青岛版九年级上册3.4 直线与圆的位置关系精品随堂练习题

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3.4直线与圆的位置关系同步练习

青岛版初中数学九年级上册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，过直径延长线上的点作的切线，切点为，若，，则

A.  B.  C.  D.

2. 如图，、为圆的切线，切点分别为、，交于点，的延长线交圆于点下列结论不一定成立的是

A. 为等腰三角形
B. 与相互垂直平分
C. 点、都在以为直径的圆上
D. 为的边上的中线
 

3. 如图，是的弦，与相切于点，连接，，若，则的度数是

A.
B.
C.
D.

4. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与相交于点若的半径为，点的坐标是则点的坐标是

A.  B.  C.  D.

5. 如图，直线，，分别与相切于，，，且，若，，则四边形的周长等于

A.  B.  C.  D.

6. 如图，内接于，垂直于过点的切线，垂足为已知的半径为，，那么

A.
B.
C.
D.

7. 如图，交于点，切于点，点在上．若，则为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，为的切线，切点为连接、，与交于点，延长与交于点，连接若，则的度数为

A.  B.  C.  D.

9. 如图，、分别与相切于、两点，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在中，，，，，分别是，的中点，则以为直径的圆与的位置关系是

A. 相切
B. 相交
C. 相离
D. 无法确定

11. 如图，中，，，，、分别是、的中点，则以为直径的圆与的位置关系是     

A. 相切
B. 相交
C. 相离
D. 无法确定

12. 如图，中，，，，为边的中点，以上一点为圆心的和、均相切，则的半径为．

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 已知的半径为，圆心到直线距离，直线与的位置关系是______．
14. 如图，是的直径，且经过弦的中点，过延长线上一点作的切线，切点为若，则______．
    
    
     

15. 如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径，直线的解析式为若直线与半圆只有一个交点，则的取值范围是______．

16. 如图，为外一点，、分别切于、，切于点，分别交、于点、，若，则的周长为          ．
     

17. 如图，为等边三角形，，以点为圆心，半径为作为边上的一动点，过点作的一条切线，切点为，则的最小值是______．
    
     

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

18. 已知：如图，是的弦，是的切线，作，垂足为求证：．
    
     

19. 已知：如图，中，，以为直径的半圆交于，是的中点．
    求证：直线是半圆的切线．
    
    
     

20. 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作的切线交于．
    求证：；
    如果，的直径是，求的长．

21. 如图，与相切于点，的直径为，，求的长．
    
     

22. 已知：的半径是，点与圆心的距离是，，是的两条切线，、是切点，求的大小与的长．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知：如图，内接于，为非直径的弦，求证：与相切于点．
    
    
     

24. 已知，如图，点在外，、是的切线，、为切点，是直径，连接求证：．
     

25. 如图，已知中，，，，点是边的一点，且，是的外接圆，
    求证：；
    判断与直线的位置关系，并说明理由；
    请直接写出的半径．
     

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，
，
是的切线，
，即，
，
故选：．
根据题意求出半径、，根据切线的性质定理得到，根据正弦的定义计算即可．
本题考查的是切线的性质、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、为圆的切线，
，
是等腰三角形，故A正确．
由圆的对称性可知：，但不一定平分，
故B不一定正确．
连接、，
、为圆的切线，
，
点、、在以为直径的圆上，故C正确．
是等腰三角形，，
为的边上的中线，故D正确．
故选：．
根据切线的性质即可求出答案．
本题考查切线的性质，解题的关键是熟练运用切线的性质，本题属于中等题型．
 

3.【答案】
 

【解析】解：与相切于点，
，
，
，
．
，
，
．
故选：．
利用切线的性质及等腰三角形的性质求出及即可解决问题．
本题考查切线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质与判定，圆的切线的性质，垂径定理，勾股定理，关键是求出的长度．设与、轴相切的切点分别是、点，连接、、，延长与交于点，证明四边形为正方形，求得，再根据垂径定理求得，进而得、，便可得点坐标．
【解答】
解：设与、轴相切的切点分别是、点，连接、、，延长与交于点，
则轴，轴，
，
四边形是矩形，
，，
四边形为正方形，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，，，
，
四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
故选A．  

5.【答案】
 

【解析】解：连接，如图，
直线，，分别与相切于，，，
，，，平分，平分，，，
，
、共线，，
，
为直角三角形，
，
，
，
，，
四边形的周长．
故选：．
连接，如图，利用切线的性质和切线长定理得到，，，平分，平分，，，再利用平行线的性质得、共线，，则可判断为直角三角形，接着利用勾股定理计算出，利用面积法计算出，然后计算四边形的周长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了勾股定理．
 

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了圆周角定理、切线的性质、解直角三角形、相似三角形的性质和判定等知识点，能够正确作出辅助线是解此题的关键．
作的直径，连接，求出∽，求出，再解直角三角形求出即可．
【解答】
解：如图，作的直径，连接，

垂直于过点的切线，垂足为，
，，
，
，
∽，
，
的半径为，，
，
即，
，
故选B．  

7.【答案】
 

【解析】解：切于点，
，
，
，
，
由圆周角定理得，，
故选：．
根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理计算即可．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由切线的性质得出，由直角三角形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，再由三角形的外角性质即可得出答案．
本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握切线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：连接、，如图所示：
、是切线，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
先证明，根据圆周角定理得出，求出的度数，即可得出结果．
本题考查了切线的性质、四边形内角和定理、圆周角定理等知识，熟练掌握切线的性质和四边形内角和定理是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，求出直线与的距离是本题的关键．
过点作于点，先根据三角形面积求出的长，进而得出直线与的距离，进而得出直线与圆的位置关系．
【解答】
解：如图，

过点作于点，交于点．
，
．
，分别是，的中点，
，，
，
．
以为直径的圆的半径为，
，
以为直径的圆与的位置关系是相交．
故选B．  

11.【答案】
 

【解析】解：过点作于点，交于点，

，
，
、分别是、的中点，
，，
，
，
以为直径的圆半径为，
，
以为直径的圆与的位置关系是：相交．
故选：．
首先根据三角形面积求出的长，进而得出直线与的距离，进而得出直线与圆的位置关系．
本题考查了直线和圆的位置关系，利用中位线定理比较出到圆心的距离与半径的关系是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】略
 

13.【答案】相切
 

【解析】解：的直径为，
圆心到直线的距离为，
，
直线与的位置关系是相切；
故答案为：相切．
由已知条件易求圆的半径长度，又因为圆心到直线的距离为，所以和的大小可判定，进而得出直线与的位置关系．
本题考查了直线与圆的位置关系；熟练掌握时直线与圆相切是解决问题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：如图，连接，，，交于．
是直径，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
是切线，
，
，
．
故答案为．
如图，连接，，，交于，因为是直角三角形，欲求，只要求出即可，再转化为求即可解决问题．
本题考查切线的性质、圆周角定理、垂径定理等知识，解题的关键是添加辅助线，需要灵活运用圆的有关知识，属于中考常考题型．
 

15.【答案】或
 

【解析】解：若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点或从直线过点开始到直线过点结束不包括直线过点．
直线与轴所形成的锐角是．
当直线和半圆相切于点时，则垂直于直线，．
又，则，即点，
把点的坐标代入直线解析式，得
，
当直线过点时，把点代入直线解析式，得．
当直线过点时，把点代入直线解析式，得．
即当或时，直线和圆只有一个公共点；
故答案为或．
若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点或从直线过点开始到直线过点结束不包括直线过点．
当直线和半圆相切于点时，根据直线的解析式知直线与轴所形成的锐角是，从而求得，即可求出点的坐标，进一步求得的值；当直线过点时，直接根据待定系数法求得的值．
此题综合考查了直线和圆的位置关系，及用待定系数法求解直线的解析式等方法．
 

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查的是切线长定理的应用．能够将的周长转换为切线、的长是解答此题的关键．由于、，、都是的切线，可由切线长定理将的周长转换为、的长．

【解答】
解：、切于、，
；
同理，可得：，；
的周长．
即的周长是．
故答案为．

17.【答案】
 

【解析】解：作于，过作的一条切线，切点为，连接，如图所示：
是等边三角形，，
，，
，
是的一条切线，
，，
，
当点与重合时，与重合，
此时最小，
故答案为：．
作于，过作的一条切线，切点为，连接，由等边三角形的性质和勾股定理得出，由切线的性质得出，由勾股定理求出，当点与重合时，与重合，此时最小．
本题考查了切线的性质、等边三角形的性质、勾股定理以及最小值、垂线段最短等知识；熟练掌握切线的性质和勾股定理是解题的关键．
 

18.【答案】解：是的切线，
，
，
，
，
，
．
 

【解析】由切线的性质可知：，则，结合已知条件利用同角的余角相等即可证明．
本题考查了切线的性质、垂直的性质以及同角的余角相等等知识点，熟记和圆有关的各种性质是解题的关键．
 

19.【答案】证明：连接，．
是直径，
，
，
又是的中点，
，
，
，
，
，
，即，
，
是的切线．
 

【解析】连接，，利用等边对等角即可证得，从而证得是圆的切线．
本题考查了切线的判定，直角三角形的性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点即为半径，再证垂直即可．解决本题的关键是正确作出辅助线．
 

20.【答案】证明：连接，，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线，
，
；
解：，
设，，
，
，
，
，，
，
，
．
 

【解析】连接，，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，根据切线的性质即可得到结论；
设，，根据勾股定理得到，求得，，根据三角形的面积公式和勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：与相切于点，的直径为，
，，
，
，
在中，，
答：的长为．
 

【解析】利用切线的性质和等腰三角形的性质得出的长，再利用勾股定理得出答案．
此题主要考查了切线的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握切线的性质和勾股定理是解题关键．
 

22.【答案】解：连接、，如图所示：
，是的两条切线，、是切点，
，，，，
在和中，，
≌，
，
，
点与圆心的距离是，
，
在中，，，
，，
．
 

【解析】连接、，由证得≌，得出，在中，由，得出，再由勾股定理求出即可得出结果．
本题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握切线的性质是解题的关键．
 

23.【答案】证明：作直径，连接，

即在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
是半径，
是的切线．
 

【解析】作直径，连接，推出，求出，根据切线的判定推出即可．
本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，注意：经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角是直角．
 

24.【答案】证明：连接交于，连接．
，是圆的切线，
，

垂直平分．
．
是直径，
．
．
．
 

【解析】连接交于，根据切线的性质得到垂直平分，再根据直径所对的圆周角是直角可得，于是，所以．
本题考查了切线的性质、圆周角定理：在圆中，直径所对的圆周角是直角．
 

25.【答案】证明：中，
，，
，
，且，
∽．

与直线相切
理由如下：
如图，作直径，交于点，连结，

为的直径，
，

，又由得，

，
，

为的直径，
与直线相切
，
，





的半径为
 

【解析】通过证明∽，可得；
作直径，交于点，连结，由圆周角定理可求，可证，即可得与直线的位置关系；
利用锐角三角函数可求，的长，由勾股定理可求的长，的长，可得的半径．
本题考查了直线与圆的位置关系，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，证明∽是本题的关键．