数学青岛版3.5 三角形的内切圆精品精练
展开绝密★启用前
3.5三角形的内切圆同步练习
青岛版初中数学九年级上册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
- 如图，等腰的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，则的长是
A.
B.
C.
D.
- 如图，在中，点为的内心，，，则的面积是
A.
B.
C.
D.
- 如图，在中，，、为的角平分线，交的延长线于点若，则点到直线的距离的最大值等于
A.
B.
C.
D.
- 中，，，内切圆半径为，则三角形的周长为
A. B. C. D.
- 已知中，，，点是的内心，则的大小为
A. B. C. D.
- 在中，，，则这个三角形的内切圆的半径是
A. B. C. 或 D. 或
- 若一直角三角形的斜边长为，内切圆半径是，则内切圆的面积与三角形面积之比是
A. B. C. D.
- 如图，是的内心，已知，则的度数是
A.
B.
C.
D.
- 已知的外心为，内心为，，则的度数为
A. B. C. 或 D. 或
- 如图，为的内切圆，，，，点，分别为，上的点，且为的切线，则的周长为
A.
B.
C.
D.
- 如图所示，在中，，，，点是的内心，作于，则的长为
A. B. C. D.
- 如图，不等边内接于，是其内心，，，，则的长为
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
- 在中，，，，是的内切圆，则的半径为______．
- 如图所示的网格由边长为个单位长度的小正方形组成，点、、在直角坐标系中的坐标分别为，，，则内心的坐标为______．
|
- 已知三角形的三边分别为，，，则这个三角形内切圆的半径是______．
- 如图，在直角三角形中，，，点为的内心，点为斜边的中点，则的长为______．
|
- 如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，，，则阴影部分即四边形的面积是____________．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）
- 在中，，，，它的内切圆与，，分别相切于点，，求，，的长．
- 如图，中，，，，它的内切圆分别和，，切于点，，，求，和的长．
|
- 如图，在中，，，在同一平面内，内部一点到，，的距离都等于为常数，到点的距离等于的所有点组成图形．
直接写出的值；
连接并延长，交于点，过点作于点．
求证：；
求直线与图形的公共点个数．
- 如图，的内切圆与，，分别相切于，，，且，，求，，的长．
|
- 如图，是直角三角形，，，．
请画出的内切圆，圆心为；
的半径为 ．
- 如图，是的切线，切点为，是的直径，连接交于过点作于点，交于，连接，．
求证：是的切线；
求证：为的内心；
若，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．
连接、、、，交于，利用切线的性质和切线长定理得到平分，，，，再根据等腰三角形的性质判断点、、共线，，利用勾股定理计算出，则，设的半径为，则，，利用勾股定理得到，解得，于是可计算出，然后证明垂直平分，利用面积法求出，从而得到的长．
【解答】
解：连接、、、，交于，如图，
等腰的内切圆与，，分别相切于点，，，
平分，，，，
，
，
点、、共线，即，
，
在中，，
，
，
设的半径为，则，，
在中，，解得，
在中，，
，，
垂直平分，
，，
，
，
．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：过点作于点．
点为的内心，，
，
，
则，
，
，，
，
的面积，
故选：．
过点作于点由点为的内心，，得，则，由，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含角的直角三角形的性质是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：作的外接圆交于，
点是的内心，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
点在以为圆心，为半径的圆上，
当点到直线的距离，即、、在同一条直线上时，点到直线的距离最大，
此时，，即为等边三角形，
，，
，又，
为等边三角形，
到直线的距离的最大值，
故选：．
作的外接圆交于，可证点在以为圆心，为半径的圆上，当点到直线的距离，即、、在同一条直线上时，点到直线的距离最大，由等边三角形的性质可求解．
该题主要考查了三角形内切圆的性质，三角形内角和定理等几何知识点及其应用问题；牢固掌握三角形内切圆的性质等几何知识点是基础，灵活运用、解题是关键．
4.【答案】
【解析】解：如图，设内切圆与三边的切点分别为、、，连接、，
，
四边形是正方形，
，
由切线长定理得，，，
，
三角形的周长．
故选：．
作出图形，设内切圆与三边的切点分别为、、，连接、可得四边形是正方形，根据正方形的四条边都相等求出、，根据切线长定理可得，，从而得到，再根据三角形的周长的定义解答即可．
本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，作辅助线构造出正方形是解题的关键，难点在于将三角形的三边分成若干条小的线段，作出图形更形象直观．
5.【答案】
【解析】解：如图，
点为的内心，
平分，平分，
，，
．
故选：．
根据内心的性质得到平分，平分，则，，然后根据三角形内角和定理可计算出的度数．
本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
6.【答案】
【解析】解：设直角三角形内切圆的圆心为点，半径为，
三边上的切点分别为、、，
连接、、，
得正方形，则正方形的边长即为，
如图所示：
当为直角边时，
，
根据切线长定理，得
，
，
，
即，解得；
当为斜边时，
，
根据切线长定理，得
，
，
，
解得．
答：这个三角形的内切圆的半径是或．
故选：．
根据中，，，分两种情况讨论：当边为直角边和斜边两种情况求解即可．
本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是分两种情况分类讨论计算．
7.【答案】
【解析】解：设直角三角形的两条直角边是，，则有：
，
又，
，
将代入得：．
又内切圆的面积是，
它们的比是．
故选：．
连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是，则直角三角形的面积是；又直角三角形内切圆的半径，则，所以直角三角形的面积是；因为内切圆的面积是，则它们的比是．
此题要熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，能够把直角三角形的面积分割成三部分，用内切圆的半径进行表示，是解题的关键．
8.【答案】
【解析】略
9.【答案】
【解析】解：如图，当是锐角三角形，
点为的外心，，
，
点为的内心，
，则，
．
如图，当是钝角三角形，
，
，
，
．
故选：．
用三角形外心的性质得出的度数，再利用三角形内角和定理以及三角形内心的性质得出答案
此题主要考查了三角形的内心与外心，解题的关键是正确画出图形，得出的度数是解题关键，学会用分类讨论的思考问题．
10.【答案】
【解析】解：，，和圆的切点分别是，，，，根据切线长定理，得
，，．
则有，
解得：．
所以的周长．
故选：．
因为，，和圆的切点分别是，，根据切线长定理得到，所以三角形的周长即是的值，再进一步根据切线长定理由三角形的三边进行求解即可．
此题主要是考查了切线的性质、三角形内切圆与内心、切线长定理．要掌握圆中的有关定理，才能灵活解题．
11.【答案】
【解析】易知的内切圆圆与边相切于点，
设与的其他两边分别相切于、，
如图，连接、，则， ，
，，，
，
为直角三角形，
易得四边形为正方形，
设，则，，，
，
，解得，
．
故选B．
12.【答案】
【解析】证明：如图，延长交于，连接、、和，
，，
，
，
，
是其内心，
是的平分线，
，
，记垂足为，
，
作于，
，，
≌，
，
如图，过作，，
是其内心，
，，，
，
，
，
，，
，
故选：．
延长交于，连接、、和，可得易证，则，作于，又，则，所以≌，从而得出，代入数据即可得到结论．
本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：设切点分别为点，，，连接，，，，，，过点作于点，
设，则，
，，
，
即，
解得：，
，
，
是的内切圆，
，，，，
，
，
解得：，
的半径为，
故答案为：．
设切点分别为点，，，连接，，，，，，过点作于点，利用勾股定理可求出的长，进而可求出的面积，再根据的面积的面积，继而可求出内切圆的半径，问题得解．
本题主要考查了三角形的内切圆的性质及其应用问题；解题的关键是首先求出一边上的高，然后利用内切圆的性质，借助三角形的面积公式列出关于半径的方程求解即可．
14.【答案】
【解析】解：如图，点即为的内心．
所以内心的坐标为．
故答案为：．
根据点、、在直角坐标系中的坐标分别为，，，建立直角坐标系，根据等腰三角形三线合一，利用网格确定内心的坐标即可．
本题考查了三角形的内切圆与内心、坐标与图形性质，解决本题的关键是掌握三角形的内心定义．
15.【答案】
【解析】解：连接、、，
设的内切圆的半径为，
，，
，
为直角三角形，
则，
即，
解得，，
故答案为：．
连接、、，设的内切圆的半径为，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，根据三角形的面积公式计算即可．
本题考查的是三角形的内切圆与内心，掌握三角形的面积公式，切线的性质是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：作的内切圆，
设与相切于点，，，设，
，，
，
，，
，
解得：，
点为斜边的中点，
，
，
是内切圆半径，
，
．
故答案为：．
首先利用切线长定理求出的长，进而求出，，即可求出的长度．
此题主要考查了内切圆的性质以及切线长定理，利用已知得出的长是解题关键．
17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了勾股定理的逆定理和切线的性质．利用勾股定理的逆定理得到为直角三角形，，再利用切线的性质得到，，又，所以四边形为正方形，设，利用切线长定理得到，，所以，然后求出后可计算出阴影部分即四边形的面积．
【解答】
解：，，，
，
为直角三角形，，
、与分别相切于点、
，，
四边形为矩形，又，四边形为正方形
设，
则，
的内切圆与、、分别相切于点、、，
，，
，
，
阴影部分即四边形的面积是．
故答案为．
18.【答案】解：设，，．
、是圆的切线，
，
同理：，，
根据题意得：
解得：
，，．
【解析】本题考查了切线长定理，三角形内切圆的概念，注意利用切线长定理，把求线段长的问题转化成解方程组的问题，体现了方程思想的应用利用切线长定理可以得到，，，因而可以设，，，根据，，即可得到一个关于，，的方程组，即可求解．
19.【答案】解：设，
的内切圆分别和，，切于点，，，
，，，
而，，
，，
而，
，解得，
，，．
【解析】设，根据切线长定理得到，，，则，然后解方程求出，从而得到、、的长．
本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线长定理．
20.【答案】解：如图，
，，，
，
，
是直角三角形，
由题意可知：
图形是以为圆心，为半径的圆，，，与圆相切，
设切点分别为，，，连接，，，
，，，
四边形为正方形，
，
根据切线长定理可知：
，，
，
解得；
由题意可知：
点是的内心，
，
，，
，
；
如图，作于点，
，
，
，
为圆的半径，
为圆的切线，
直线与图形的公共点个数为．
【解析】根据题意可得三角形是直角三角形，再根据切线长定理即可求出的值；
根据题意可得点是三角形的内心，再根据三角形内角和即可得结论；
作于点，根据角平分线的性质可得，所以得为圆的半径，进而可得为圆的切线，即可得出结论．
本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形的内心定义．
21.【答案】解：根据切线长定理，设，，根据题意，得
，
解得．
即、、．
【解析】根据切线长定理，可设，，再根据题意列方程组，即可求解．
此题主要是运用了切线长定理，用已知数和未知数表示所有的切线长，再进一步列方程组求解．
22.【答案】解：分别作出与的角平分线，这两条角平分线的交点是的内切圆的圆心，
过点作于点，
以为圆心，长为半径画圆，
则即是的内切圆；
．
【解析】
【分析】
此题考查了三角形的内切圆与内心的性质以及直角三角形的性质．关键是正确确定圆心位置和半径，掌握直角三角形的面积等于其内切圆的半径与周长积的一半．
首先由三角形的内心是三角形三个角平分线的交点，确定圆心，然后作边的垂线，确定半径，继而可求得的内切圆；
首先利用勾股定理计算出长，再由直角三角形的面积等于其内切圆的半径与周长积的一半，即可求得的内切圆的半径．
【解答】
解：见答案；
设内切圆的半径为，
在中，，，，
，
，，
，
23.【答案】证明：连接，
为的直径，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
为的切线，
，
，
是的切线；
证明：连接，
为的切线，
，
，
，
，
，
，即平分，
、为的切线，
平分
为的内心；
解：，，
，
，
在中，，
，，
，，
∽，
，
．
【解析】本题考查的是三角形的内心、相似三角形的判定和性质、切线的判定与性质，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
连接，根据圆周角定理得到，证明≌，得到，根据切线的判定定理证明；
连接，根据切线的性质定理得到，证明平分，再证明平分，根据三角形的内心的概念证明即可；
求出，根据余弦的定义求出，，证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
浙教版3.5 圆周角精品当堂达标检测题： 这是一份浙教版3.5 圆周角精品当堂达标检测题，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
初中数学青岛版九年级上册3.5 三角形的内切圆复习练习题： 这是一份初中数学青岛版九年级上册3.5 三角形的内切圆复习练习题，共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
青岛版九年级上册3.5 三角形的内切圆优秀综合训练题： 这是一份青岛版九年级上册3.5 三角形的内切圆优秀综合训练题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
