2020-2021学年四川省成都市某校高一（上）10月月考数学试卷

这是一份2020-2021学年四川省成都市某校高一（上）10月月考数学试卷，共8页。试卷主要包含了选择题)，填空题)，解答题)等内容，欢迎下载使用。


1. 函数y=fx的图象与直线x=−1的公共点数目是( )
A.1B.0C.0或1D.1或2

2. 下列各组中的M，P表示同一集合的个数是( )
①M={3, −1}，P={(3, −1)};
②M={(3, 1)}，P={(1, 3)};
③M={y|y=x2−1}，P={t|t=x−1};
④M={y|y=x2−1}，P={(x, y)|y=x2−1}.
A.0B.1C.2D.3

3. 下列各组函数是同一函数的是( )
①fx=−2x3与gx=x−2x；②fx=|x|与gx=x2；③fx=x0与gx=1；④fx=x2−2x−1与gt=t2−2t−1.
A.①②B.②③C.①④D.②④

4. 已知非空集合P满足：①P⊆{1, 2, 3, 4, 5}；②若a∈P，则6−a∈P，符合上述要求的集合P的个数是( )
A.4B.5C.7D.31

5. 已知a=243，b=425，c=2513，则( )
A.b
6. 已知函数f(x)=x3x2+4，则f(x)的大致图象为( )
A.B.
C.D.

7. 已知函数fx=x2+3x+4x，对于任意x≥12时下列说法正确的是( )
A.最大值为7B.最小值为232C.最大值为232D.最小值为7

8. 已知偶函数f(x)满足f(x+3)=−f(x)，且f(1)=−1，则f(5)+f(13)的值为( )
A.−2B.−1C.0D.2

9. 若函数fx=ax，x>1，5−ax+1，x≤1是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为( )
A.3,5B.[3,5)C.1,5D.1,+∞

10. 已知函数 fx=12x+1, x≥0,2x1+2x,x<0, 若f6−a>fa，则实数a的取值范围是( )
A.−∞,3B.−∞,−3C.3,+∞D.−3,+∞

11. 对于全集U的子集A，定义函数fA(x)=1(x∈A)，0(x∈∁UA) 为A的特征函数，设A，B为全集U的子集，下列结论中错误的是( )
A.若A⊆B，fA(x)≤fB(x)B.f​∁UA(x)=1−fA(x)
C.fA∩B(x)=fA(x)⋅fB(x)D.fA∪B(x)=fA(x)+fB(x)

12. 定义区间(a, b)，[a, b), (a, b]，[a, b]的长度均为d=b−a．用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x−[x]，其中x∈R．设f(x)=[x]⋅{x}，g(x)=x−1，若用d表示不等式f(x)A.d=1B.d=2C.d=3D.d=4
二、填空题)

13. 已知fx是定义在R上的偶函数，对任意x∈R都有fx+2−12=2fx−f2x，则f2023=________.
三、解答题)

14. 已知函数fx=axa>0,a≠1，且f2−4f1=−4.
(1)求a的值；

(2)若f3m−2
15. 设实数t∈R，函数fx=x2−2x−1在区间t,t+1上的最小值是gt.

(1)求gt解析式；

(2)画出y=gt的图象，并求其最大值和最小值．

16. 已知全集U=R，集合A={x|x2−2x−15<0}，集合B={x|(x−2a+1)(x−a2)<0}．
(1)若a=1，求∁UA和B；

(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围．

17. 某企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资额成正比，设比例系数为k1，其关系如图1；B产品的利润与投资额的算术平方根成正比，设比例系数为k2，其关系如图2．（注：利润与投资额单位是万元）

(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资额的函数，并求出k1，k2的值，写出它们的函数关系式；

(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资额，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元．

18. 函数fx对任意的m、n∈R，都有f(m+n)=f(m)+f(n)−1，并且x>0时，恒有fx>1．
(1)求证：fx在R上是增函数；

(2)若f3=4，解不等式fa2+a−5<2．

19. 设函数f(x)=(x−a)|x−a|(a∈R)．
(1)若函数f(x)是奇函数，求a的值；

(2)若存在a∈[−1, 1]，使函数f(x)+2x2−2a|x|+2=0在x∈{x||x|≥t}上有解，求实数t的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省成都市某校高一（上）10月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
2.
【答案】
B
3.
【答案】
D
4.
【答案】
C
5.
【答案】
A
6.
【答案】
B
7.
【答案】
D
8.
【答案】
A
9.
【答案】
B
10.
【答案】
C
11.
【答案】
D
12.
【答案】
A
二、填空题
13.
【答案】
1±22
三、解答题
14.
【答案】
解：(1)∵ 函数fx=axa>0,a≠1，且f(2)−4f1=−4 ，
∴ a2−4a=−4，解得a=2 .
(2)由(1)知fx=2x，
fx=2x为R上的增函数，
则f3m−2解得m<7，
∴ 实数m的取值范围{m|m<7} .
15.
【答案】
解：(1)∵ fx=x2−2x−1=x−12−2，
对称轴x=1，顶点坐标1,−2，
fx在−∞,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
当0≤t≤1时，gt=f1=−2；
当t>1时，在区间[t,t+1]上是增函数，
gt=ft=t2−2t−1；
当t<0时，在区间[t,t+1]上是减函数，
gt=ft+1=t+12−2t+1−1=t2−2，
∴ gt=−2，0≤t≤1，t2−2t−1，t>1，t2−2，t<0.
(2)函数图象如下：
由图可得，g(t)最小值为−2，g(t)无最大值.
16.
【答案】
解：(1)若a=1，则集合A={x|x2−2x−15<0}={x|−3所以∁UA={x|x≤−3或x≥5}，
若a=1，则集合B={x|(x−2a+1)(x−a2)<0}={x|(x−1)2<0}=⌀.
(2)因为A∪B=A，所以B⊆A，
①当B=⌀时，a2=2a−1，解的a=1；
②当B≠⌀时，即a≠1时，B={x|2a−1又由(1)可知集合A={x|−3所以2a−1≥−3，a2≤5, 解得−1≤a≤5，且a≠1，
综上所求，实数a的取值范围为：−1≤a≤5．
17.
【答案】
解：(1)设投资额为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元，
由题设f(x)=k1x，g(x)=k2x，
由图可知f(1)=14，所以k1=14，
又g(4)=52，所以k2=54，
所以f(x)=14x (x≥0)，g(x)=54x(x≥0).
(2)设A产品投入x万元，则B产品投入(10−x)万元，设企业的利润为y万元，
y=f(x)+g(10−x)=14x+5410−x，(0≤x≤10)，
令10−x=t，则y=10−t24+54t=−14(t−52)2+6516，(0≤t≤10)，
所以当t=52时，ymax=6516，此时x=10−(52)2=154=3.75，
所以当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元，企业获得最大利润为6516万元，即4.0625万元．
18.
【答案】
(1)证明：设x10，
∴ 当x>0时，fx>1，∴ fx2−x1>1．
∴ fx2=fx2−x1+x1=fx2−x1+fx1−1，
∴ fx2−fx1=fx2−x1−1>0⇒fx1∴ fx在R上为增函数．
(2)解：∵ m,n∈R，不妨设m=n=1，
∴ f1+1=f1+f1−1⇒f2=2f1−1，
f3=4⇒f2+1=4⇒f2+f1−1=4⇒3f1−2=4，
∴ f1=2，
∴ fa2+a−5<2=f1，
∵ fx在R上为增函数，
∴ a2+a−5<1⇒−3即a∈−3,2．
19.
【答案】
解：(1)∵ f(x)在原点有定义，f(x)为奇函数，
∴ f(0)=−a|−a|=0，即a=0，
此时f(x)=x|x|是奇函数，
∴ a=0.
(2)∵ a∈[−1, 1]，设y=f(x)+2x2−2a|x|+2，
x≥a时，y=f(x)+2x2−2a|x|+2=(x−a)2+2(|x|−a2)2+2−a22>0，此时原方程无解；
x0，则当0≤xy=f(x)+2x2−2a|x|+2=−(x−a)2+2x2−2ax+2=x2−a2+2>0，原方程也无解；
∴ 原方程的根在x此时函数y=f(x)+2x2−2a|x|+2=−(x−a)2+2x2+2ax+2=x2+4ax+2−a2．
由x2+4ax+2−a2=0，得|x|2−4a|x|+2−a2=0．
此时Δ=16a2−4(2−a2)≥0，a2≥25，即25≤a2≤1．
由于|x|≥0，∴ a>0，得105≤a≤1．
|x|=2a±5a2−2．
要使原方程在x∈{x||x|≥t}上有解，
只需t≤(2a±5a2−2)max，即t≤2×1+5−2=2+3，
∴ t≤2+3．