小学数学7 数学广角——植树问题教案设计

植树问题教学设计

   教学目标：

     1、经历用“一一对应”的数学思想方法解决“摆花盆问题”的过程，初步学会运用对应思想解决一些简单的实际问题，体会对应思想的妙处。

    2、通过观察、比较、概括等数学活动，理解植树问题、排队问题等实际问题都有着相同的数学结构，能够运用总结出的思想、方法灵活地解决简单的实际问题，发展思维能力。

     3．激发对数学问题的好奇心，增强用数学的眼光观察、分析事物的意识和能力。

教学重点：

    理解植树问题、排队问题等实际问题都有着相同的数学结构，能够应用总结出的思想、方法解决一些简单的实际问题。

教学难点：

    理解植树问题、排队问题等实际问题都有着相同的数学结构。

教学过程：

一、引入。

1、引出“一一对应”思想

师：同学们，请看大屏幕，今天咱们要研究的是——生：植树问题。（板书课题）

在研究这个问题之前，老师有个小问题想请你们解决，愿意吗？

（生：愿意）

师：请看，（课件出示题目）我想比较苹果和梨，你们有什么方法让我们很快就能看出谁多谁少？

师：真是善于思考的孩子，把苹果和梨摆放整齐，然后一个苹果和一个梨对着，就很容易看出苹果比梨多1个。这题目，对于大家来说实在是太简单了，不过，题目虽然简单，可它里面蕴含着一个对一个，也就是“一一对应”的数学思想，可不简单，在数学上它能帮我们解决许多问题呢。

2、深入体会“一一对应”思想

（1）师：请看大屏幕，同学们在学校操场边种了5棵树，排成一行，为了美化校园环境，同学们又想在每相邻的两棵树之间摆一盆花，头和尾都不放花，一共摆了多少盆花？

师：头和尾都不放花，如何摆放花盆？请大家拿出练习本试着画图解决这一问题，全班交流。

生1：（画图）头和尾都不放花，第一盆花放在第一棵树和第二棵树之间，把最后一盆花放在第四和第五棵树之间，一共有5棵树，就有4个“空”，所以摆了4盆花。

师：这个“空”，数学上称为“间隔”。用画图的方法很容易看出5棵树之间有4个间隔，要在每个间隔处摆一盆花，知道了间隔数，就知道了花的盆数。

（2）师：现在我们把5棵改成10棵，还是两头都不摆，一共可以摆多少盆花？赶紧数一数。

生：有9个间隔，也就可以摆9盆花

（3）师：假如有100棵树排成一行，还是这样，每相邻两棵树之间摆一盆花，头和尾都不放花，一共摆了多少盆花呢？

生独立思考，全班交流。

生2：100棵树排成一行，就有99个间隔，所以能摆99盆花。

师：你怎么知道有99个间隔呢？

生3：5棵树有4个间隔，10棵树有9个间隔，所以，100棵树就有99个间隔。

师：这是一种合理的推想，有道理。还有别的方法吗？

生4：你看，从头开始，一棵树一盆花，一棵树一盆花，最后这棵树很孤单，后面没有了花盆，所以花的盆数比树的棵数少1，一共可以放99盆花。

师：听懂他的意思了吗？

生（齐）：听懂了。

师：尽管数变大了，我们还可以用画图的方法来分析问题（课件出示图示）。可以像生3那样思考问题：从头开始，一棵树对应一盆花，一棵树对应一盆花，最后这棵树很孤单，没有花盆和它对应，所以花盆数比树的棵数少1，一共可以放99盆花。这种方法好不好？（生：好）数学上把这种方法称为“一一对应”（板书：一一对应）。我们借助于画图和“一一对应”的方法，就容易找到树的棵数与花盆数之间的关系。

（设计意图：通过设计了“在两棵树之间摆花盆”的情境，从9棵树到100棵树，由少到多，由看到推理再到算，从直观图示中能直接看到间隔数比棵树少1的关系，同时运用“一一对应”的方法清除地理解了为什么间隔数比棵树少1，这不只是量的增多，更是质的提高。不知不觉中，学生从中体会到了“一一对应”思想的妙处，不管花盆数和树的棵数是多还是少，棵数与花盆数的个数始终相差１。）

（4）师：假如还是这100棵树，每相邻两棵树之间放一盆花，头和尾都放花，一共可以放多少盆花呢？

学生独立思考，师生交流。

师：放了多少盆花？

生（齐）：101盆。

师：说说你是怎么想的？

生1：刚才“头和尾都不放花”时，可以放99盆，现在头和尾多了2盆花，用99+2=101，所以放了101盆花。

师：他联系了上题的结果，比较两题放法的不同，得出101盆，是个很好的办法。还有别的想法吗？

生2：我是这样想的，开头是花盆，结尾也是花盆，一个花盆对应一棵树，一个花盆对应一棵树，依次类推，最后剩下一盆花，花盆比树多1，所以100+1=101

课件演示，借助图示用“一一对应”的方法说明：间隔数比树的棵数多1。

（5）师：为什么一会儿间隔数比棵树多1，一会儿间隔数比棵树少1呢？

生：第一种情况是头和尾都不放花，这样开头是树，结尾也是树，一棵树对应一个花盆，依次类推，最后剩下一盆花，树比花盆多1，也就是花盆比树少1。第二种情况是头和尾都放花，开头是花盆，结尾也是花盆，一个花盆对应一棵树，一个花盆对应一棵树，依次类推，最后剩下一盆花，花盆比树多1。

师：说得真好，我一起再来看一下。（课件演示）

（设计意图：为什么一会儿间隔数比棵树多1，一会儿间隔数比棵树少1呢？是学生比较困惑的地方，我运用课件演示，让学生清楚的知道，头和尾都不放花，这样开头是树，结尾也是树，一棵树对应一个花盆，依次类推，最后剩下一盆花，树比花盆多1，也就是花盆比树少1。第二种情况是头和尾都放花，开头是花盆，结尾也是花盆，一个花盆对应一棵树，一个花盆对应一棵树，依次类推，最后剩下一盆花，花盆比树多1。让学生知其然还要知道知其所以然。）

（6）还是这100棵树，如果开头放花，而末尾不放花，一共要放多少花呢？

学生独立思考，师生交流。

生3：开头放花，一盆花对应一棵树，一盆花对应一棵树，这样一组一组地对应下来，没有剩下的，所以花盆数与树的棵数一样多，放了100盆花。

借助图示用“一一对应”的方法说明：间隔数和树的棵数一样多。

小结：同学们，刚才我们在解决摆花盆的问题时，采用的是什么方法，（一一对应）我们借助画图和“一一对应”的方法能既准确又快捷地找到答案。

（设计意图：围绕“树的棵数”和“花盆数”之间的关系，不断地进行变式练习，但万变不离其宗——“一一对应”思想。学生依据表象，灵活地运用这一思想方法，在不断的运用中，“一一对应”这一思想方法逐步深入人心，最终将内化为学生的数学素养。）

二、展开。

1、应用“一一对应”思想解决问题。

师：是不是这个方法只运用于摆花盆的问题呢？（不是）你们认为它肯定还能解决别的问题，是吧？那就试试能不能用它解决下面这个植树问题吧。

园林队沿500米长的公路一侧植树（两端都种），每隔10米种一棵，一共种了多少棵？

学生独立思考、尝试解决，个别板演：500÷10+1=51（棵）

师：500÷10求的是什么？

生1：间隔数。

师：用总长度除以每个间隔的长度，就求出了“间隔数”。（板书：总长度÷间隔长度=间隔数）求树的棵数为什么要“+1”呢？

生2：因为两头都种，树的棵数比间隔数多1，所以要“+1”。

借助图示反馈，应用“一一对应”思想进行验证。

师：如果是“两端都不种”呢？能种多少棵？

生3:51－2=49（棵），两端都种时种了49棵，现在两端都不种，就少了2棵，就是49棵。

生4：我是这样想的，间隔数还是50个，两端都种，开头的是树，一棵树对应一个间隔，结尾的是树，一组一组对应完以后，最后还剩下1棵树，所以树比间隔数多1，就是49棵树。

师：如果是“一端种树一端不种“呢？一共种了多少棵？

生5:种了50棵，因为开头的是树，结尾的是间隔，一棵树对应一个间隔，最后没有剩下的了，所以间隔数和树的棵数一样多。

师：对，找到了间隔数，不管你是什么种法，都可以用一一对应的方法找到正确答案。

2、数学建模

师：想一想，生活中还有什么事情跟摆花盆这样的问题类似，可以用“一一对应”的方法来解决？

师生交流，逐步出示：植树问题、路灯问题、锯木问题、排队问题、爬楼问题等等。

师：想一想，在这些问题中谁和谁是“一一对应”的？同桌互相说一说。

小组讨论，然后全班交流，师借助图示帮助学生理解。

生1：我们讨论的是路灯问题，路灯数和间隔数一一对应。

生2：锯木问题里，锯的次数和锯的段数一一对应。

师：锯的段数也就是间隔数，锯的次数也和间隔数一一对应。

生3：排队问题里，人数和间隔数一一对应。

生4：植树问题里，树的棵数和间隔数一一对应。

生5：爬楼问题里，爬的楼梯数和楼层数一一对应。

师：在爬楼问题里，两层之间的楼梯数也就是两个楼层的间隔，楼层数与间隔数——

生：一一对应。

师：大家想一想，这些问题有什么共同特点？

生：它们都与“间隔”有关。

师：对，不管是树的棵数，路灯数，排队的人数，楼层数，还是锯的次数，它们都与“间隔数”一一对应，属于同一类数学问题。在数学上，这些问题统称为“分隔问题”。（板书：分隔问题）你认为要解决分隔问题，关键是找到什么？

生：找到间隔数。

师：对，找到了间隔数，再按照一一对应的方法，就能找到跟它对应的数量了。

（设计意图：几乎每个学生在生活中都遇到过间隔现象，但是大多数学生都没有研究过间隔现象。让学生带着刚刚明确的“对应思想”重返生活，有意识地关注过去没有注意的现象，经历从诸多实际问题中抽取出植树问题模型的过程，使学生清楚地认识到所有这些具体问题事实上都有着相同的数学结构，即可以被归结为同一个数学模式，巩固、深化对“对应思想”的理性认识，发展学生的数学思维。）

三、应用。

1、一条马路的一边一共安装了15盏路灯（两头都装），相邻两个路灯之间的距离是20米，这条小路长多少米？

学生独立审题、解答，个别板演，全班交流。

师：“15－1”求的是什么？

生1：求的是“间隔数”。

师：为什么要“－1”呢？

生2：因为“两头都装”，所以间隔数比路灯数少1。（借助图示反馈）

小结：用间隔长度×间隔数，就求出了小路的长度。

2、（出示）学校教学楼每层楼梯有24个台阶，老师从一楼开始一共走了72个台阶。老师走到了第几层？

学生独立思考，个别板演。

师：72÷24=3，求的是什么？

生1：求的是“间隔数”。

师：为什么要用“间隔数+1”呢？

生2：因为上一楼不需要走台阶的，走一个“24个台阶”就到二楼了，走2个“24个台阶”到三楼，走3个“24个台阶”到4楼。

师：也就是说，楼层数比间隔数——

生（齐）：多1。

借助画图反馈，应用“一一对应”思想进行验证。

师：如果王老师从一楼走到了五楼，他一共走了多少个台阶呢？

生3：24×（5－1）=96（个），他一共走了96个台阶。

借助画图反馈，应用“一一对应”思想进行验证。

（设计意图：对应思想在实际生活中应用比较广泛，让学生理解并运用这一数学思想方法解决一些简单的实际问题，不仅有利于提高他们用数学解决问题的能力，同时也可使他们感受数学思想方法的奇妙与作用，受到数学思维的训练，逐步形成有序地、严密地思考问题的意识。同时，在教学中明确提出“分隔问题”这样一个概念，并清楚地总结出相关的计算法则“路的长度÷间隔长度＝间隔数”，再利用适当的图形以帮助学生很好地建构起相应的数学模式，包括通过正、反两个方面的练习帮助学生更好地去掌握这一模式，有利于学生思维能力的发展。）

 四、小结

今天同学们认真思考，通过画图和一一对应的方法对植树问题的三种情况进行了分析，理解了间隔数和棵数之间的关系。其实关于植树问题及生活中类似于植树问题的事情还有许多值得我们去研究的，但老师觉得如果你掌握了解决问题的方法，那么对你解决其它问题一定会有很大的帮助。