰好落在线段AB上时，若BC＝1，求点C到直线AD的距离．
【分析】（1）将△DCE绕点C顺时针旋转90°时，此时△ABD为等腰直角三角形，即可求解；
（2）证明△BCE≌△ACD（SAS），则∠ADC＝∠BEC，BE＝AD，而∠BEC+∠HEC＝180°，则∠ADC+∠HEC＝180°，即可求解；
（3）①证明△BCE∽△ACD，则＝，∠ADC＝∠BEC，进而求解；②证明△BMC∽△DNC，则，进而求解．
【解答】解：（1）将△DCE绕点C顺时针旋转90°时，此时△ABD为等腰直角三角形，
故BE＝AD且BE⊥AD，
故答案为：相等，垂直；
（2）延长DA、BE交于点H，
由题意知，CB＝CA＝CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝90°，
∵∠BCE+∠ECA＝∠ACD+∠ECA＝90°，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△CBE和ACD中，BC＝AC，∠BCE＝∠ACD，EC＝DC，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴∠ADC＝∠BEC，BE＝AD，
∵∠BEC+∠HEC＝180°，
∴∠ADC+∠HEC＝180°，
在四边形HECD中，∠ECD＝90°，
∴∠H＝90°，即BE⊥AD；
故（1）的结论成立；
（3）①如图2，连接AD交BE的延长线于点H，
由题意知：，∠BCA+∠ECD＝90°，
∵∠BCE+∠ECA＝∠ACD+∠EAC＝90°，
∴∠BCE＝∠ACD，
∴△BCE∽△ACD，
∴＝，∠ADC＝∠BEC，
∵∠BEC+∠HEC＝180°，
∴∠ADC+∠HEC＝180°，
∵在四边形HECD中，∠ECD＝90°，
∴∠BHD＝90°，即BE⊥AD，
故BE＝AD且BE⊥AD；
②如图3，过点C作CM⊥AB于点M，作CN⊥AD于点N，
由①知，∠B＝∠BEC＝∠CAD，
∵∠BMC＝∠CND＝90°，
∴△BMC∽△DNC，
∴，
由三角形ABC的面积得：BC×AC＝CM×AB，则CM＝＝，
故CN＝，
即点C到直线AD的距离为．
2020-2021学年山东省济南市历下区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）
1．下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+2x＝ C．（a2+1）x2＝0 D．x2+y2＝1
2．如图所示的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．一元二次方程x2﹣6x＝3，用配方法变形可得（ ）
A．（x+3）2＝3 B．（x﹣3）2＝3 C．（x+3）2＝12 D．（x﹣3）2＝12
4．在一个不透明的袋子中装有若干个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，记录颜色后放回，共进行了200次操作，其中白球出现了51次，由此估计红球的个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
5．如图，两条直线被三条平行线所截，AB＝4，BC＝6，DF＝9，则DE的长为（ ）
A．3.2 B．3.6 C．4 D．4.2
6．线段AB的长是10，点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC的长为（ ）
A．5﹣ B． C．15﹣3 D．5﹣5
7．函数y＝kx+k与y＝（k≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设榣栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（ ）
A．x（55﹣x）＝375 B．x（55﹣2x）＝375
C．x（55﹣2x）＝375 D．x（55﹣x）＝375
9．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB和AC边上的点，DE∥BC，AD＝3BD，四边形BDEC的面积是28，则△ABC的面积为（ ）
A．61 B．62 C．63 D．64
10．已知点A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）、C（3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1、y2、y3的关系是（ ）
A．y2＞y1＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
11．如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD＝2FA，若盲区EB的长度是6米，则车宽FA的长度为（ ）米．
A． B． C． D．2
12．如图，矩形ABCD中，∠BEF＝90°，点E是AD中点，＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．若＝，则＝ ．
14．关于x的方程x2+4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
15．如图，△OAB和△OCD位似，位似中心是原点O，B点坐标是（6，2），△OAB和△OCD的相似比为2：1，则点D的坐标为 ．
16．如图，小明用相似图形的知识测量旗杆高度，已知小明的眼睛离地面1.5米，他将3米长的标杆竖直放置在身前3米处，此时小明的眼睛、标杆的顶端、旗杆的顶端在一条直线上，通过计算测得旗杆高度为15米，则旗杆和标杆之间距离CE长 米．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，点E是线段AC上的动点，BC＝4，AB＝8，当△ABC和△AED相似时，AE的长为 ．
18．一次函数y＝kx+2的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，a），点O为坐标原点，射线OA交反比例函数y＝的图象于点B，若＝，则m的值为 ．
三．解答题（本大题共8个小题，共78分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．解方程：
（1）x2﹣4x﹣3＝0；
（2）2x（x﹣1）＝x﹣1．
20．如图，已知△ABC∽△ACD，AC＝6，AD＝4，CD＝2AD，求BD和BC的长．
21．2020年10月8日，济南轨道交通2号线地质条件最为复杂、盾构施工难度最大的宝长区间顺利贯通．至此，2号线全部38个单线盾构区间全部贯通．
（1）一名乘客通过此地铁闸口时，选择A闸口通过的概率为 ；
（2）当两名乘客通过此地铁闸口时，请用树状图或列表法求两名乘客选择不同闸口通过的概率．
22．2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．世界卫生组织提出：如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为”超级传播者”．如果某地区有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设一个病毒携带者每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有81人成为新冠肺炎病毒的携带者．
（1）请判断最初的这名病毒携带者是”超级传播者”吗？求他每轮传染的人数；
（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，新冠肺炎病毒的携带者共有多少人？
23．如图，矩形ABCD中AB＝2，AD＝4，动点F在线段CD上运动（不与端点重合），过点D作AF的垂线，交线段BC于点E．
（1）证明：△ADF∽△DCE；
（2）当CF＝1时，求EC的长．
24．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且只有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．
（1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有 ；（只填写序号即可）
①（x﹣1）2＝9；②x2+4x+4＝0；③（x+4）（x﹣2）＝0．
（2）关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“同伴方程”，求m的值；
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）同时满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，且与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，求n的值．
25．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在正比例函数y＝x（x＞0）的图象上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，点P是x轴正半轴上一动点，过点P作x轴的垂线，与正比例函数y＝x（x＞0）的图象交于点C，点B是线段CP与反比例函数的交点，连接AP、AB．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）观察图象，请直接写出当x＞0时，x≤的解集；
（3）若S△ABP＝1，求B点坐标；
（4）点Q是A点右侧双曲线上一动点，是否存在△APQ为以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
26．在数学课堂上，小明同学将两个完全相同的直角三角形重合在一起．如图1所示，∠C＝90°，点A与点D重合，点B与点E重合，CA＝kCB．
（1）操作发现：当k＝1时，将△DCE绕点C顺时针旋转90°，发现此情况下线段BE和线段AD存在特殊的数量和位置关系：①数量关系： ；②位置关系： ；（请直接写出答案）
（2）问题产生：当k＝1时，如图2，将△DCE绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），连接BE、AD，在此情况下（1）中的结论是否还成立呢？请给予你的解释或证明；
（3）问题延伸：将（2）中的条件“k＝1”调整为“k＝2”，如图3，其它条件不变：
①求此条件下线段BE和线段AD数量关系和位置关系；
②在旋转过程中，当E点恰好落在线段AB上时，若BC＝1，求点C到直线AD的距离．
2020-2021学年山东省济南市历下区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+2x＝ C．（a2+1）x2＝0 D．x2+y2＝1
【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．
【解答】解：A、当a≠0时，ax2+bx+c＝0是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
C、a2+1≠0，故（a2+1）x2＝0是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
故选：C．
2．如图所示的几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从几何体上面看，2排，上面3个，下面1个，左边2个正方形．
故选：D．
3．一元二次方程x2﹣6x＝3，用配方法变形可得（ ）
A．（x+3）2＝3 B．（x﹣3）2＝3 C．（x+3）2＝12 D．（x﹣3）2＝12
【分析】把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
【解答】解：x2﹣6x＝3，
x2﹣6x+9＝12，
（x﹣3）2＝12．
故选：D．
4．在一个不透明的袋子中装有若干个红球和2个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，记录颜色后放回，共进行了200次操作，其中白球出现了51次，由此估计红球的个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【分析】设红球有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【解答】解：设红球有x个，
根据题意得：＝，
解得：x≈6，
经检验：x＝6是分式方程的解，
即红球有6个，
故选：B．
5．如图，两条直线被三条平行线所截，AB＝4，BC＝6，DF＝9，则DE的长为（ ）
A．3.2 B．3.6 C．4 D．4.2
【分析】根据平行线分线段成比例代入计算即可解答．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，
∴，
∵DF＝9，
∴DE＝，
故选：B．
6．线段AB的长是10，点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC的长为（ ）
A．5﹣ B． C．15﹣3 D．5﹣5
【分析】根据黄金分割的定义得AC＝AB，即可得出答案．
【解答】解：∵点C是AB的黄金分割点，AB＝10，
∴AC＝AB＝×10＝5﹣5，
故选：D．
7．函数y＝kx+k与y＝（k≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分两种情况讨论，当k＞0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k＜0时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案．
【解答】解：①当k＞0时，y＝kx+k过一、二、三象限；y＝（k≠0）过一、三象限；
②当k＜0时，y＝kx+k过二、三、四象象限；y＝（k≠0）过二、四象限．
观察图形可知，只有B选项符合题意．
故选：B．
8．如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设榣栏AB的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（ ）
A．x（55﹣x）＝375 B．x（55﹣2x）＝375
C．x（55﹣2x）＝375 D．x（55﹣x）＝375
【分析】设榣栏AB的长为x米，根据AD+AB+BC＝55且AD＝BC可得AD＝BC＝米，再由长方形的面积公式可得答案．
【解答】解：设榣栏AB的长为x米，则AD＝BC＝米，
根据题意可得，•x•（55﹣x）＝375，
故选：A．
9．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB和AC边上的点，DE∥BC，AD＝3BD，四边形BDEC的面积是28，则△ABC的面积为（ ）
A．61 B．62 C．63 D．64
【分析】先求出，再求出△ADE和△ABC相似，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ADE的面积，再求解即可．
【解答】解：∵AD＝3BD，
∴，
∴，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵四边形BDEC的面积是28，
∴△ABC的面积＝，
故选：D．
10．已知点A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）、C（3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1、y2、y3的关系是（ ）
A．y2＞y1＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
【解答】解：∵在反比例函数y＝中，k＝1＞0，
∴此函数图象在一、三象限，
∵﹣2＜﹣1＜0，
∴点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在第三象限，
∴y1＜y2＜0，
∵3＞0，
∴C（3，y3）点在第一象限，
∴y3＞0，
∴y1，y2，y3的大小关系为y3＞y2＞y1．
故选：D．
11．如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD＝2FA，若盲区EB的长度是6米，则车宽FA的长度为（ ）米．
A． B． C． D．2
【分析】通过作高，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列方程求解即可．
【解答】解：如图，过点P作PM⊥BE，垂足为M，交AF于点N，则PM＝1.6，
设FA＝x米，由3FD＝2FA得，FD＝x＝MN，
∵四边形ACDF是矩形，
∴AF∥CD，
∴△PAF∽△PBE，
∴＝，
即＝，
∴PN＝x，
∵PN+MN＝PM，
∴x+x＝1.6，
解得，x＝，
故选：B．
12．如图，矩形ABCD中，∠BEF＝90°，点E是AD中点，＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由矩形的性质及∠BEF＝90°可推得∠A＝∠D＝90°，∠AEB＝∠EFD，进而判定△ABE∽△DEF，根据相似三角形的性质得出比例式，设AE＝a，用含a的式子分别表示出FC和BC，然后计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
又∵∠BEF＝90°，
∴∠AEB+∠FED＝90°，∠FED+∠EFD＝90°，
∴∠AEB＝∠EFD，
∴△ABE∽△DEF，
∴＝＝，
设AE＝a，
∵点E是AD中点，
∴AE＝DE＝a，
∵＝，
∴＝＝，
∴AB＝a，DF＝a，
∴FC＝DC﹣DF＝AB﹣DF＝a﹣a＝a，
∵BC＝AD＝2AE＝2a，
∴＝＝，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
13．若＝，则＝ ．
【分析】根据比例的性质即可得到结论．
【解答】解：∵＝，
∴＝＝；
故答案为：．
14．关于x的方程x2+4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＞﹣4 ．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的方程x2+4x﹣k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝42﹣4×1×（﹣k）＞0，
解得：k＞﹣4．
故答案为k＞﹣4．
15．如图，△OAB和△OCD位似，位似中心是原点O，B点坐标是（6，2），△OAB和△OCD的相似比为2：1，则点D的坐标为 （3，1） ．
【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点坐标．
【解答】解：∵△OAB和△OCD位似，位似中心是原点O，△OAB和△OCD的相似比为2：1，B点坐标是（6，2），
∴点D的坐标为：（6×，2×）即（3，1）．
故答案为：（3，1）．
16．如图，小明用相似图形的知识测量旗杆高度，已知小明的眼睛离地面1.5米，他将3米长的标杆竖直放置在身前3米处，此时小明的眼睛、标杆的顶端、旗杆的顶端在一条直线上，通过计算测得旗杆高度为15米，则旗杆和标杆之间距离CE长 24 米．
【分析】如图，延长FB交EA的延长线于T，设TA＝x米，EC＝y米．利用相似三角形是性质分别求出x，y即可．
【解答】解：如图，延长FB交EA的延长线于T，设TA＝x米，EC＝y米．
由题意，AB＝1.5米，AC＝CD＝3米，EF＝15米．
∵AB∥CD，
∴△TAB∽△TCD，
∴＝，
∴＝，
解得x＝3，
经检验x＝3是分式方程的解，
∵CD∥EF，
∴△TCD∽△TEF，
∴＝，
∴＝，
∴y＝24，
经检验y＝24是分式方程的解，
∴EC＝24（米），
故答案为：24．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，点E是线段AC上的动点，BC＝4，AB＝8，当△ABC和△AED相似时，AE的长为 2或 ．
【分析】利用勾股定理列式求出AB，根据线段中点的定义求出AD，根据翻折的性质可得△ADE≌△A′DE，再根据两边对应成比例夹角相等，两三角形相似，分两种情况列式求解即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝8，BC＝4，
∴AC＝＝＝4，
∵D为AB的中点，
∴AD＝AB＝4，
∴以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
①若△ADE∽△ABC，则＝，
即＝，
解得AE＝2，
②若△AED∽△ABC，则＝，
即＝，
解得AE＝，
综上所述，AE的长为2或．
故答案为：2或．
18．一次函数y＝kx+2的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，a），点O为坐标原点，射线OA交反比例函数y＝的图象于点B，若＝，则m的值为 4 ．
【分析】求出点A（1，1），则OA＝，则OA的表达式为y＝x，若＝，则OB＝2，设点B（t，t），则OB＝t＝2，解得t＝2，故点B（2，2），即可求解．
【解答】解：将点A的坐标代入一次函数和反比例函数表达式得：，解得，
故点A（1，1），则OA＝，
则OA的表达式为y＝x，
若＝，则OB＝2，
设点B（t，t），
则OB＝t＝2，解得t＝2，
故点B（2，2），
将点B的坐标代入y＝得：2＝，
解得m＝4，
故答案为4．
三．解答题
19．解方程：
（1）x2﹣4x﹣3＝0；
（2）2x（x﹣1）＝x﹣1．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x＝3，
∴x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，
则x﹣2＝，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）∵2x（x﹣1）﹣（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（2x﹣1）＝0，
则x﹣1＝0或2x﹣1＝0，
解得x1＝1，x2＝0.5．
20．如图，已知△ABC∽△ACD，AC＝6，AD＝4，CD＝2AD，求BD和BC的长．
【分析】根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可．
【解答】解：∵AD＝4，CD＝2AD，
∴CD＝8，
∵△ABC∽△ACD，
∴＝＝，即＝＝，
解得，AB＝9，BC＝12，
∴BD＝AB﹣AD＝5．
21．2020年10月8日，济南轨道交通2号线地质条件最为复杂、盾构施工难度最大的宝长区间顺利贯通．至此，2号线全部38个单线盾构区间全部贯通．
（1）一名乘客通过此地铁闸口时，选择A闸口通过的概率为 ；
（2）当两名乘客通过此地铁闸口时，请用树状图或列表法求两名乘客选择不同闸口通过的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意先画出树状图得出所有等情况数和两名乘客选择不同闸口通过的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵有A、B、C三个闸口，
∴一名乘客通过此地铁闸口时，选择A闸口通过的概率为；
故答案为：；
（2）根据题意画图如下：
共有9种等情况数，其中两名乘客选择不同闸口通过的有6种，
则两名乘客选择不同闸口通过的概率是＝．
22．2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．世界卫生组织提出：如果1人传播10人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，那么这个传播者就可以称为”超级传播者”．如果某地区有1人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设一个病毒携带者每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有81人成为新冠肺炎病毒的携带者．
（1）请判断最初的这名病毒携带者是”超级传播者”吗？求他每轮传染的人数；
（2）若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，新冠肺炎病毒的携带者共有多少人？
【分析】（1）设每人每轮传染x人，根据经过两轮传染后共有81人成为新冠肺炎病毒的携带者，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其正值与10比较后即可得出结论；
（2）根据经过3轮传染后病毒携带者的人数＝经过两轮传染后病毒携带者的人数×（1+每人每轮传染的人数），即可求出结论．
【解答】解：（1）设每人每轮传染x人，
依题意，得：1+x+（1+x）•x＝81，
解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去），
∵8＜10，
∴最初的这名病毒携带者不是“超级传播者”；
（2）81×（1+8）＝729（人），
答：若不加以控制传染渠道，经过3轮传染，共有729人成为新冠肺炎病毒的携带者．
23．如图，矩形ABCD中AB＝2，AD＝4，动点F在线段CD上运动（不与端点重合），过点D作AF的垂线，交线段BC于点E．
（1）证明：△ADF∽△DCE；
（2）当CF＝1时，求EC的长．
【分析】（1）根据相似三角形的判定得出△ADF∽△DCE即可；
（2）根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝2，∠ADC＝∠BCD＝90°．
又∵AF⊥DE，
∴∠ADF＝∠DCE＝90°，∠DAF＝∠EDC＝90°﹣∠DFA，
∴△ADF∽△DCE；
（2）∵△ADF∽△DCE，
∴，
∵CF＝1，CD＝AB＝2，
∴DF＝CD﹣CF＝1，
∵AD＝4，CD＝2，
∴，
∴CE＝．
24．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且只有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．
（1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有 ①② ；（只填写序号即可）
①（x﹣1）2＝9；②x2+4x+4＝0；③（x+4）（x﹣2）＝0．
（2）关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“同伴方程”，求m的值；
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）同时满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，且与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，求n的值．
【分析】（1）利用题中的新定义判断即可；
（2）根据题中的新定义列出有关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值；
（3）求得两个方程的根，根据“同伴方程”的定义即可得出n的值．
【解答】解：（1）①（x﹣1）2＝9
解得：x1＝4，x2＝﹣2，
②x2+4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝﹣2，
③（x+4）（x﹣2）＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝2
所以，属于“同伴方程”的有①②
故答案是：①②；
（2）一元二次方程x2﹣2x＝0的解为x1＝0，x2＝2，
当相同的根是x＝0时，则m﹣1＝0，解得m＝1；
当相同的根是x＝2时，则4+6+m﹣1＝0，解得m＝﹣9；
综上，m的值为1或﹣9；
（3）∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）同时满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是x2＝1，x2＝﹣1；
∵（x+2）（x﹣n）＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝n，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，
∴n＝1或﹣1．
25．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在正比例函数y＝x（x＞0）的图象上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，点P是x轴正半轴上一动点，过点P作x轴的垂线，与正比例函数y＝x（x＞0）的图象交于点C，点B是线段CP与反比例函数的交点，连接AP、AB．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）观察图象，请直接写出当x＞0时，x≤的解集；
（3）若S△ABP＝1，求B点坐标；
（4）点Q是A点右侧双曲线上一动点，是否存在△APQ为以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）观察图象即可求解；
（3）S△ABP＝BP×（xB﹣xA）＝××|2﹣m|＝1，即可求解；
（4）证明△AMP≌△PNQ（AAS），则AM＝PN，PM＝QN，即n﹣2＝且t﹣n＝3，即可求解．
【解答】解：（1）当x＝2时，y＝x＝3，故点A（2，3），
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：3＝，解得k＝6，
故反比例函数表达式为y＝；
（2）观察图象，请直接写出当x＞0时，x≤的解集为0＜x≤2；
（3）设点B（m，），
则S△ABP＝×BP×（xB﹣xA）＝××|（m﹣2）|＝1，
解得m＝3或1.5（舍弃），
故点B的坐标为（3，2）；
（4）存在，理由：
设点Q的坐标为（t，），点P（n，0），
∵△APQ为以P为直角顶点的等腰直角三角形，故AP＝QP，∠APQ＝90°，
过点A、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
∵∠APM+∠QPN＝90°，∠QPN+∠PQN＝90°，
∴∠APM＝∠PQN，
∵∠AMP＝∠PNQ＝90°，AP＝QP，
∵△AMP≌△PNQ（AAS），
∴AM＝PN，PM＝QN，即n﹣2＝且t﹣n＝3，
解得t＝6，
故点Q（6，1）．
26．在数学课堂上，小明同学将两个完全相同的直角三角形重合在一起．如图1所示，∠C＝90°，点A与点D重合，点B与点E重合，CA＝kCB．
（1）操作发现：当k＝1时，将△DCE绕点C顺时针旋转90°，发现此情况下线段BE和线段AD存在特殊的数量和位置关系：①数量关系： 相等 ；②位置关系： 垂直 ；（请直接写出答案）
（2）问题产生：当k＝1时，如图2，将△DCE绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），连接BE、AD，在此情况下（1）中的结论是否还成立呢？请给予你的解释或证明；
（3）问题延伸：将（2）中的条件“k＝1”调整为“k＝2”，如图3，其它条件不变：
①求此条件下线段BE和线段AD数量关系和位置关系；
②在旋转过程中，当E点恰好落在线段AB上时，若BC＝1，求点C到直线AD的距离．
【分析】（1）将△DCE绕点C顺时针旋转90°时，此时△ABD为等腰直角三角形，即可求解；
（2）证明△BCE≌△ACD（SAS），则∠ADC＝∠BEC，BE＝AD，而∠BEC+∠HEC＝180°，则∠ADC+∠HEC＝180°，即可求解；
（3）①证明△BCE∽△ACD，则＝，∠ADC＝∠BEC，进而求解；②证明△BMC∽△DNC，则，进而求解．
【解答】解：（1）将△DCE绕点C顺时针旋转90°时，此时△ABD为等腰直角三角形，
故BE＝AD且BE⊥AD，
故答案为：相等，垂直；
（2）延长DA、BE交于点H，
由题意知，CB＝CA＝CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝90°，
∵∠BCE+∠ECA＝∠ACD+∠ECA＝90°，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△CBE和ACD中，BC＝AC，∠BCE＝∠ACD，EC＝DC，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴∠ADC＝∠BEC，BE＝AD，
∵∠BEC+∠HEC＝180°，
∴∠ADC+∠HEC＝180°，
在四边形HECD中，∠ECD＝90°，
∴∠H＝90°，即BE⊥AD；
故（1）的结论成立；
（3）①如图2，连接AD交BE的延长线于点H，
由题意知：，∠BCA+∠ECD＝90°，
∵∠BCE+∠ECA＝∠ACD+∠EAC＝90°，
∴∠BCE＝∠ACD，
∴△BCE∽△ACD，
∴＝，∠ADC＝∠BEC，
∵∠BEC+∠HEC＝180°，
∴∠ADC+∠HEC＝180°，
∵在四边形HECD中，∠ECD＝90°，
∴∠BHD＝90°，即BE⊥AD，
故BE＝AD且BE⊥AD；
②如图3，过点C作CM⊥AB于点M，作CN⊥AD于点N，
由①知，∠B＝∠BEC＝∠CAD，
∵∠BMC＝∠CND＝90°，
∴△BMC∽△DNC，
∴，
由三角形ABC的面积得：BC×AC＝CM×AB，则CM＝＝，
故CN＝，
即点C到直线AD的距离为．
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