2018年湖南省郴州市中考数学试卷

2018年湖南省郴州市中考数学试卷

一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（3.00分）下列实数：3，0，，，0.35，其中最小的实数是（　　）

A．3 B．0 C．     D．0.35

2．（3.00分）郴州市人民政府提出：在2018年继续办好一批民生实事，加快补齐影响群众生活品质的短板，推进扶贫惠民工程，实现12.5万人脱贫，请用科学记数法表示125000（　　）

A．1.25×105  B．0.125×106  C．12.5×104  D．1.25×106

3．（3.00分）下列运算正确的是（　　）

A．a3•a2=a6 B．a﹣2=﹣ C．3﹣2= D．（a+2）（a﹣2）=a2+4

4．（3.00分）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b（　　）

A．∠2=∠4 B．∠1+∠4=180° C．∠5=∠4 D．∠1=∠3

5．（3.00分）如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形，它的主视图是（　　）

A              B          C           D

6．（3.00分）甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是（　　）

A．甲超市的利润逐月减少

B．乙超市的利润在1月至4月间逐月增加

C．8月份两家超市利润相同

D．乙超市在9月份的利润必超过甲超市

7．（3.00分）如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（　　）

A．6 B．2 C．3 D．

8．（3.00分）如图，A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）

9．（3.00分）计算：=　   　．

10．（3.00分）因式分解：a3﹣2a2b+ab2=　   　．

11．（3.00分）一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是　   　．

12．（3.00分）在创建“平安校园”活动中，郴州市某中学组织学生干部在校门口值日，其中八位同学3月份值日的次数分别是：5，8，7，7，8，6，8，9，则这组数据的众数是　   　．

13．（3.00分）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6=0有一个根为﹣3，则方程的另一个根为　   　．

14．（3.00分）某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨实验，结果如下表所示：

则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是　   　．（精确到0.01）

15．（3.00分）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为　   　cm．（结果用π表示）

16．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC=60°，A点的坐标是（0，4），则直线AC的表达式是　   　．

三、解答题（本大题共10小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（6.00分）计算|1﹣|﹣2sin45°+2﹣1﹣（﹣1）2018．

18．（6.00分）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．

19．（6.00分）如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．

20．（8.00分）6月14日是“世界献血日”，某市采取自愿报名的方式组织市民义务献血．献血时要对献血者的血型进行检测，检测结果有“A型”、“B型”、“AB型”、“O型”4种类型．在献血者人群中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的图表：

（1）这次随机抽取的献血者人数为　   　人，m=　   　；

（2）补全上表中的数据；

（3）若这次活动中该市有3000人义务献血，请你根据抽样结果回答：

从献血者人群中任抽取一人，其血型是A型的概率是多少？并估计这3000人中大约有多少人是A型血？

21．（8.00分）郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元．

（1）A、B两种奖品每件各多少元？

（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？

22．（8.00分）小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732）

23．（8.00分）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．

（1）求证：直线AD是⊙O的切线；

（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．

24．（10.00分）参照学习函数的过程与方法，探究函数y=的图象与性质．

因为y=，即y=﹣+1，所以我们对比函数y=﹣来探究．

列表：

描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y=相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：

（1）请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；

（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：

①当x＜0时，y随x的增大而　   　；（填“增大”或“减小”）

②y=的图象是由y=﹣的图象向　   　平移　   　个单位而得到；

③图象关于点　   　中心对称．（填点的坐标）

（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=的图象上的两点，且x1+x2=0，试求y1+y2+3的值．

25．（10.00分）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．

①求S关于t的函数表达式；

②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．

26．（12.00分）在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P作PF∥BC，交对角线BD于点F．

（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．

求证：△DEF是等腰三角形；

（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．

①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．

②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．

参考答案

1． C．2． A．3． C．4． D．5． B．6． D．7． C．8． B．

9． 3

10． a（a﹣b）2．

11． 720°．

12． 8．

13． 2．

14． 0.95．

15． 12π．

16． y=﹣x+4．

17．解：|1﹣|﹣2sin45°+2﹣1﹣（﹣1）2018

=﹣1﹣2×+0.5﹣1

=﹣1.5

18．解：解不等式①，得：x＞﹣4，

解不等式②，得：x≤0，

则不等式组的解集为﹣4＜x≤0，

将解集表示在数轴上如下：

19．证明：∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，

∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，

在△EOD和△FOB中，

，

∴△DOE≌△BOF（ASA）；

∴OE=OF，

又∵OB=OD，

∴四边形EBFD是平行四边形，

∵EF⊥BD，

∴四边形BFDE为菱形．

20．解：（1）这次随机抽取的献血者人数为5÷10%=50（人），

所以m=×100=20；

故答案为50，20；

（2）O型献血的人数为46%×50=23（人），

A型献血的人数为50﹣10﹣5﹣23=12（人），

如图，

故答案为12，23；

（3）从献血者人群中任抽取一人，其血型是A型的概率==，

3000×=720，

估计这3000人中大约有720人是A型血．

21．解：（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，

根据题意得：，

解得：．

答：A种奖品每件16元，B种奖品每件4元．

（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，

根据题意得：16a+4（100﹣a）≤900，

解得：a≤．

∵a为整数，

∴a≤41．

答：A种奖品最多购买41件．

22．解：∵∠EAB=60°，∠EAC=30°，

∴∠CAD=60°，∠BAD=30°，

∴CD=AD•tan∠CAD=AD，BD=AD•tan∠BAD=AD，

∴BC=CD﹣BD=AD=30，

∴AD=15≈25.98．

23．解：（1）如图，

∵∠AEC=30°，

∴∠ABC=30°，

∵AB=AD，

∴∠D=∠ABC=30°，

根据三角形的内角和定理得，∠BAD=120°，

连接OA，∴OA=OB，

∴∠OAB=∠ABC=30°，

∴∠OAD=∠BAD﹣∠OAB=90°，

∴OA⊥AD，

∵点A在⊙O上，

∴直线AD是⊙O的切线；

（2）连接OA，∵∠AEC=30°，

∴∠AOC=60°，

∵BC⊥AE于M，

∴AE=2AM，∠OMA=90°，

在Rt△AOM中，AM=OA•sin∠AOM=4×sin60°=2，

∴AE=2AM=4．

24．解：（1）函数图象如图所示：

（2）①当x＜0时，y随x的增大而增大；

②y=的图象是由y=﹣的图象向上平移1个单位而得到；

③图象关于点（0，1）中心对称．（填点的坐标）

故答案为增大，上，1，（0，1）

（3）∵x1+x2=0，

∴x1=﹣x2，

∴A（x1，y1），B（x2，y2）关于（0，1）对称，

∴y1+y2=2，

∴y1+y2+3=5．

25．解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，

，解得：，

∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．

（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，

∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，

∴抛物线的对称轴为直线x=1．

当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形．

∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，

∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），

∴点M的坐标为（1，6）；

当t≠2时，不存在，理由如下：

若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，

∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，

∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2．

又∵t≠2，

∴不存在．

（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．

设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），

将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，

，解得：，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．

∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），

∴点F的坐标为（t，﹣t+3），

∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，

∴S=PF•OB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+．

②∵﹣＜0，

∴当t=时，S取最大值，最大值为．

∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），

∴线段BC==3，

∴P点到直线BC的距离的最大值为=，此时点P的坐标为（，）．

26．解：（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ，

∵PF∥BC，

∴∠DFP=∠ADF，

∴∠DFQ=∠ADF，

∴△DEF是等腰三角形，

（2）①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，

∵∠P′DF′=∠PDF，

∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC，

∴∠P′DC=∠F′DB，

由旋转的性质可知：

△DP′F′≌△DPF，

∵PF∥BC，

∴△DPF∽△DCB，

∴△DP′F′∽△DCB

∴，

∴△DP'C∽△DF'B

②当∠F′DB=90°时，如图所示，

∵DF′=DF=BD，

∴=，

∴tan∠DBF′==，

当∠DBF′=90°，

此时DF′是斜边，

即DF′＞DB，不符合题意，

当∠DF′B=90°时，如图所示，

∵DF′=DF=BD，

∴∠DBF′=30°，

∴tan∠DBF′=