专题27数列的概念与简单表示-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型

专题27数列的概念与简单表示--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型

1．数列的定义

按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项.一般记为数列.

(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．

(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．

2．数列的分类

3．数列是一种特殊的函数

数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点.

4.数列的通项公式：

如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个通项公式.

5.数列的前项和和通项的关系：.

6.数列的递推公式

如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．

四、高频考点+重点题型

考点一、归纳法求通项

例1-1.如图所示，这是一个正六边形的序列，则第n个图形的边数为(    )

A．5n－1  B．6n

C．5n＋1  D．4n＋2

例1-2.（2021·海南高三）已知数列的前四项依次为，，，，则的通项公式可能是___________.

例1-3.（2021·四川省绵阳南山中学）数列的首项，且，则（    ）

A． B． C． D．

对点训练1．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．猜想的数列形式为：为正整数，当时，，则数列中必存在值为1的项．若，则的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

对点训练2.（2017·全国高考真题（理））（2017新课标全国I理科）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（     ）

A．440       B．330      C．220      D．110

考点二、 由an与Sn的关系求通项公式

例2-1. (2018·全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________．

对点训练1.（2019·山西高考模拟（文））记数列的前项和为，若，则数列的通项公式为______.

对点训练2.（2020·新课标Ⅱ）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（   ）

A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块

对点训练3.（2021·四川成都市·成都七中高三月考（理））数列满足，则的值为（    ）

A． B． C． D．

考点三、由递推公式求通项

例3.（2021·河北衡水市·高三）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.

已知数列中，，满足___________，求数列的通项an.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

对点训练1.设数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1(n≥2且n∈N*)，则a18＝(　　)

A.   B.

C．3   D.

对点训练2.设[x]表示不超过x的最大整数，如[－3.14]＝－4，[3.14]＝3.已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，则＝(　　)

A．1　　B．2　　C．3　　D．4

对点训练3.（2021·云南曲靖一中高三其他模拟（理））已知数列的前项和为，，，，则______．

考点四、数列的性质--单调性

例4-1（单调性的判定）

（2021·全国高三其他模拟（理））对于有如下4个数列：（1）；（2）（3）（4）．其中满足条件的个数为（    ）

A．  B．2 C．3 D．4

例4-2（单调性的应用）

（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（理））已知数列的前项和为，且，若，则数列的最大值为（    ）

A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项

对点训练1.（2021·辽宁高二月考）设函数，数列满足，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

对点训练2.【多选题】（2021·辽宁高三）已知数列满足：，是数列的前项和，，下列命题正确的是（    ）

A． B．数列是递增数列

C． D．

例4-2（周期性）

（2021·全国高三其他模拟（理））在数列中，，，，则的值为______．

对点训练1.（2020·全国高考真题（理））0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（    ）

A． B． C． D．

                                     巩固训练

一、单项选择题

1．已知数列1，，，，，，，，，，…，则是该数列的(    )

A．第127项  B．第128项

C．第129项  D．第130项

2．已知正项数列{an}中，＋＋…＋＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为(　　)

A．an＝n   B．an＝n2

C．an＝   D．an＝

3．设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是(　　)

A.   B.

C．4  D．0

4．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＋1＝2Sn－1(n∈N*)，则a10等于(　　)

A．128  B．256  C．512  D．1 024

5．已知数列{an}满足＝2，a1＝20，则的最小值为(　　)

A．4  B．4－1  C．8  D．9

6．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，…，即F (1)＝F (2)＝1，F (n)＝F (n－1)＋F (n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2 020项的和为(　　)

A．672  B．673  C．1 347  D．2 020

二、多项选择题

7．下列说法不正确的是(　　)

A．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}

B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列

C．数列的第k项是1＋

D．数列可以看作是一个定义域为正整数集的函数

8．在数列{an}中，an＝(n＋1)n，则数列{an}中的最大项可以是(　　)

A．第6项   B．第7项

C．第8项   D．第9项

三、填空题

9．若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.

10．设数列{an}的前n项和为Sn，且∀n∈N*，an＋1>an，Sn≥S6.请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an＝________.

11．数列{an}满足：a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n＋1＋3(n∈N*)，则数列{an}的通项公式

an＝________．

12．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________．

四、解答题

13．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)．

(1)求a1，a2，a3，a4的值；

(2)求数列{an}的通项公式．

14．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)证明：数列{an}是递减数列．