6.4 求和方法（精讲+精练+原卷+解析）

这是一份6.4 求和方法（精讲+精练+原卷+解析），共1页。主要包含了题组一 公式法，题组二 裂项相消，题组三 错位相减，题组四 分组求和，题组五 倒序相加，题组六 奇偶并项求和等内容，欢迎下载使用。

1．（2021·黑龙江佳木斯市）已知等差数列满足a1+a2＝4，a4+a5+a6＝27．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和Sn．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意，设等差数列的公差为d，
则∴，∴．
（2），∴，
∵，又，∴数列为等比数列，且首项为2，公比为4，
∴．
2．（2021·黑龙江佳木斯市）已知等差数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若设，求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）由题意，设等差数列的公差为，
则，解得，
∴，.
（2）由（1）知，，
故数列是以2为首项，4为公比的等比数列，
∴.
3．（2021·四川攀枝花市·高三一模（文））在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设等差数列的公差为，由已知得，
则，
将代入并化简得，解得或(舍去).
所以.
（2）由（1）知，所以，
所以，即数列是首项为，公比为的等比数列.
所以.
4．（2020·扬州市第一中学高二月考）设递增等比数列的前项和为，已知，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求.
【答案】(1) (2) 4480
【解析】（1）由题意得：，
设等比数列的公比为，则，解得：，或
是递增数列，，；
所以
（2）由（1）知：，，
当时，；当时，；
【题组二 裂项相消】
1．（2021·湖北武汉市·汉阳一中高三其他模拟）已知在数列中，前n项和为，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）在数列中，①∵②且，
∴①式÷②式得：，∴数列以为首项，公差为1的等差数列，
∴∴,当时，；
当时，，不满足上式，∴数列的通项公式为．
（2）由（1）知，，则数列的前项和，当时，，
当时，
，当时也满足上式，故有．
2．（2021·广东高三其他模拟）已知数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意，数列的前项和为，
可得，，
因为，所以，解得，
所以，，
因为当时，，
所以.
当时，符合上式，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，可得，
所以，
，
，
……，
，
所以，
又由，可得，
当时，，满足上式，
所以.
所以，
所以.
3．（2021·四川成都市·成都七中）已知等差数列的前n项和为，其中r为常数.
（1）求r的值；
（2）设，求数列的前n 项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）先求前三项，，，，
由为等差数列，所以，
所以，即；
（2） 由（1）知，，
也满足，所以，
所以，所以，
所以.
4．（2021·河南商丘市·高三月考（文））已知数列满足，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由条件，可得，又
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，
所以
因此
（2）．
所以，

5．（2021·重庆一中高三其他模拟）已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，
可得=1，
则数列是首项为=1，公差为1的等差数列，
则=，
即；
（2），
.
【题组三 错位相减】
1．（2021·全国高三其他模拟（理））已知等差数列满足，正项等比数列满足首项为1，前3项和为7.
（1）求与的通项公式；
（2）求的前n项和.
【答案】（1），；（2）.
【解析】解：（1）设等差数列的公差为d，
由，可得，
解得，则；
设正项等比数列的公比为q，q>0，
由首项为1，前3项和为7，可得，解得q=2，
则；
（2）由（1）可得，
所以，
则，
两式相减可得=，
所以.
2．（2021·河南高三其他模拟（文））已知正项数列{an}满足，且.
（1）求{an}的通项公式；
（2）若，求{bn}的前n项和Tn.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）正项数列{an}满足an2=an﹣1•an+1(n≥2)，
可得数列{an}为等比数列，设公比为q，q>0，
由a2=2，a5=4a3，可得a1q=2，a1q4=4a1q2，
解得a1=1，q=2，
则an=2n﹣1；
（2），
，
两式相减可得
化简可得
3．（2021·福建厦门市·厦门双十中学高三其他模拟）在①，，②，，③点在直线上，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.
已知数列的前n项和为，___________.
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前项和.
【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.
【解析】（1）方案一：选条件①.
∵，∴当时，，
两式相减，整理得，
∵，∴，，
所以，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，
∴.
方案二：选条件②.
∵，∴当时，，
两式相减，整理得，
∵，，∴，，
所以，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列.
∴
方案三：选条件③.
∵点在直线上，
∴，∴，
两式相减，整理得，当时，，得，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，
∴.
（2）由（1）可得，，则，
，
两式相减得
∴.
4．（2021·山东高三其他模拟）在①，②是公差为1的等差数列，③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答．
问题：在递增的等差数列中，为数列的前项和，已知，______，数列是首项为2，公比为2的等比数列，设，为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】7
【解析】设数列的公差为，
若选条件①：
，，解得（舍负），
故；
若选条件②：
是公差为1的等差数列，，则，
当时，，满足，
；
若选条件③：
，，解得（舍去）或，
故.
由已知可得，则，
则，
，
两式相减可得
，
所以，
，
显然，当时，，即，
又，
所以最小正整数的值为7.
5．（2021·四川高三月考（理））在正项等比数列中，，且，，是等差数列的前三项．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）因为，
所以，
所以或，
因为，所以，
所以，
因为的前三项分别是8，16，24，
所以．
（2）因为=，
所以①
②
①－②得
，
所以．
【题组四 分组求和】
1．（2021·全国高三二模）已知等差数列和正项等比数列满足：，，且是和的等差中项.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）设为数列的公差，为数列的公比，
由题意得，即，
解得或，∵数列各项均为正，所以，即.
∴.
，解得，
∴
（2）由（1）得：，
所以
.
所以.
2．（2021·全国高三二模）已知数列的前项和为，且，在等差数列中，
（1）求数列和的通项公式；
（2）定义；.记，求数列的前项和.
【答案】（1）；；（2）.
【解析】（1）对于数列，当时，得，
当时，由，得，两式相减得也满足上式，
所以数列的通项公式为.
设等差数列的公差为，，，所以，
所以数列的通项公式为.
（2）由题意知﹐，即
当时，，
当时，，，
，
所以.
3．（2021·北京高三二模）已知数列的前项和为，， 从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答.
（1）求数列的通项公式；
（2）设等比数列满足，，求数列的前项和.
条件①：；条件②：；条件③：.
【答案】（1）；（2）
【解析】(不能选择①③作为已知条件)
若选择①②作为已知条件.
因为，，
所以数列是以为首项，公差的等差数列.
所以.
若选择②③作为已知条件.
因为，
所以数列是以为首项，公差为的等差数列.
因为，所以.
所以，解得.
所以.
（2）设等比数列的公比为，结合（1）可得，，
所以，所以.
所以等比数列的通项公式为.
所以
所以

.
4．（2021·宁波市北仑中学高三其他模拟）已知数列满足，记数列的前项和为，
（1）求证：数列为等比数列，并求其通项；
（2）求的前项和及的前项和为．
【答案】（1）证明见解析；；（2）；．
【解析】（1）因为，，，
所以，
又，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
因此；
（2）由（1）可得①，
则②，
①②得，
则；
设，
则，
所以；
；
因此.
【题组五 倒序相加】
1．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列的前项和为，满足，（均为常数），且.设函数，记，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
由，得，
又也满足上式，所以，
则为常数，所以数列为等差数列；
所以，
.
则数列的前项和为，
记，则，
所以，因此.
故选：D．
2．（2020·静宁县第一中学高三月考（理））已知函数为奇函数，，即，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由于函数为奇函数，则，即，
，，
所以，，
因此，数列的前项和为.
故选：B.
3．（2020·内蒙古包头市·高三二模（理））已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（ ）
A．100B．105C．110D．115
【答案】D
【解析】函数满足，①，
②，
由①②可得，
，所以数列
是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为．
故选：D．
4．（2021·宁都中学）已知若等比数列满足则（ ）
A．B．1010C．2019D．2020
【答案】D
【解析】
等比数列满足
即2020
故选：D
5．（2020·全国高三专题练习）设函数，利用课本（苏教版必修）中推导等差数列前项和的方法，求得的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，
设，
则，
两式相加得，因此，.
故选：B.
【题组六 奇偶并项求和】
1．（2021·吉林吉林市）已知等比数列的前n项和为.
（1）求m的值，并求出数列的通项公式；
（2）令，设为数列的前n项和，求.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）法一：当时，
当时，
∵是等比数列，
∴，即，解得
综上，的值为，数列的通项公式为.
法二：∵，，
∵是等比数列，
∴，即，解得，
设的公比为，
∴，，则.
（2）∵，
∴.
2．（2021·河北衡水中学高三其他模拟）已知正项数列，其前项和为．
（1）求数列的通项公式：
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】1）由已知，①
所以有，②
②-①，得，即，∴，
所以数列是公比为的等比数列．
又，∴．所以
（2）由（1）得，
当n为奇数时，
当n为偶数时，
综上所述，
3．（2021·天津耀华中学高三二模）已知是公差不为零的等差数列，是等比数列，且，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）记.
（i）求数列的前项和；
（ii）记，求数列的前项和.
【答案】（1）（2）（i）（ii）
【解析】，，，
，
解得，
（2）
，
（i），
（ii）
，
即.