第03讲-基本不等式（解析版）学案

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第03讲 基本不等式
一、 考情分析
1. 掌握均值不等式≤(a，b≥0)和基本不等式的性质；
2.结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题.
3.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系；
4.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；
5.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
二、 知识梳理
1.不等式的性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2).
2.均值不等式：≤
(1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.
3.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
4.利用均值不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).
5.一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.
6.三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象



一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集


R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
7.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
不等式
解集
a a＝b
a>b
(x－a)·(x－b)>0
{x|xb}
{x|x≠a}
{x|xa}
(x－a)·(x－b)<0
{x|a ∅
{x|b 8.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).
(2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
[方法技巧]
1.有关分数的性质
(1)若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0).
(2)若ab>0，且a>b⇔<.
2.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.
3.≤≤≤(a>0，b>0).
4.连续使用均值不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.
1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|0)的解集为(－a，a).
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.
5.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形.
6.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或
三、 经典例题
考点一　不等式的性质
【例1】 (1)已知a，b，c满足c A.ab>ac B.c(b－a)<0
C.cb20
(2)(一题多解)若＜＜0，给出下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式是(　　)
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
【解析】(1)由c0.
由b>c，得ab>ac一定成立.
(2)法一　因为＜＜0，故可取a＝－1，b＝－2.
显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A，B，D.
法二　由＜＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0.故有＜，即①正确；
②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；
③中，因为b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0，
所以a－＞b－，故③正确；
④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故④错误.由以上分析，知①③正确.
规律方法　解决此类题目常用的三种方法：
(1)直接利用不等式的性质逐个验证；
(2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件；
(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.
考点二　利用均值不等式
【例2-1】（2020·咸阳市教育教学研究室高三一模（文））已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，且，
则，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.
故选：C.
【例2-2】（2020·天津高三其他）已知函数，其中，若函数的最大值记为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知，，
令，则，因为，
所以对称轴为，所以
，当且仅当
时，等号成立.
故选：D
【例2-3】（2020·湖南省雅礼中学高三月考（理））已知外接圆的半径，且.则周长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，，即，可化为
，即，因为，所以，
即，，设的内角，，，的对边分别为，，
，由余弦定理得，，因为（当且仅当时取“=”），所
以，即，又因为，所以
，故，则，又因为，所以
，即.故周长的取值范围为
.
故选：C
【例2-4】（2020·全国高三月考）若，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，即，
所以，，等式两边同时除以得，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.
故选：C.
规律方法　在利用均值不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：
(1)对条件使用均值不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.
(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.
用函数y＝x＋(m>0)的单调性.
考点三　一元二次不等式的解法　
【例3-1】（2020·四川省高三二模（文））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，因此，.
故选：A.
【例3-2】（2020·安徽省六安一中高一月考）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解不等式，得或；
解不等式，得，解得.
，，则，
因此，，故选：C.
【例3-3】（2020·重庆市松树桥中学校高三月考（文））函数，若满足恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，且，
∴函数为单调递增的奇函数．
于是，可以变为，
即，∴，而，可知实数，
故实数的取值范围为．
故选：C．
【例3-4】（2014·全国高三专题练习（理））某城市对一种售价为每件元的电子产品征收附加税，税率为（即每销售元征税元），若年销售量为万件，要使附加税不少于万元，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，要使附加税不少于万元，需，
整理得，解得，因此，实数的取值范围是.
故选A.
【例3-5】（2020·江苏省高三一模）已知为正实数，且，则的最小值为____________.
【答案】
【解析】由已知，，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：
【例3-6】（2020·河北省邢台一中高三月考（理））在曲线的所有切线中，切线斜率的最小值为________.
【答案】
【解析】由题意得,，
当且仅当时取等号.
故答案为：.
[方法技巧]
1.运用不等式的性质解决问题时，注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想，比如减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法等.但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.
2.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a＜0的情况转化为a＞0时的情形.
3.在解决不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a＝0时是否满足题意.
4.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.
5.当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别.
6.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.
四、 课时作业
1．若，，，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】D
【解析】∵（）（a+2b）
＝(312)
≥×(15+29
等号成立的条件为，即a=b=1时取等
所以的最小值为9．
故选：D．
2．在中，内角，，的对边分别是，，，若，且，则周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，根据三角形的性质可得，，
又由得，即，
故，
所以周长的取值范围是.
故选：B.
3．函数（且）的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（）
A．16 B．24 C．50 D．25
【答案】D
【解析】令x﹣3＝1，解得x＝4，y＝1，
则函数y＝loga（x﹣3）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A（4，1），
∴4m+n＝1，
∴（）（4m+n）＝16+1
≥17+217+8＝25，当且仅当m＝n时取等号，
故则的最小值为25，
故选D．
4．已知，满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】已知,=,>0,
进而得到.
故答案为A.
5．在的展开式中，系数的绝对值最大的项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
二项式展开式为：
设系数绝对值最大的项是第项，
可得
可得，解得


在的展开式中，
系数的绝对值最大的项为：
故选：D.
6．已知实数，满足且，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由实数，满足且.
两边同时除以，有：.
所以，即或.
故选：C
7．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作出函数图象：

结合图象可得，要使恒成立，
当x＞0，必有，
当时，只需，即恒成立，
所以
综上所述
故选：D
8．已知函数，，若，，使得成立，则的最大值为（ ）
A．-4 B．-3 C．-2 D．-1
【答案】C
【解析】由，，使得成立，
得：的值域为的值域的子集，
由 ，所以
当 时，，
此时的值域为的值域的子集成立.
当时，，须满足的值域为的值域的子集，
即，得
所以的最大值为.
故选：C.
9．定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于成中心对称，若满足不等式，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为对任意都有，所以在上为减函数；
又的图象关于成中心对称，所以关于原点对称，
则，所以，
整理得，解得.
故选：D.
10．已知函数 ，若，使得 成立，则实数的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由函数的解析式可得函数的最小值为：,则要考查的不等式转化为：，解得：，即实数的取值范围为 .
本题选择B选项.
11．（多选题）已知正数a，b满足，ab的最大值为t，不等式的解集为M，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】∵正数，满足，
∴，即的最大值为，当且仅当时，取等号.
∵的解集为，∴.
故选：BC.
12．（多选）已知、均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】对于A，，当且仅当时等号同时成立；对于B，，当且仅当时取等号；
对于C，，当且仅当时取等号；
对于D，当，时，，，，
所以.
故选：AD.
13．已知，为正实数，且，则的最小值为________________.
【答案】
【解析】，为正实数，且，可知，
，
.
当且仅当时取等号.
的最小值为.
故答案为：.
14．已知函数，则不等式的解集为____________.
【答案】
【解析】由已知，，，
若，则或
解得或，所以不等式的解集为.
故答案为：
15．已知正数、满足，则的最大值为______.
【答案】
【解析】正数、满足，.
，
由基本不等式得，即，
当且仅当时，等号成立，
，因此，的最大值为.
故答案为：.
16．在面积为的中，，若点是的中点，点满足，则的最大值是______.
【答案】
【解析】由△ABC的面积为得|AB||AC|sin∠BAC=，
所以|AB||AC|sin∠BAC=，①
又,即|AB||AC|cos∠BAC=，②
由①与②的平方和得:|AB||AC|=，
又点M是AB的中点，点N满足，
所以

，
当且仅当时，取等号，
即的最大值是为.
故答案为：
17．设集合，.
（1）求集合；
（2）若不等式的解集为，求实数、的值.
【解析】（1）先解不等式.
①当时，由得，解得，此时；
②当时，由得，成立，此时；
③当时，由得，解得，此时.
所以，不等式的解集为.
解不等式，即，解得，.
因此，；
（2）不等式的解集为，、是方程的两实根.
根据韦达定理得，解得，.
18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求B；
（2）若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的小值．
【解析】（1）因为，
由正弦定理得．
因为，所以sinA＞0，所以，
所以，因为，
所以，即．
（2）依题意，即ac＝4．
所以当且仅当时取等号．
又由余弦定理得
∴，当且仅当a＝c＝2时取等号．
所以△ABC的周长最小值为．
19．（1）已知，求的最小值；
（2）已知，求的最大值.
【解析】（1），，而，
当且仅当，即当时，该函数取得最小值；
（2），，则，
当且仅当时，即当时，该函数取得最大值.